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绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。 sinxx
5．函数f(x)=cosxx2 在 的图像大致为
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
A． B．
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求
作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
C． D．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 =
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻
“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
2．设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
3．已知 ，则 A． B． C． D．
A． B． C． D．
7．已知非零向量a，b满足 ，且 b，则a与b的夹角为
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618， A． B． C． D．
称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的
8．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入
长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26
cm，则其身高可能是二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线 在点 处的切线方程为____________．
14．记S 为等比数列{a}的前n项和．若 ，则S=____________．
n n 5
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期
比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率
为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
16．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与C的两条渐近线分别
1 2 1
A．A= B．A= C．A= D．A=
交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为____________．
S
9．记 n为等差数列 的前n项和．已知 ，则 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考题，每个试题考生都必
须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
A． B． C． D．
17．(12分)
10．已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F 的直线与 C 交于 A，B 两点．若 ，
2
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求A；
，则C的方程为
（2）若 ，求sinC．
18．（12分）
A． B． C． D．
如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB ，
1 1 1 1 1 1
11．关于函数 有下述四个结论：
AD的中点．
1
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是 （1）证明：MN∥平面C DE；
1
PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 （2）求二面角A-MA-N的正弦值．
1
19．（12分）
A． B． C． D．3 1t2
x ，
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为
2
的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
1t2
4t
y
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； 1t2
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴
AP 3PB
（2）若 ，求|AB|．
2cos 3sin110
为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
20．（12分）
（1）求C和l的直角坐标方程；
已知函数 ， 为 的导数．证明：
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（2） 有且仅有2个零点． （1） ；
21．（12分）
（2） ．
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如
下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．
一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就
停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠
治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治
愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为
α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲
药 比 乙 药 更 有 效 ” 的 概 率 ， 则 ， ， ， 其 中
， ， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）2019 年普通高等学校招生全国统一考试
A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm
理科数学解析
【答案】B
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 【分析】
理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．
合题目要求的。
1.已知集合 ，则 = 【详解】设人体脖子下端至腿根的长为 x cm，肚脐至腿根的长为 y cm，则 ，得
A. B. C. D.
．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．
【答案】C
15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．
【分析】
总结：本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】由题意得， ，则
5.函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
．故选C．
总结：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
A. B.
2.设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
C. D.
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为
1，可选正确答案C．
【详解】 则 ．故选C．
【答案】D
总结：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方 【分析】
程思想解题． 先判断函数的奇偶性，得 是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
3.已知 ，则
【详解】由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称．又
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
运用中间量 比较 ，运用中间量 比较 ．故选D．
【详解】 则 ．故选B．
总结：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归 总结：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用
思想解题． 数形结合思想解题．
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称 “——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度
之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其
身高可能是
A. B. C. D.
【答案】A【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重
【详解】执行第1次， 是，因为第一次应该计算 = ， =2，循环，执行第2
卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法
即可计算．
【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有 情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有 ，所以该重
次， ，是，因为第二次应该计算 = ， =3，循环，执行第3次， ，否，
卦恰有3个阳爻的概率为 = ，故选A．
总结：对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．
本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问
输出，故循环体为 ，故选A．
题即为组合问题．
7.已知非零向量a，b满足 =2 ，且（a–b） b，则a与b的夹角为 总结：秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 ．
9.记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
A. B. C. D.
【答案】B A. B. C. D.
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数 【答案】A
【分析】
学素养．先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B， ， ，排除B，对
【详解】因为 ，所以 =0，所以 ，所以 = ，所
C ， ， 排 除 C ． 对 D ，
以 与 的夹角为 ，故选B．
，排除D，故选A．
总结：对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，
再求出夹角，注意向量夹角范围为 ．
【详解】由题知， ，解得 ，∴ ，故选A．
8.如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入
总结：本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公
式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
10.已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点.若 ，
2
，则C的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
可以运用下面方法求解：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
． 在 和 中 ， 由 余 弦 定 理 得
，又 互补， ，两式
消 去 ， 得 ， 解 得 ．
A. A= B. A= C. A= D. A=
所求椭圆方程为 ，故选B．
【答案】A
【分析】
本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构， 【 详 解 】 如 图 ， 由 已 知 可 设 ， 则 ， 由 椭 圆 的 定 义 有
即可找出作出选择．
． 在 中 ， 由 余 弦 定 理 推 论 得．在 中，由余弦定理得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，故选B．
设 ， 分别为 中点，
总结：本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观 ，且 ， 为边长为2 等边三角形，
的
想象、逻辑推理等数学素养．
又
11.关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增
中余弦定理 ，作 于 ， ，
③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 为 中点， ， ，
A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③
【答案】C
【分析】 ， ，又 ， 两两垂直，
画出函数 的图象，由图象可得①④正确，故选C．
， ， ，故选D.
【详解】 为边长为2的等边三角形， 为正三棱锥，
，又 ， 分别 为、 中点，
， ，又 ， 平面 ， 平面 ，
， 为正方体一部分， ，即
【详解】 为偶函数，故①正确．当
，故选D．
时， ，它在区间 单调递减，故②错误．当 时， ，它有两个零点：
；当 时， ，它有一个零点： ，故 在 有 个
零点： ，故③错误．当 时， ；当
时， ，又 为偶函数， 的最大值为 ，
故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
总结：化简函数 ，研究它的性质从而得出正确答案．
12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是
PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】 总结：本题考查学生空间想象能力，补型法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂
本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的．适合空间想象能力略差学生． 直关系，快速得到侧棱长，进而补型成正方体解决．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线 在点 处的切线方程为___________．【答案】 .
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
总结：准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要
“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
由 得 又 得OA是三角形 的中位线，即 由
14.记S 为等比数列{a}的前n项和．若 ，则S=____________．
n n 5
，得 则 有
【答案】 . ．又OA与OB都是渐近线，得 则 ．又渐近线OB的斜率为
【分析】
，所以该双曲线的离心率为 ．
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 ．题目的难度不
大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 总结：此题若不能求出直角三角形的中位线的斜率将会思路受阻，即便知道双曲线渐近线斜率和其离心率
的关系，也不能顺利求解，解题需要结合几何图形，关键得到 即得到渐近线
【详解】设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，
的倾斜角为 从而突破问题障碍．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个
所以 所以 ． 试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
总结：准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
易出现运算错误．
（1）求A；
15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比 （2）若 ，求sinC．
赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且
各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【答案】（1） ；（2） .
【答案】0.18.
【分析】 【分析】
本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的
（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得： ，从而可整理出 ，根据 可求得
难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】前五场中有一场客场输时，甲队以 获胜的概率是 结果；（2）利用正弦定理可得 ，利用 、两角和差正弦公式可得关
前五场中有一场主场输时，甲队以 获胜的概率是 于 和 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.
综上所述，甲队以 获胜 概的率是
【详解】（1）
总结：由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性
是否具备，要考虑甲队以 获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 即：
由正弦定理可得：
16.已知双曲线C： 左、右焦点分别为F，F，过F 的直线与C的两条渐近线分别交于
1 2 1
的
A，B两点．若 ， ，则C的离心率为____________．
【答案】2.
【分析】 （2） ，由正弦定理得：
本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，
利用数形结合思想解题． 又 ，
【详解】如图，
整理可得：解得： 或
因为 所以 ，故 .
（2）法二： ，由正弦定理得：
又 ， ， 分别为 ， 中点 为 的中位线
且
又 为 中点，且 且
整理可得： ，即
四边形 为平行四边形
，又 平面 ， 平面
或
平面
且 （2）设 ，
由直四棱柱性质可知： 平面
四边形 为菱形
则以 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
总结：本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应
用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
18.如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB，
1 1 1 1 1 1
AD的中点．
1
则： ， ， ，D（0，-1,0）
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求二面角A-MA-N的正弦值．
1
取 中点 ，连接 ，则
【答案】（1）见解析；（2） .
【分析】 四边形 为菱形且 为等边三角形
（1）利用三角形中位线和 可证得 ，证得四边形 为平行四边形，进而证得
又 平面 ， 平面
，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，
平面 ，即 平面
通过取 中点 ，可证得 平面 ，得到平面 的法向量 ；再通过向量法求得平面
的法向量 ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 为平面 的一个法向量，且
【详解】（1）连接 ，
设平面 的法向量 ，又 ，，
，令 ，则 ，
则
总结：本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是
能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.
20.已知函数 ， 为 的导数．证明：
二面角 的正弦值为：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
总结：本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建
立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型. （2） 有且仅有2个零点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
【分析】
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （1）求得导函数后，可判断出导函数在 上单调递减，根据零点存在定理可判断出 ，使得
（2）若 ，求|AB|．
，进而得到导函数在 上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知 为
【答案】（1） ；（2） .
【分析】 在 上的唯一零点；当 时，首先可判断出在 上无零点，再利用零点存在定理得到 在
（1）设直线 ： ， ， ；根据抛物线焦半径公式可得 ；联立直线方程
上的单调性，可知 ，不存在零点；当 时，利用零点存在定理和 单调性可判
与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于 的方程，解方程求得结果；（2）设直线 ： ；联立直线
断出存在唯一一个零点；当 ，可证得 ；综合上述情况可证得结论.
方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用 可得 ，结合韦达定理可求得 ；根据弦
【详解】（1）由题意知： 定义域为： 且
长公式可求得结果.
【详解】（1）设直线 方程为： ， ，
令 ，
由抛物线焦半径公式可知：
，
联立 得：
在 上单调递减， 在 上单调递减
则 在 上单调递减
，解得：
又 ，
直线 的方程为： ，即：
，使得
（2）设 ，则可设直线 方程为：
当 时， ； 时，
联立 得：
即 在 上单调递增；在 上单调递减
则 为 唯一的极大值点
则
即： 在区间 上存在唯一的极大值点 .
，认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的
（2）由（1）知： ，
白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药
得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的
①当 时，由（1）可知 在 上单调递增
得分记为X．
在 上单调递减 （1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药比乙
又
药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ，
为 在 上的唯一零点
， ．假设 ， ．
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减 (i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
又
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii） .
在 上单调递增，此时 ，不存在零点
【分析】
又 （1）首先确定 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出
的取值，可得 ，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题
，使得
得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合 和 的值可求得 ；再次利用累加法
可求出 .
在 上单调递增，在 上单调递减
【详解】（1）由题意可知 所有可能的取值为： ， ，
； ；
又 ，
则 的分布列如下：
在 上恒成立，此时不存在零点
③当 时， 单调递减， 单调递减
在 上单调递减 （2） ，
， ，
又 ， （i）
即
即 ，又 在 上单调递减
整理可得：
在 上存在唯一零点
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。
④当 时， ，
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
即 在 上不存在零点 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴
综上所述： 有且仅有 个零点
总结：本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是
为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者
缺一不可. （1）求C和l的直角坐标方程；
21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下： （2）求C上的点到l距离的最小值．
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治
疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并（2） ，当且仅当 时取等号
【答案】（1） ； ；（2）
又 ， ， （当且仅当 时等号同时成立）
【分析】
（1）利用代入消元法，可求得 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得 的直角坐标方程；
（2）利用参数方程表示出 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根
又
据三角函数的范围可求得最值.
总结：本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注
意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
【详解】（1）由 得： ，又
整理可得 的直角坐标方程为：
又 ，
的直角坐标方程为：
（2）设 上点的坐标为：
则 上的点到直线 的距离
当 时， 取最小值则
总结：本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本
题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用 将所证不等式可变为证明： ，利用基本不等式可证得
， 从 而 得 到 结 论 ； （ 2 ） 利 用 基 本 不 等 式 可 得
， 再 次 利 用 基 本 不 等 式 可 将 式 转 化 为
，在取等条件一致的情况下，可得结论.
【详解】（1）
当且仅当 时取等号
，即：
