文档内容
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字
体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在
草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1) B．(-2，1)
C．(-3，-1) D．(3，+∞)
2．设z=-3+2i，则在复平面内 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =
A．-3 B．-2
C．2 D．3
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事
业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测
器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月
拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万
１ ２
有引力定律，r满足方程：
.
设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近似值
为
A． B．
C． D．
5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始
评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分
相比，不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
6．若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
8．若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
9．下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
10．已知α∈(0， )，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=
A． B．
C． D．
11．设F为双曲线C： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的
圆与圆 交于P，Q两点.若 ，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
12．设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正
点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该
站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.
14．已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 __________.
15． 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面
积为__________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体
或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多
面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图
2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正
方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一
空2分，第二空3分.）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
如图，长方体ABCD–A B C D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
1 1 1 1 1 1
（1）证明：BE⊥平面EB C ；
1 1
（2）若AE=A E，求二面角B–EC–C 的正弦值.
1 1
18．（12分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先
多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲
得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方
10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
19．（12分）
已知数列{a }和{b }满足a =1，b =0， ， .
n n 1 1
（1）证明：{a +b }是等比数列，{a –b }是等差数列；
n n n n
（2）求{a }和{b }的通项公式.
n n
20．（12分）
已知函数 .
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x 是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x ，ln x )处的切线也是曲线
0 0 0
的切线.
21．（12分）
已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹
为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连
结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点 在曲线 上，直线l过点
且与 垂直，垂足为P.（1）当 时，求 及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时， ，求 的取值范围.
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
1．A 2．C 3．C 4．D 5．A
6．C 7．B 8．D 9．A 10．B
11．A 12．B
13．0.98 14．–3
15．6 16．26；
17．解：（1）由已知得， 平面 ， 平面 ，
故 ．
又 ，所以 平面 ．
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ． 由 题 设 知 ， 所 以
，
故 ， ．
以 为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则C（0，1，0），B（1，1，0）， （0，1，2），E（1，0，1）， ，
．
设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则
即
所以可取n= .
设平面 的法向量为m=（x，y，z），则
即
所以可取m=（1，1，0）．
于是 ．
所以，二面角 的正弦值为 ．
18．解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲
得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
19．解：（1）由题设得 ，即 ．
又因为a +b =l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列．
1 1
由题设得 ，
即 ．
又因为a –b =l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
1 1
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
20．解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．
因为f（e）= ， ，
所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x ，即f（x ）=0．
1 1
又 ， ，
故f（x）在（0，1）有唯一零点 ．
综上，f（x）有且仅有两个零点．（2）因为 ，故点B（–lnx ， ）在曲线y=ex上．
0
由题设知 ，即 ，
故直线AB的斜率 ．
曲线y=ex在点 处切线的斜率是 ，曲线 在点 处切
线的斜率也是 ，
所以曲线 在点 处的切线也是曲线y=ex的切线．
21．解：（1）由题设得 ，化简得 ，所以C为中心
在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为 ．
由 得 ．
记 ，则 ．
于是直线 的斜率为 ，方程为 ．由 得
．①
设 ，则 和 是方程①的解，故 ，由此得 ．
从而直线 的斜率为 ．
所以 ，即 是直角三角形．
（ii）由（i）得 ， ，
所以△PQG的面积 ．
设t=k+ ，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
因为 在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值
为 ．
因此，△PQG面积的最大值为 ．22．解：（1）因为 在C上，当 时， .
由已知得 .
设 为l上除P的任意一点.在 中 ，
经检验，点 在曲线 上.
所以，l的极坐标方程为 .
（2）设 ，在 中， 即 ..
因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 .
所以，P点轨迹的极坐标方程为 .
23．解：（1）当a=1时， .
当 时， ；当 时， .
所以，不等式 的解集为 .
（2）因为 ，所以 .
当 ， 时，
所以， 的取值范围是 .选择填空解析
一、选择题
1. 设集合 ， ，则 ( )
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
或 ， ，∴ .
2. 设 ,则在复平面内 对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案：
C
解析：
，对应的点坐标为 ,故选C.
3．已知 ， ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：
∵ ，
∴ ，解得 ， ，
∴ .
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事
业取得又一重大成就。实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器
的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地球月拉
格朗日 点的轨道运行， 点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球的质量为 ，
月球质量为 ，地月距离为 ， 点到月球的距离为 ，根据牛顿运动定律和万有引力
定律， 满足方程 。设 。由于 的值很小，因此在近
似计算中 ，则 的近似值为（ ）
A．
B．C．
D．
答案：
D
解答：
所以有
化简可得 ，可得 。
5. 演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9个原
始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分
相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
答案：
A
解答：
由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第 5个，假设为 ，去掉一头
一尾的最低和最高分后，中位数还是 ，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特
征都会改变。
6. 若 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：由函数 在 上是增函数，且 ，可得 ，即 .
7. 设 为两个平面，则 的充要条件是( )
A. 内有无数条直线与 平行
B. 内有两条相交直线与 平行
C. 平行于同一条直线
D. 垂直于同一平面
答案：
B
解析：
根据面面平行的判定定理易得答案.选B.
8. 若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则 （ ）
A.2
B.3
C.4
D.8
答案：
D
解答：
抛物线 的焦点是 ，椭圆 的焦点是 ，
∴ ，∴ .
9. 下列函数中，以 为周期且在区间 单调递增的是（ ）
A.
B.
C.D.
答案：
A
解答：
对于A,函数 的周期 ,在区间 单调递增,符合题意；
对于B,函数 的周期 ,在区间 单调递减,不符合题意；
对于C，函数 ，周期 ,不符合题意；
对于D,函数 的周期 ,不符合题意.
10. 已知 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
， ，
则 ，所以 ，所以 .
11. 设 为双曲线 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径
的圆与圆 交于 两点，若 ，则 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案:
A
解答：
∵ ，∴ ,
又 ，∴
解得 ，即 .
12. 已知函数的定义域为 ， ，且当 时， ，
若对任意的 ，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A．
B．C．
D．
答案：
B
解答：
由当 ， ，且当 时， 可知当 时，
， 当 时 ， ， … … 当
时， ，函数值域随变量的增大而逐渐减小，
对任意的 ，都有 有 解得的取值范围是
。
二、填空题
13. 我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正
点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高
铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .
答案：
0.98
解答：
经 停 该 站 的 列 出 共 有 40 个 车 次 ， 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为
。
14. 已知 是奇函数，且当 时, .若 ，则 _______.
答案：
解答：
∵ ，
∴ .15. 的内角 的对边分别为 ，若 则 的面积
为_______.
答案：
解析：
,
16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体
或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体
是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个
棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为
1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)
答案：
26
解析：
由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据
对称性列方程求解.
