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2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将
试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 ，则 =
A． B． C． D．
2．设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
3．已知 ，则
A． B． C． D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至
脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
sinxx
5．函数f(x)=cosxx2 在 的图像大致为
A． B．
C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为
阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳
爻的概率是
A． B． C． D．
7．已知非零向量a，b满足 ，且 b，则a与b的夹角为
A． B． C． D．8．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入
A．A= B．A= C．A= D．A=
S
9．记 n为等差数列 的前n项和．已知 ，则
A． B． C． D．
10．已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点．若 ，
2
，则C的方程为
A． B． C． D．
11．关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F
分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线 在点 处的切线方程为____________．
14．记S 为等比数列{a}的前n项和．若 ，则S=____________．
n n 5
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据
前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场
取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
16．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F，F，过F 的直线与C的两条渐近线
1 2 1
分别交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．(12分)
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，
1 1 1 1 1
BB，AD的中点．
1 1（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求二面角A-MA-N的正弦值．
1
19．（12分）
3
2
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
AP 3PB
（2）若 ，求|AB|．
20．（12分）
已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有2个零点．
21．（12分）
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方
案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施
以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白
鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，
若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈
且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、
乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认
为甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中
， ， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
1t2
x ，
1t2
4t
y
1t2
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的
2cos 3sin110
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1） ；
（2） ．2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则 =
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想
解题．
【详解】由题意得， ，则
．故选C．
总结：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2.设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】 则 ．故选C．
总结：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利
用方程思想解题．
3.已知 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
运用中间量 比较 ，运用中间量 比较
【详解】 则 ．故选B．
总结：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与
化归思想解题．
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽
喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端
的长度为26 cm，则其身高可能是
A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm
【答案】B
【分析】
理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．
【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则 ，得
．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．
07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．
总结：本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．
5.函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
A. B.
C. D.【答案】D
【分析】
先判断函数的奇偶性，得 是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称．
又 ．故选D．
总结：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，
利用数形结合思想解题．
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为
阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的
概率是
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，
“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有 3个阳爻是相同元素的排列问题，
利用直接法即可计算．
【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有 情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有 ，所以
该重卦恰有3个阳爻的概率为 = ，故选A．
总结：对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合
问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元
素的排列问题即为组合问题．
7.已知非零向量a，b满足 =2 ，且（a–b） b，则a与b的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算
等数学素养．先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量
夹角．
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 =0 ， 所 以 ， 所 以 =
，所以 与 的夹角为 ，故选B．
总结：对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦
值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 ．8.如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入
A. A= B. A= C. A= D. A=
【答案】A
【分析】
本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图
结构，即可找出作出选择．
【详解】执行第1次， 是，因为第一次应该计算 = ， =2，循环，执
行第2次， ，是，因为第二次应该计算 = ， =3，循环，执行第3次，
，否，输出，故循环体为 ，故选A．
总结：秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 ．
9.记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对 B， ， ，排除
B ， 对 C ， ， 排 除 C ． 对 D ，
，排除D，故选A．【详解】由题知， ，解得 ，∴ ，故选A．
总结：本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列
通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
10.已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点.若 ，
2
，则C的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
可以运用下面方法求解：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
． 在 和 中 ， 由 余 弦 定 理 得
，又 互补， ，
两 式 消 去 ， 得 ， 解 得 ．
所求椭圆方程为 ，故选B．
【 详 解 】 如 图 ， 由 已 知 可 设 ， 则 ， 由 椭 圆 的 定 义 有
． 在 中 ， 由 余 弦 定 理 推 论 得
．在 中，由余弦定理得 ，解得
．
所求椭圆方程为 ，故选B．
总结：本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了
直观想象、逻辑推理等数学素养．
11.关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③
【答案】C
【分析】
画出函数 的图象，由图象可得①④正确，故选C．
【详解】 为偶函数，故①正确．当
时， ，它在区间 单调递减，故②错误．当 时， ，
它有两个零点： ；当 时， ，它有一个零点： ，故
在 有 个零点： ，故③错误．当 时， ；
当 时， ，又 为偶函数， 的最大值
为 ，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
总结：化简函数 ，研究它的性质从而得出正确答案．
12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分
别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的．适合空间想象能力略差学生．
设 ， 分别为 中点，
，且 ， 为边长为2 等边三角形，
的
又
中余弦定理 ，作 于 ， ，为 中点， ， ，
， ，又 ， 两
两垂直， ， ， ，故选D.
【详解】 为边长为2的等边三角形， 为正三棱锥，
，又 ， 分别 为、 中点，
， ，又 ， 平面 ， 平面 ，
， 为正方体一部分， ，即
，故选D．
总结：本题考查学生空间想象能力，补型法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互
相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补型成正方体解决．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线 在点 处的切线方程为___________．
【答案】 .
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
总结：准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要
“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
14.记S 为等比数列{a}的前n项和．若 ，则S=____________．
n n 5
【答案】 .
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 ．题目的难
度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，
所以 所以 ．
总结：准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分
考生易出现运算错误．
15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率
为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
【答案】0.18.
【分析】
本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一
定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】前五场中有一场客场输时，甲队以 获胜的概率是
前五场中有一场主场输时，甲队以 获胜的概率是
综上所述，甲队以 获胜 的概率是
总结：由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全
面性是否具备，要考虑甲队以 获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
16.已知双曲线C： 左、右焦点分别为F，F，过F 的直线与C的两条渐近线分别
1 2 1
的
交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为____________．
【答案】2.
【分析】
本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何
法，利用数形结合思想解题．
【详解】如图，
由 得 又 得OA是三角形 的中位线，即
由 ，得 则 有
．又OA与OB都是渐近线，得
则 ．又渐近线OB的斜率为 ，所以该双曲线的离心率
为 ．
总结：此题若不能求出直角三角形的中位线的斜率将会思路受阻，即便知道双曲线渐近线斜率和其离心率的关系，也不能顺利求解，解题需要结合几何图形，关键得到 即
得到渐近线的倾斜角为 从而突破问题障碍．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得： ，从而可整理出 ，根据
可求得结果；（2）利用正弦定理可得 ，利用 、两角和差正
弦公式可得关于 和 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.
【详解】（1）
即：
由正弦定理可得：
（2） ，由正弦定理得：
又 ，
整理可得：
解得： 或
因为 所以 ，故 .
（2）法二： ，由正弦定理得：
又 ，
整理可得： ，即或
且
总结：本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系
的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
18.如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，
1 1 1 1 1
BB，AD的中点．
1 1
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求二面角A-MA-N的正弦值．
1
【答案】（1）见解析；（2） .
【分析】
（1）利用三角形中位线和 可证得 ，证得四边形 为平行四边形，进而证得
，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形 对角线交点为原点可建立空间直角
坐标系，通过取 中点 ，可证得 平面 ，得到平面 的法向量 ；再通过向量法求
得平面 的法向量 ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正
弦值.
【详解】（1）连接 ，
， 分别为 ， 中点 为 的中位线
且
又 为 中点，且 且
四边形 为平行四边形，又 平面 ， 平面
平面
（2）设 ，
由直四棱柱性质可知： 平面
四边形 为菱形
则以 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则： ， ， ，D（0，-1,0）
取 中点 ，连接 ，则
四边形 为菱形且 为等边三角形
又 平面 ， 平面
平面 ，即 平面
为平面 的一个法向量，且
设平面 的法向量 ，又 ，
，令 ，则 ，
二面角 的正弦值为：
总结：本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关
系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.
19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若 ，求|AB|．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）设直线 ： ， ， ；根据抛物线焦半径公式可得 ；联立直线
方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于 的方程，解方程求得结果；（2）设直线 ： ；
联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用 可得 ，结合韦达定理可求
得 ；根据弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设直线 方程为： ， ，
由抛物线焦半径公式可知：
联立 得：
则
，解得：
直线 的方程为： ，即：
（2）设 ，则可设直线 方程为：
联立 得：
则
，
，
则
总结：本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关
键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.
20.已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）求得导函数后，可判断出导函数在 上单调递减，根据零点存在定理可判断出 ，
使得 ，进而得到导函数在 上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知
为 在 上的唯一零点；当 时，首先可判断出在 上无零点，再利用零点存
在定理得到 在 上的单调性，可知 ，不存在零点；当 时，利用零点存在
定理和 单调性可判断出存在唯一一个零点；当 ，可证得 ；综合上述情况可证
得结论.
【详解】（1）由题意知： 定义域为： 且
令 ，
，
在 上单调递减， 在 上单调递减
在 上单调递减
又 ，
，使得
当 时， ； 时，
即 在 上单调递增；在 上单调递减
则 为 唯一的极大值点
即： 在区间 上存在唯一的极大值点 .
（2）由（1）知： ，
①当 时，由（1）可知 在 上单调递增
在 上单调递减
又
为 在 上的唯一零点②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
又
在 上单调递增，此时 ，不存在零点
又
，使得
在 上单调递增，在 上单调递减
又 ，
在 上恒成立，此时不存在零点
③当 时， 单调递减， 单调递减
在 上单调递减
又 ，
即 ，又 在 上单调递减
在 上存在唯一零点
④当 时， ，
即 在 上不存在零点
综上所述： 有且仅有 个零点
总结：本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方
面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一
性，二者缺一不可.
21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案
如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．
一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，
就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白
鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未
治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记
为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中
， ， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii） .
【分析】
（1）首先确定 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解
出 的取值，可得 ，从而整理出符合等比数列定义的形式，
问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合 和 的值可求得 ；再次
利用累加法可求出 .
【详解】（1）由题意可知 所有可能的取值为： ， ，
； ；
则 的分布列如下：
（2） ，
， ，
（i）
即
整理可得：
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【答案】（1） ； ；（2）
【分析】
（1）利用代入消元法，可求得 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，
从而根据三角函数的范围可求得最值.
【详解】（1）由 得： ，又
整理可得 的直角坐标方程为：
又 ，
的直角坐标方程为：
（2）设 上点的坐标为：
则 上的点到直线 的距离
当 时， 取最小值则
总结：本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求
解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用 将所证不等式可变为证明： ，利用基本不等式可证得
， 从 而 得 到 结 论 ； （ 2 ） 利 用 基 本 不 等 式 可 得
， 再 次 利 用 基 本 不 等 式 可 将 式 转 化 为
，在取等条件一致的情况下，可得结论.
【详解】（1）
当且仅当 时取等号
，即：
（2） ，当且仅当 时取等号
又 ， ， （当且仅当 时等号同时成立）又
总结：本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需
要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
