文档内容
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字
体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在
草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则A∩B=
A．(–1，+∞) B．(–∞，2)
C．(–1，2) D．
2．设z=i(2+i)，则 =
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=
A． B．2
C．5 D．50
4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3
只，则恰有2只测量过该指标的概率为A． B．
C． D．
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次
序为
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)= ，则当x<0时，f(x)=
A． B．
C． D．
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
8．若x = ，x = 是函数f(x)= ( >0)两个相邻的极值点，则 =
1 2
A．2 B．
C．1 D．
9．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=
A．2 B．3C．4 D．8
10．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
11．已知a∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
12．设F为双曲线C： （a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以 OF
为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若变量x，y满足约束条件 则z=3x–y的最大值是___________.
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正
点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站
高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
15． 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsinA+acosB=0，则
B=___________.
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方
体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正
多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．
图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题
第一空2分，第二空3分．）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
如图，长方体ABCD–A B C D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
1 1 1 1 1 1
（1）证明：BE⊥平面EB C ；
1 1
（2）若AE=A E，AB=3，求四棱锥 的体积．
1
18．（12分）
已知 是各项均为正数的等比数列， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和.
19．（12分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这
些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.的分组
企业数 2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）.（精确到0.01）
附： .
20．（12分）
已知 是椭圆 的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原
点．
（1）若 为等边三角形，求C的离心率；
（2)如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求b的值和a的取值
范围.
21.（12分）
已知函数 .证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点 在曲线 上，直线l过点
且与 垂直，垂足为P.
（1）当 时，求 及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时， ，求 的取值范围.
1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．D
7．B 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A
13．9 14．0.98 15． 16．26
17．解：（1）由已知得B C ⊥平面ABB A ，BE 平面ABB A ，
1 1 1 1 1 1
故 .
又 ，所以BE⊥平面 .
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ∠ BEB =90°. 由 题 设 知 Rt ABE≌ Rt A B E ， 所 以
1 1 1
△ △
，故AE=AB=3， .
作 ，垂足为F，则EF⊥平面 ，且 .
所以，四棱锥 的体积 .
18．解：（1）设 的公比为q，由题设得，即 .
解得 （舍去）或q=4.
因此 的通项公式为 .
（2）由（ 1）得 ，因此数列 的前 n 项和为
.
19.解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的 100个企业中产值增长率不低于
40%的企业频率为 .
产值负增长的企业频率为 .
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，
产值负增长的企业比例为2%.
（2） ，
，
，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.
20.解：（1）连结 ，由 为等边三角形可知在 中， ，， ，于是 ，故 的离心率是
.
（2）由题意可知，满足条件的点 存在当且仅当 ，
， ，即 ，①
，②
，③
由②③及 得 ，又由①知 ，故 .
由②③得 ，所以 ，从而 故 .
当 ， 时，存在满足条件的点P.
所以 ， 的取值范围为 .
21.解：（1） 的定义域为（0，+ ）.
.
因为 单调递增， 单调递减，所以 单调递增，又 ，
，故存在唯一 ，使得 .
又当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
因此， 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知 ，又 ，所以 在
内存在唯一根 .
由 得 .
又 ，故 是 在 的唯一根.
综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
22．解：（1）因为 在C上，当 时， .
由已知得 .
设 为l上除P的任意一点.在 中 ，
经检验，点 在曲线 上.
所以，l的极坐标方程为 .
（2）设 ，在 中， 即 ..
因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 .
所以，P点轨迹的极坐标方程为 .23．解：（1）当a=1时， .
当 时， ；当 时， .
所以，不等式 的解集为 .
（2）因为 ，所以 .
当 ， 时， .
所以， 的取值范围是 .
选择填空解析
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 Ⅱ卷）
文科数学
1.设集合 ， ，则 ( )
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
， ，∴ .
2. 设 ，则 ( )A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
因为 ，所以 .
3. 已知向量 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由题意知 ，所以 .
4. 生物实验室有 只兔子，其中只有 只测量过某项指标.若从这 只兔子中随机取出 只，
则恰有 只测量过该指标的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B解答：
3只兔子为 、 、 ，设测量过的 只兔子为 、 则3只兔子的种类有
计测量过的
,则恰
种，所以其概率为
好有两只测量过的有
.
5. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序
为（ ）
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
答案：
A
解答：
根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果.
6. 设 为奇函数，且当 时， ，则当 时， （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：D
解答：
当 时， ， ，又 为奇函数，
有 .
7. 设 为两个平面，则 的充要条件是( )
A. 内有无数条直线与 平行
B. 内有两条相交直线与 平行
C. 平行于同一条直线
D. 垂直于同一平面
答案：
B
解析:
根据面面平行的判定定理易得答案.
两个相邻的极值点，则
8. =
若 是函数
A．
B.
C.
D.
答案：
A
解答：,所以 .
由题意可知 即
9.若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则 （ ）
A.2
B.3
C.4
D.8
答案：
D
解析：
抛物线 的焦点是 ，椭圆 的焦点是 ，
∴ ，∴ .
10. 曲线 在点 处的切线方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 .
11. 已知 ， ，则 （ ）
A.B.
C.
D.
答案：
B
解答：
， ，
则 ，所以 ，
所以 .
12.设F为双曲线 的右焦点，0为坐标原点，以 为直径的
圆与圆 交于 两点，若 ,则 的离心率为
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：设 点坐标为 ，则以 为直径的圆的方程为 -----
①，圆的方程 -----②，则①-②，化简得到 ，代入②式，求得，则设 点坐标为 ， 点坐标为 ，故 ，又
, 则 化 简 得 到 ， ， 故
.故选A.
二、填空题
13. 若变量 满足约束条件 的最大值是 .
则
答案：
解答：
根据不等式组约束条件可知目标函数 在 处取得最大值为 .
14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 个车次的正
点率为 ，有 个车次的正点率为 ，有 个车次的正点率为 ，则经停该站
的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .
答案：
解答：
平均正点率的估计值 .
15. 的内角 的对边分别为 .已知 ，则 .
答案：
解析：
根 据 正 弦 定 理 可 得 , 即 ， 显 然
，所以 ，故 .16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体
或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体
是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一
个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长
为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3
分.)
答案：
26
解析：
由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据
对称性列方程求解.
