文档内容
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字
体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在
草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1) B．(-2，1)
C．(-3，-1) D．(3，+∞)
2．设z=-3+2i，则在复平面内 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =
A．-3 B．-2
C．2 D．3
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事
业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测
器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月
拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万
１ ２
有引力定律，r满足方程：
.
设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近似值
为
A． B．
C． D．
5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始
评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分
相比，不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
6．若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
8．若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
9．下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
10．已知α∈(0， )，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=
A． B．
C． D．
11．设F为双曲线C： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的
圆与圆 交于P，Q两点.若 ，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
12．设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个车次的正
点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该
站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.
14．已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 __________.
15． 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面
积为__________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体
或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多
面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图
2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正
方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一
空2分，第二空3分.）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
如图，长方体ABCD–A B C D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
1 1 1 1 1 1
（1）证明：BE⊥平面EB C ；
1 1
（2）若AE=A E，求二面角B–EC–C 的正弦值.
1 1
18．（12分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先
多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲
得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方
10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
19．（12分）
已知数列{a }和{b }满足a =1，b =0， ， .
n n 1 1
（1）证明：{a +b }是等比数列，{a –b }是等差数列；
n n n n
（2）求{a }和{b }的通项公式.
n n
20．（12分）
已知函数 .
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x 是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x ，ln x )处的切线也是曲线
0 0 0
的切线.
21．（12分）
已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹
为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连
结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点 在曲线 上，直线l过点
且与 垂直，垂足为P.（1）当 时，求 及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时， ，求 的取值范围.
