文档内容
2010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
[来源:Z#xx#k.Com]
1．已知集合M 1,2,3 ，N 2,3,4 ，则
A．M N B．N M C．M N 2,3 D．M N 1,4
2．下列命题中的假命题是
A．xR ，2x1＞0 B．xN，x12＞0
[来源:Z&xx&k.Com]
C．xR，lgx＜1 D． xR，tanx2
x1t,
3．极坐标方程cos和参数方程 （t为参数）所表示的图形分别是
y 23t
A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线
[来源:学+科+网]
4．在RtABC中，C 90，AC 4，则AB AC 等于
A．16 B．8 C．8 D．16
41
5． dx等于 A．2ln2 B．2ln2 C．ln2 D．ln2
2 x
6．在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若C 120，c 2a，则
[来源:学_
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a与b的大小关系不能确定
7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同
排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字
相同的信息个数为
A.10 B.11 C.12 D.15
8．用mina,b 表示a,b两数中的最小值.若函数 f(x)min x , xt 的图像关于直线
1
x 对称，则t的值为 A．2 B．2 C．1 D．1
2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上．
9．已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间．若用0.618法安排实验，则第一次试
点的加入量可以是 g．
10．如图1所示，过 O外一点P作一条直线与 O交于A,B两点．已知PA=2，点P到
O的切线长PT=4，则弦AB的长为 ．
11．在区间 上随机取一个数 ，则 的概率为 ．
12．图2是求12 22 32 …+1002的值的程序框图，则正整数n ．
13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h cm．
14．过抛物线x2 2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点，A,B
在x轴上的正射影分别为D,C ．若梯形ABCD 的面积为12 2 ，则 p ．
15．若数列 a 满足：对任意的nN，只有有限个正整数m使得a ＜n成立，记这样
n m
的m的个数为(a )，则得到一个新数列 (a ) ．例如，若数列 a 是1,2,3…，n,… ，
n n n则数列 (a ) 是 0,1,2,…，n1,… ．已知对任意的 nN， a n2，则 (a )
n n 5
，
((a )) ．
n
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 f(x) 3sin2x2sin2 x．
（Ⅰ）求函数 f(x)的最大值；（Ⅱ）求函数 f(x)
的零点的集合.
17．（本小题满分12分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的
频率分布直方图.
[来源:学.科.网]
（Ⅰ）求直方图中 的值.
（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均
用水量在3至4吨的居民数 的分布列和数学期望.
18．（本小题满分12分）
如图5所示，在正方体 中，E是棱 的中点.
（Ⅰ）求直线BE的平面 所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱 上是否存在一点F，使 平面 ？证明你的结论.
19．（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．
视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面
直角坐标系（图6）．在直线 的右侧，考察范围为到
x2
6 5
点B的距离不超过 km的区域；在直线 x2的左侧，
5考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4 5km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段PP ，PP 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川
1 2 2 3
融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移
动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
20.（本小题满分13分）
已知函数 对任意的 ，恒有 .
（Ⅰ）证明：当 时， ；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式 恒成立，求
M的最小值.
21．（本小题满分13分）
数列 中， 是函数 的
极小值点.
（Ⅰ）当 时，求通项 ；
（Ⅱ）是否存在 ，使数列 是等比数列？若存在，求 的取值范围；若不存在，
请说明理由.
2010 年湖南省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）（2010•湖南）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（ ）
A．M N B．N M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}
【考点】交集及其运算．
⊆ ⊆ 菁优网版权所有
【专题】计算题．【分析】利用直接法求解，分别求出两个集合的交集与并集，观察两个集合的包含关系即
可．
【解答】解：M∩N
={1，2，3}∩{2，3，4}
={2，3}
故选C．
【点评】本题主要考查了集合的交集与子集的运算，属于容易题．
2．（5分）（2010•湖南）下列命题中是假命题的是（ ）
A．∀x R，2x﹣1＞0 B．∀x N﹡，（x﹣1）2＞0C．∃x R，lgx＜1D．∃x R，tanx=2
【考点】四种命题的真假关系．
∈ ∈ 菁优网版权所有 ∈ ∈
【专题】简易逻辑．
【分析】本题考查全称命题和特称命题真假的判断，逐一判断即可．
【解答】解：B中，x=1时不成立，故选B．
答案：B．
【点评】本题考查逻辑语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易
题．
3．（5分）（2010•湖南）极坐标p=cosθ和参数方程 （t为参数）所表示的图
形分别是（ ）
A．直线、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．圆、直线
【考点】参数方程化成普通方程．
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【专题】计算题．
【分析】将极坐标方程和参数方程化为一般方程，然后进行选择．
【解答】解：∵极坐标p=cosθ，x=pcosθ，y=psinθ，消去θ和p，
∴x2+y2=x，
x2+y2=x为圆的方程；
参数方程 （t为参数）消去t得，x+y﹣1=0，为直线的方程，
故选D．
【点评】此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，
根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．
4．（5分）（2010•湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则 等于（ ）
A．﹣16B．﹣8 C．8 D．16
【考点】平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义．
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【专题】计算题．
【分析】本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系
和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把 变化为两个向量的和，
再进行数量积的运算．
【解答】解：∵∠C=90°，∴ =0，
∴ =（ ）
= =42=16
故选D．
【点评】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学
生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．
5．（5分）（2010•湖南） dx等于（ ）
A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2D．ln2
【考点】定积分．
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【专题】计算题．
【分析】根据题意，直接找出被积函数 的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分
即可．
【解答】解：∵（lnx）′=
∴ =lnx| 4=ln4﹣ln2=ln2
2
故选D
【点评】本题考查定积分的基本运算，关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．
6．（5分）（2010•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若
∠C=120°，c= a，则（ ）
A．a＞b B．a＜b
C．a=b D．a与b的大小关系不能确定
【考点】余弦定理；不等式的基本性质．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，进而求得a﹣b= ，根据 ＞0判断出a
＞b．
【解答】解：∵∠C=120°，c= a，
∴由余弦定理可知c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴a2﹣b2=ab，a﹣b= ，
∵a＞0，b＞0，
∴a﹣b= ，
∴a＞b
故选A
【点评】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．7．（5分）（2010•湖南）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重
复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多
有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
【考点】排列、组合及简单计数问题．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与
信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，
三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加．
【解答】解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C 2=6（个）
4
第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C 1=4个，
4
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C 0=1，
4
由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个，
故选B．
【点评】本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件
事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．
8．（5分）（2010•湖南）用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f（x）=min{|
x|，|x+t|}的图象关于直线x= 对称，则t的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【考点】函数的图象与图象变化．
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【专题】作图题；压轴题；新定义；数形结合法．
【分析】由题设，函数是一个非常规的函数，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，及
直线x= ，观察图象得出结论
【解答】解：如图，在同一个坐标系中做出两个函数y=|x|与y=|x+t|的图象，
函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象为两个图象中较低的一个，
分析可得其图象关于直线x=﹣ 对称，
要使函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x= 对称，则t的值为t=1
故应选D．【点评】本题的考点是函数的图象与图象的变化，通过新定义考查学生的创新能力，考查
函数的图象，考查考生数形结合的能力，属中档题．
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
9．（5分）（2010•湖南）已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间，若用0.618法
安排试验，则第一次试点的加入量可以是 171. 8 或 148. 2 g．
【考点】黄金分割法—0.618法．
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【专题】阅读型．
【分析】由题知试验范围为[100，200 ，区间长度为100，故可利用0.618法：110+（210﹣
110）×0.618或210﹣（210﹣110）×0.618选取试点进行计算．
]
【解答】解：根据0.618法，第一次试点加入量为
110+（210﹣110）×0.618=171.8
或210﹣（210﹣110）×0.618=148.2
故答案为：171.8或148.2．
【点评】本题考查优先法的0.618法，属容易题，解答的关键是对黄金分割法﹣0.618法的
了解．
10．（5分）（2010•湖南）如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，
已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为 6 ．
【考点】与圆有关的比例线段．
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【专题】计算题．
【分析】首先根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得一个线段的等式，再根据线段
的关系可求得AB的长度即可．
【解答】解：根据切割线定理
PT2=PA•PB，PB= = =8，
∴AB=PB﹣PA=8﹣2=6．
故填：6．【点评】本题考查与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题．
11．（5分）（2010•湖南）在区间[﹣1，2 上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为 ．
【考点】几何概型． ]
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【专题】计算题．
【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣
1，2 的长度求比值即得．
【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．
]
∵|x|≤1得﹣1≤x≤1，
∴|x|≤1的概率为：
P（|x|≤1）= ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件
区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概
型．
12．（5分）（2010•湖南）如图是求12+22+32+…+1002的值的程序框图，则正整数n=
100 ．
．
【考点】设计程序框图解决实际问题．
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【专题】常规题型．【分析】由已知可知：该程序的作用是求12+22+32+…+1002的值，共需要循环100次，由
于循环变量的初值已知，故不难确定循环变量的终值．
【解答】解：由已知可知：该程序的作用是求12+22+32+…+1002的值，
共需要循环100次，
最后一次执行循环体的作用是累加1002
故循环变量的终值应为100
故答案为：100
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．
程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量
的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理
解流程图的含义而导致错误．
13．（5分）（2010•湖南）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，
则h= 4 cm．
【考点】由三视图求面积、体积．
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【专题】计算题．
【分析】由三视图可知，几何体的底面为直角三角形，且一边垂直于底面，再根据公式求
解即可．
【解答】解：根据三视图可知，几何体的体积为：V=
又因为V=20，所以h=4
故答案为：4
【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及公式的利用，是基础题．
14．（5分）（2010•湖南）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线
交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为 ，
则P= 2 ．
【考点】抛物线的标准方程；直线的一般式方程；抛物线的简单性质．
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【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两
点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x +x 和x x ，进而用
1 2 1 2
A，B坐标表示出梯形的面积建立等式求得p．【解答】解：抛物线的焦点坐标为F（0， ），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+ ，
设A（x ，y ），B（x ，y ）（x ＞x ），由题意可知y ＞0，y ＞0
1 1 2 2 2 1 1 2
由 ，消去y得x2﹣2px﹣p2=0，
由韦达定理得，x +x =2p，x x =﹣p2
1 2 1 2
所以梯形ABCD的面积为：S= （y +y ）（x ﹣x ）= （x +x +p）（x ﹣x ）= •3p
1 2 2 1 1 2 2 1
=3 p2
所以3 p2=12 ，又p＞0，所以p=2
故答案为2．
【点评】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查考生
的运算能力，属中档题
15．（5分）（2010•湖南）若数列{a }满足：对任意的n N﹡，只有有限个正整数m使得
n
a ＜n成立，记这样的m的个数为（a ）+，则得到一个新数列{（a ）+}．例如，若数列
m n n
∈
{a }是1，2，3…，n，…，则数列{（a ）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知对任意的n N+，
n n
a =n2，则（a ）+= 2 ，（（a ）+）+= n 2 ．
n 5 n
∈
【考点】数列的应用．
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【专题】计算题；压轴题；新定义．
【分析】根据题意，若a ＜5，而a =n2，知m=1，2，∴（a ）+=2，由题设条件可知
m n 5
（（a ）+）+=1，（（a ）+）+=4，（（a ）+）+=9，（（a ）+）+=16，于是猜想：
1 2 3 4
（（a ）+）+=n2．
n
【解答】解：∵a ＜5，而a =n2，∴m=1，2，∴（a ）+=2．
m n 5
∵（a ）+=0，（a ）+=1，（a ）+=1，（a ）+=1，
1 2 3 4
（a ）+=2，（a ）+=2，（a ）+=2，（a ）+=2，（a ）+=2，
5 6 7 8 9
（a ）+=3，（a ）+=3，（a ）+=3，（a ）+=3，（a ）+=3，（a ）+=3，（a ）+=3，
10 11 12 13 14 15 16
∴（（a ）+）+=1，（（a ）+）+=4，（（a ）+）+=9，（（a ）+）+=16，
1 2 3 4
猜想：（（a ）+）+=n2．
n
答案：2，n2．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题．仔细解答．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）（2010•湖南）已知函数f（x）= sin2x﹣2sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．
【考点】三角函数的最值；集合的含义；函数的零点．
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【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由正弦函数的最值可
得到答案．（Ⅱ）令f（x）=0可得到2 sin xcos x=2sin2x，进而可得到sin x=0或tan x= ，即可求
出对应的x的取值集合，得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）= sin2x﹣2sin2x= sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+ ）﹣1
故函数f（x）的最大值等于2﹣1=1
（Ⅱ）由f（x）=0得2 sin xcos x=2sin2x，于是sin x=0，或 cos x=sin x即tan x=
由sin x=0可知x=kπ；
由tan x= 可知x=kπ+ ．
故函数f（x）的零点的集合为{x|x=kπ或x=k ，k Z}
【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的正弦∈公式的应用和正弦函数的基本性质．
三角函数是高考的重点，每年必考，要强化复习．
17．（12分）（2010•湖南）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：
吨）的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中x的值．
（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均
用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．
【考点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
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【分析】本题考查的知识点是频率分布直方图、离散型随机变量及其分布列和数学期望．
（1）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方
程即可得到答案．
（2）由频率分布直方图中月均用水量各组的频率，我们易得X～B（3，0.1）．然后将数
据代入后，可分别算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，代入即可得到
随机变量X的分布列，然后代入数学期望公式，可进而求出数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1，解得x=0.12．
（Ⅱ）由题意知，X～B（3，0.1）．
因此P（X=0）=C 0×0.93=0.729，
3
P（X=1）=C 1×0.1×0.92=0.243，
3
P（X=2）=C 2×0.12×0.9=0.027，
3
P（X=3）=C 3×0.13=0.001．
3
故随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
X的数学期望为EX=3×0.1=0.3．
【点评】根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是
新高考的重要考点，同时（2）中概随机变量的分布列、数学期望的计算也是高考的热点．
对于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图，对于概率要多练习使用列举
法表示满足条件的基本事件个数．对于数学期望的计算则要熟练掌握运算方法和步骤．
18．（12分）（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD﹣A B C D 中，E是棱DD 的中
1 1 1 1 1
点．
（Ⅰ）求直线BE与平面ABB A 所成的角的正弦值；
1 1
（Ⅱ）在棱C
1
D
1
上是否存在一点F，使B
1
F∥平面A
1
BE？证明你的结论．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．
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【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）先取AA
1
的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而
AD⊥平面ABB
1
A
1
，则EM⊥面ABB
1
A
1
，从而BM为直线BE在平面ABB
1
A
1
上的射影，则
∠EBM直线BE与平面ABB A 所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，
1 1
于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．
（Ⅱ）在棱C D 上存在点F，使B F平面A BE，分别取C D 和CD的中点F，G，连接
1 1 1 1 1 1
EG，BG，CD
1
，FG，因A
1
D 1∥B
1
C 1∥BC，且A
1
D
1
=BC，所以四边形A
1
BCD
1
为平行四边形，
根据中位线定理可知EG∥A
1
B，从而说明A
1
，B，G，E共面，则BG 面A
1
BE，根据
FG∥C
1
C∥B
1
G，且FG=C
1
C=B
1
B，从而得到四边形B
1
BGF为平行四边形，则B
1
F∥BG，而
⊂
B
1
F 平面A
1
BE，BG 平面A
1
BE，根据线面平行的判定定理可知B
1
F∥平面A
1
BE．
【解答】解：（I）如图（a），取AA 的中点M，连接EM，BM，因为E是DD 的中点，
1 1
⊄ ⊂
四边形ADD
1
A
1
为正方形，所以EM∥AD．
又在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中．AD⊥平面ABB
1
A
1
，所以EM⊥面ABB
1
A
1
，从而BM为
直线BE在平面ABB A 上的射影，
1 1
∠EBM直线BE与平面ABB
1
A
1
所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE= ，
于是在Rt△BEM中，
即直线BE与平面ABB A 所成的角的正弦值为 ．
1 1
（Ⅱ）在棱C D 上存在点F，使B F平面A BE，
1 1 1 1
事实上，如图（b）所示，分别取C D 和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD ，FG，
1 1 1因A
1
D 1∥B
1
C 1∥BC，且A
1
D
1
=BC，所以四边形A
1
BCD
1
为平行四边形，
因此D
1
C∥A
1
B，又E，G分别为D
1
D，CD的中点，所以EG∥D
1
C，从而EG∥A
1
B，这说明
A ，B，G，E共面，所以BG 平面A BE
1 1
因四边形C CDD 与B BCC 皆为正方形，F，G分别为C D 和CD的中点，所以
1 1 1 1 1 1
⊂
FG∥C
1
C∥B
1
B，且FG=C
1
C=B
1
B，因此四边形B
1
BGF为平行四边形，所以B
1
F∥BG，而
B
1
F 平面A
1
BE，BG 平面A
1
BE，故B
1
F∥平面A
1
BE．
⊄ ⊂
【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象
能力．
19．（13分）（2010•湖南）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km
的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段
AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点
B的距离不超过 km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和
不超过4 km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图所示，设线段P P ，P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融
1 2 2 3
化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动
的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
【考点】轨迹方程；两条平行直线间的距离．
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【专题】综合题．
【分析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x≥2时， ．
当x＜2时， ．由此能得到考查区域边界曲线的方程；（Ⅱ）设过点P ，P 的直线为l ，过点P ，P 的直线为l ，则直线l ，l 的方程分别为
1 2 1 2 3 2 1 2
．
设直线l平行于直线l ，其方程为 ，代入椭圆方程 ，消去y，得
1
，然后由根的判别式和点到直线的距离公式结合题设条
件进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），
当x≥2时，由题意知 ．
当x＜2时，由 知，点P在以A，B为焦点，长轴长为 的椭圆上．
此时短半轴长 ．因而其方程为 ．
故考察区域边界曲线（如图）的方程为 和
．
（Ⅱ）设过点P ，P 的直线为l ，过点P ，P 的直线为l ，则直线l ，l 的方程分别为
1 2 1 2 3 2 1 2
．
设直线l平行于直线l ，其方程为 ，代入椭圆方程 ，消去y，得
1
，
由△100×3m2﹣4×16×5（m2﹣4）=0，
解得m=8或m=﹣8．
从图中可以看出，当m=8时，直线l与C 的公共点到直线l的距离最近，此时直线l的方
2
程为 ，l与l 之间的距离为 ．
1又直线l 到C 和C 的最短距离 ，而d'＞3，所以考察区域边界到冰川边界线
2 1 2
的最短距离为3．
设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，
得 ，所以n≥4．
故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年．
【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用和数形结合的
合理运用．
20．（13分）（2010•湖南）已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c R），对任意的x R，恒有f′
（x）≤f（x）．
∈ ∈
（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+c）2；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，求M
的最小值．
【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）f′（x）≤f（x）转化为x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，找到b和c之间的关
系，再对f（x）和（x+c）2作差整理成关于b和c的表达式即可．
（Ⅱ）对c≥|b|分c＞|b|和c=|b|两种情况分别求出对应的M的取值范围，再综合求M的最小
值即可．
【解答】解：（Ⅰ）易知f′（x）=2x+b．由题设，对任意的x R，2x+b≤x2+bx+c，
即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，所以（b﹣2）2﹣4（c﹣b）∈≤0，从而 ．
于是c≥1，且 ，因此2c﹣b=c+（c﹣b）＞0．
故当x≥0时，有（x+c）2﹣f（x）=（2c﹣b）x+c（c﹣1）≥0．
即当x≥0时，f（x）≤（x+c）2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|
当c＞|b|时，有M≥ = = ，
令t= 则﹣1＜t＜1， =2﹣ ，
而函数g（t）=2﹣ （﹣1＜t＜1）的值域（﹣∞， ）
因此，当c＞|b|时M的取值集合为[ ，+∞）．
当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．
此时f（c）﹣f（b）=﹣8或0，c2﹣b2=0，从而 恒成立．
综上所述，M的最小值为
【点评】本题是对二次函数的恒成立问题和导函数的求法的综合考查．二次函数的恒成立
问题一般分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立
须满足开口向下，且判别式小于0．
21．（13分）（2010•湖南）数列{a }（n N*）中，a =a，a 是函数
n 1 n+1
的极小值点．
∈
（Ⅰ）当a=0时，求通项a ；
n
（Ⅱ）是否存在a，使数列{a }是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明
n
理由．
【考点】数列与函数的综合．
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【专题】综合题；压轴题．
【分析】（I）当a=0时，a =0，则3a ＜12．由f' （x）=x2﹣（3a +n2）x+3n2a =（x﹣3a ）
1 1 n n n n
（x﹣n2）=0，得x =3a ，x =n2．由函数的单调性知f （x）在x=n2取得极小值．所以
1 n 2 n
a =12=1．因为3a =3＜22，则，a =22=4，因为3a =12＞33，则a =3a =3×4，又因为3a =36
2 2 3 3 4 3 4
＞42，则a =3a =32×4，由此猜测：当n≥3时，a =4×3n﹣3．然后用数学归纳法证明：当n≥3
5 4 n
时，3a ＞n2．
n
（Ⅱ）存在a，使数列{a }是等比数列．事实上，若对任意的n，都有3a ＞n2，则
n n
a =3a ．要使3a ＞n2，只需 对一切n N*都成立．当x≥2时，y'＜0，从而函数
n+1 n n
∈
在这[2，+∞）上单调递减，故当n≥2时，数列{b }单调递减，即数列{b }中最大项为
n n
．于是当a＞ 时，必有 ．由此能导出存在a，使数列{a }是等比数列，且a
n
的取值范围为 ．
【解答】解：（I）当a=0时，a =0，则3a ＜12．
1 1
由题设知f' （x）=x2﹣（3a +n2）x+3n2a =（x﹣3a ）（x﹣n2）．
n n n n
令f' （x）=0，得x =3a ，x =n2．
n 1 n 2
若3a ＜n2，则
n
当x＜3a 时，f' （x）＞0，f （x）单调递增；
n n n
当3a ＜x＜n2时，f' （x）＜0，f （x）单调递减；
n n n
当x＞n2时，f' （x）＞0，f （x）单调递增．
n n
故f （x）在x=n2取得极小值．
n
所以a =12=1
2
因为3a =3＜22，则，a =22=4
2 3
因为3a =12＞32，则a =3a =3×4，
3 4 3又因为3a =36＞42，则a =3a =32×4，
4 5 4
由此猜测：当n≥3时，a =4×3n﹣3．
n
下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3a ＞n2．
n
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n=k（k≥3）时，3a ＞k2成立，则由（2）知，a =3a ＞k2，
k k+1 k
从而3a ﹣（k+1）2＞3k2﹣（k+1）2=2k（k﹣2）+2k﹣1＞0，
k+1
所以3a ＞（k+1）2．
k+1
故当n≥3时，3a ＞n2成立．
n
于是，当n≥3时，a =3a ，而a =4，因此a =4×3n﹣3．
n+1 n 3 n
综上所述，当a=0时，a =0，a =1，a =4×3n﹣3（n≥3）．
1 2 n
（Ⅱ）存在a，使数列{a }是等比数列．
n
事实上，若对任意的n，都有3a ＞n2，则a =3a ．即数列{a }是首项为a，公比为3的等
n n+1 n n
比数列，且a =a•3n﹣3．
n
而要使3a ＞n2，即a•3n＞n2对一切n N*都成立，只需 对一切n N*都成立．
n
∈ ∈
记 ，则 ，．
令 ，则 ．
因此，当x≥2时，y'＜0，从而函数 在这[2，+∞）上单调递减，
故当n≥2时，数列{b }单调递减，即数列{b }中最大项为 ．
n n
于是当a＞ 时，必有 ．这说明，当 时，数列a 是等比数列．
n
当a= 时，可得 ，而3a =4=22，由（3）知，f （x）无极值，不合题意，
2 2
当 时，可得a =a，a =3a，a =4，a =12，…，数列{a }不是等比数列．
1 2 3 4 n
当 时，3a=1=12，由（3）知，f （x）无极值，不合题意．
1
当 时，可得a =a，a =1，a =4，a =12，数列{a }不是等比数列．
1 2 3 4 n
综上所述，存在a，使数列{a }是等比数列，且a的取值范围为 ．
n
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运
用．
