文档内容
2010 年海南高考理科数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第 II卷第（22）-
（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答
题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上
的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标
号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清
楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的
题号涂黑。
参考公式：
样本数据 的标准差 锥体体积公式
其中 为样本平均数 其中 为底面面积， 为高
柱体体积公式 球的表面积，体积公式[来源:Z。xx。k.Com]
其中 为底面面积， 为高 其中R为球的半径第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）已知集合 }, ,则
(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}
(2)已知复数 ， 是z的共轭复数，则 =
A. B. C.1 D.2
(3)曲线 在点（-1，-1）处的切线方程为
（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2
(4)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P （ ，- ），角速
0
度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为（5）已知命题
：函数 在R为增函数，
：函数 在R为减函数，
则在命题 ： ， ： ， ： 和 ： 中，真命
题是（A） ， （B） ， （C） ， （D） ，
（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒
需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
（A）100 （B）200 （C）300 （D）400
（ 7 ） 如 果 执 行 右 面 的 框 图 ， 输 入 ， 则 输 出 的 数 等 于
（A）
（B）
（C）
（D）（8）设偶函数 满足 ，则
(A) (B)
(C) (D)
（9）若 ， 是第三象限的角，则
(A) (B) (C) 2(D) -2
（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表
面积为
(A) (B) (C) (D)
（11）已知函数 若 互不相等，且 则
的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
（12）已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过F的直线 与 相交于A，B
两点，且AB的中点为 ,则 的方程式为
(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）设 为区间 上的连续函数，且恒有 ，可以用随机模拟方法
近似计算积分 ，先产生两组（每组N个）区间 上的均匀随机数
和 ， 由 此 得 到 N 个 点 ， 再 数 出 其 中 满 足
的点数 ，那么由随机模拟方案可得积分 的近似值为
。
（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）
（15）过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为____
(16)在△ABC中，D为边BC上一点，BD= DC， ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为
，则 BAC=_______
三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤
（17）（本小题满分12分）
设数列 满足
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 令 ，求数列的前n项和
(18)（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB
CD,AC BD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为
AD中点
（1） 证明：PE BC
（2） 若 APB= ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值(19)(本小题12分)
为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500位
老年人，结果如下：
是否需要志愿 性别 男 女
需要 40 30
不需要 160 270
（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助
的老年人的比例？说明理由
附：
（ 20 ） （ 本 小题满分 12
分）
设 分别是椭圆 的左、右焦点，过 斜率为1的直线
与 相交于 两点，且 成等差数列。
（1）求 的离心率；
（2） 设点 满足 ，求 的方程
（21）（本小题满分12分）
设函数 。
（1） 若 ，求 的单调区间；
（2） 若当 时 ，求 的取值范围
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已经圆上的弧 ，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）BC2=BF×CD。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线C （t为参数），C （ 为参数），
1 2
（Ⅰ）当 = 时，求C 与C 的交点坐标；
1 2
（Ⅱ）过坐标原点O做C 的垂线，垂足为 ，P为OA中点，当 变化时，求P点的轨迹的
1
参数方程，并指出它是什么曲线。
（24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选项
设函数
（Ⅰ）画出函数 的图像
（Ⅱ）若不等式 ≤ 的解集非空，求a的取值范围。数学试题参考答案
一、选择题
（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B
（7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B
二、填空题
（13） （14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）
（15） （16）60°
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）由已知，当n≥1时，
。
而
所以数列{ }的通项公式为 。
（Ⅱ）由 知
①
从而
②
①-②得
。
即
（18）解：以 为原点， 分别为 轴，线段 的长为单位长， 建立空间直角坐
标系如图， 则
（Ⅰ）设
则
可得
因为
所以
（Ⅱ）由已知条件可得
设 为平面 的法向量
则 即
因此可以取 ，由 ，
可得
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
（19）解：
（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需
要帮助的老年人的比例的估算值为
（2） 。
由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地
区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区
老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机
抽样方法更好．
（20.）解：
（I）由椭圆定义知 ，又 ，
得
的方程为 ，其中 。
设 ， ，则A、B两点坐标满足方程组
化简的则
因为直线AB斜率为1，所以
得 故
所以E的离心率
（II）设AB的中点为 ，由（I）知
， 。
由 ，得 ，
即
得 ，从而
故椭圆E的方程为 。
（21）解：
（1） 时， ， .
当 时， ；当 时， .故 在 单调
减少，在 单调增加
（II）
由（I）知 ，当且仅当 时等号成立.故，
从而当 ，即 时， ，而 ，
于是当 时， .
由 可得 .从而当 时，
，
故当 时， ，而 ，于是当 时， .
综合得 的取值范围为 .
（22）解：
（I）因为 ,
所以 .
又因为 与圆相切于点 ，故 ，
所以 .
（II）因为 ,
所以 ∽ ，故 ，
即 .
(23)解：
（Ⅰ）当 时， 的普通方程为 ， 的普通方程为 。联立
方程组 ，解得 与 的交点为（1,0） 。
（Ⅱ） 的普通方程为 。A点坐标为 ，
故当 变化时，P点轨迹的参数方程为：
P点轨迹的普通方程为 。
故P点轨迹是圆心为 ，半径为 的圆。
（24） 解：
（Ⅰ）由于 则函数 的图像如图所示。（Ⅱ）由函数 与函数 的图像可知，当且仅当 或 时，函数
与函数 的图像有交点。故不等式 的解集非空时， 的取值范围
为
。
选择填空解析：
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2010•海南）已知集合A={x R||x|≤2}}， ，则A∩B=（
）
∈
A．（0，2）B．[0，2 C．{0，2 D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
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【专题】计算题．
【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义
求解．
【解答】解：A={x R||x|≤2，}={x R|﹣2≤x≤2}，
∈ ∈
故A∩B={0，1，2}．
应选D．
【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函
数等知识，属于基础题．2．（5分）（2010•海南）已知复数 ， 是z的共轭复数，则 =（
）
A． B． C．1 D．2
【考点】复数代数形式的混合运算．
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【分析】因为 ，所以先求|z|再求 的值．
【解答】解：由 可得 ．
另解：
故选A．
【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数
的一些运算性质可以简化运算．
3．（5分）（2010•海南）曲线y= 在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】常规题型；计算题．
【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数
求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y= ，
∴y′= ，
所以k=y′| =2，得切线的斜率为2，所以k=2；
x=﹣1
所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：
y+1=2×（x+1），即y=2x+1．
故选A．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方
程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）（2010•新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为
P （ ，﹣ ），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（
0
）
A． B． C．
D．
【考点】函数的图象．
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【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答
案．
【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为 ，于是可以排除答案A，
D，
再根据当 时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，
故应选C．
【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．
5．（5分）（2010•海南）已知命题p ：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p ：函数y=2x+2﹣x
1 2
在R为减函数，则在命题q
1
：p 1∨p
2
，q
2
：p
1
p
2
，q
3
：（￢p
1
）∨p
2
和q
4
：p
1
（￢p
2
）中，
真命题是（ ）
∧ ∧
A．q ，q B．q ，q C．q ，q D．q ，q
1 3 2 3 1 4 2 4
【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系．
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【专题】简易逻辑．
【分析】先判断命题p
1
是真命题，P
2
是假命题，故p 1∨p
2
为真命题，（﹣p
2
）为真命题，
p （﹣p ）为真命题．
1 2
【∧解答】解：易知p 是真命题，而对p ：y′=2xln2﹣ ln2=ln2（ ），
1 2
当x [0，+∞）时， ，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；
同理∈得当x （﹣∞，0）时，函数单调递减，故p 是假命题．
2
∈由此可知，q 真，q 假，q 假，q 真．
1 2 3 4
故选C．
【点评】只有p 与P 都是真命题时，p p 才是真命题．只要p 与p 中至少有一个真命题，
1 2 1 2 1 2
p 1∨p
2
就是真命题．
∧
6．（5分）（2010•海南）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有
发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．
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【专题】计算题；应用题．
【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发
芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补
种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．
【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B
（1000，0.1）．
而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X
故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．
故选B．
【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．
属于基础性题目．
7．（5分）（2010•新课标）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】设计程序框图解决实际问题．
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【专题】操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的
作用是累加并输出S= 的值．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S= 的值．
∵S= =1﹣ =
故选D．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其
处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的
类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进
行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
8．（5分）（2010•海南）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}
=（ ）
A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞
2}
【考点】偶函数；其他不等式的解法．
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【专题】计算题．
【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶
函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．
【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，
则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2
解得x＞4，或x＜0．
应选：B．
【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键
是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．
9．（5分）（2010•海南）若 ，α是第三象限的角，则 =（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【考点】半角的三角函数；弦切互化．
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【专题】计算题．
【分析】将欲求式 中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角
的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由 ，α是第三象限的角，
∴可得 ，
则 ，
应选A．
【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知
识以及相应的运算能力．
10．（5分）（2010•海南）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个
球面上，则该球的表面积为（ ）
A．πa2 B． C． D．5πa2
【考点】球内接多面体．
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【专题】计算题．
【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表
面积．
【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中
点就是球心，则其外接球的半径为 ，
球的表面积为 ，
故选B．
【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和
空间形象能力．
11．（5分）（2010•海南）已知函数 ，若a，b，c互不相等，
且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函
数的图像与性质．
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【专题】作图题；压轴题；数形结合．
【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即
可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则ab=1，
则abc=c （10，12）．
故选C．
∈
【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．
12．（5分）（2010•海南）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的
直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为
（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
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【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相
减得x +x =﹣24，根据 = ，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进
1 2
而可得答案．
【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k =1，
PN
设双曲线方程为 ，
A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则有 ，
两式相减并结合x +x =﹣24，y +y =﹣30得
1 2 1 2
= ，
从而= =1
即4b2=5a2，又a2+b2=9，
解得a2=4，b2=5，
故选B．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（2010•海南）设y=f（x）为区间[0，1 上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，
可以用随机模拟方法近似计算积分 ，先产生两组（每组N个）区间[0，1 上
]
]
的均匀随机数x ，x ，…x 和y ，y ，…y ，由此得到N个点（x，y）（i=1，2，…，
1 2 N 1 2 N i i
N），再数出其中满足y≤f（x）（i=1，2，…，N）的点数N ，那么由随机模拟方案可得
i i 1
积分 的近似值为 ．
【考点】模拟方法估计概率；定积分在求面积中的应用；几何概型．
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【专题】计算题．
【分析】要求∫ f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．
【解答】解：由题意可知 得 ，
故积分 的近似值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基
础题．
14．（5分）（2010•海南）正视图为一个三角形的几何体可以是 三棱锥、三棱柱、圆锥
（其他正确答案同样给分） （写出三种）
【考点】简单空间图形的三视图．
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【专题】阅读型．
【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视
图为线段的情形，即可回答本题．
【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、
四棱锥等等．
故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．
【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．
15．（5分）（2010•海南）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则
圆C的方程为 （ x﹣ 3 ） 2 + y 2 = 2 ．
【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．
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【专题】压轴题．
【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相
切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
则 ，
解得 ，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．
故答案为：（x﹣3）2+y2=2．
【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．
16．（5分）（2010•海南）在△ABC中，D为边BC上一点，BD= DC，∠ADB=120°，
AD=2，若△ADC的面积为 ，则∠BAC= 60 ° ．
【考点】余弦定理的应用．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面
积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得
cos∠BAC，求得∠BAC的值．
【解答】解：由△ADC的面积为 可得
解得 ，则 ．
AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°= ，
，
则 = ．
故∠BAC=60°．
【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决
问题的能力以及相应的运算能力．
