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2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x A，y A，x﹣
y A}，则B中所含元素的个数为（ ） ∈ ∈
A．3 B．6 C．8 D．10
∈
2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加
社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
（ ）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
3．（5分）下面是关于复数z= 的四个命题：其中的真命题为（ ），
p ：|z|=2，
1
p ：z2=2i，
2
p ：z的共轭复数为1+i，
3
p ：z的虚部为﹣1．
4
A．p ，p B．p ，p C．p ，p D．p ，p
2 3 1 2 2 4 3 4
4．（5分）设F 、F 是椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线
1 2
x= 上一点，△F PF 是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
2 1
A． B． C． D．
5．（5分）已知{a }为等比数列，a +a =2，a a =﹣8，则a +a =（ ）
n 4 7 5 6 1 10
A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7
6．（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N≥2）和实数 a ，
1
a ，…，a ，输出A，B，则（ ）
2 nA．A+B为a ，a ，…，a 的和
1 2 n
B． 为a ，a ，…，a 的算术平均数
1 2 n
C．A和B分别是a ，a ，…，a 中最大的数和最小的数
1 2 n
D．A和B分别是a ，a ，…，a 中最小的数和最大的数
1 2 n
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三
视图，则此几何体的体积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的
准线交于点A和点B，|AB|=4 ，则C的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+ ）在区间[ ，π]上单调递减，
则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（0，2]
10．（5分）已知函数f（x）= ，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长
为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此三棱锥的体积为
（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设点P在曲线 上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小
值为（ ）
A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量 夹角为45°，且 ，则 =
．
14．（5分）设x，y满足约束条件： ；则z=x﹣2y的取值范围为
．
15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1或元件2正常
工作，且元件 3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命
（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互
独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．
16．（5 分）数列{a }满足 a +（﹣1）na =2n﹣1，则{a }的前 60 项和为
n n+1 n n
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+
asinC﹣b﹣c=0
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为 ；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以
每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进 16枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需
求量n（单位：枝，n N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
∈
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分
布列、数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由．
19．（12分）如图，直三棱柱 ABC﹣A B C 中，AC=BC= AA ，D是棱AA 的中
1 1 1 1 1
点，DC ⊥BD
1
（1）证明：DC ⊥BC；
1
（2）求二面角A ﹣BD﹣C 的大小．
1 120．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A C，已知
以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
∈
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为 ，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个
公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若 ，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分，作答时请写清题号．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的
外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
23．选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程是 （φ为参数），以坐标原点为极点，x轴
1
的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的
2
顶点都在C 上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，
2
）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
1
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
