2009年湖南高考理科数学试题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_湖南高考文科和理科数学08-22

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1 1．若log a0，( )b 1，则【 】 2 2 A．a1,b0 B．a1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b0 2．对于非零向量  “  ”是“ ”的【 】 a,b, ab0 a//b A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件  3．将函数 y sinx的图象向左平移(02)个单位后，得到函数 y sin(x )的图象， 6 则等于【 】  5 7 11 A． B． C. D. 6 6 6 6 4．如图1，当参数 时，连续函数 x , y  (x0) y 1 2 1x c 2 的图像分别对应曲线 和 , 则【 】 C C c 1 2 1 A ． B ． o x 0 0  1 2 2 1 图1 C ． D ．  0  0 1 2 2 1 5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选 的不同选法的种数为【 】 A． 85 B． 56 C ．49 D ．28 x2y0, 6．已知D是由不等式组 所确定的平面区域，则圆 在区域D内的弧长为  x2  y2 4 x3y0【 】   3 3 A． B． C． D． 4 2 4 2 7．正方体 的棱上到异面直线AB，C 的距离相等的点的个数为【 】 ABCDABC D C 1 1 1 1 1 A．2 B．3 C． 4 D．5 D C 1 1 8．设函数 在 内有定义.对于给定的正数K，定义 y  f(x) (,) A 1 B 1 D C f(x), f(x) K, 函数 f (x) 取函数 f(x) 2xex 。若对任 A B K K, f(x) K. 意的 ，恒有 ，则【 】 x(,) f (x) f(x) K A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线 上 9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱， 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 _ _ _. 10．在 的展开式中， 的系数为___(用数字作答). (1x)3(1 x)3(1 3 x)3 x   11．若x(0, )，则2tanxtan( x)的最小值为 . 2 2 12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为 ，则双 60 曲线C的离心率为 13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量 1 为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 ，则总体中的个体数为 。 28 14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面ABC的距离为 ； （2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 .15．将正 分割成 个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3 ABC n2(n2,nN*) 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线 上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同 且和为1,记所有顶点上的数之和为 ，则有 ， f(n) f(2)2 f(3) ，… ， . f(n) A A 图2 图3 B B C C 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 在ABC中，已知2  A  B    A  C   3  A  B    A  C  3  B  C 2，求角A，B，C的大小 17．（本小题满分12分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建 1 1 1 设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 ， ， .现在3名工人独立地从中任 2 3 6 选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求 的分布列及   数学期望。 18．（本小题满分12分） E A 1 C 1 如图 4，在正三棱柱 中， ， ABCABC AB  2AA 1 1 1 1 D B 1 点D是 的中点，点E在 上，且 AB AC DE  AE 1 1 1 1 A C B（I）证明：平面 平面 ； ADE  ACC A 1 1 （II）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。 19．（本小题满分13分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥 面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费 用为 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工 (2 x)x 程的费用为y万元。 （Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式； （Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 20．（本小题满分13分） 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3 倍之和记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 （Ⅰ）求点P的轨迹C； （Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 21．（本小题满分13分） 对于数列 ,若存在常数M＞0,对任意的 ，恒有 {u } nN* n , u u  u u   u u  M n1 n n n1  2 1 则称数列 为 数列. {u } B n （Ⅰ）首项为1，公比为 的等比数列是否为B-数列？请说明理由; q(q 1) 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （Ⅱ）设 S 是数列x 的前 n 项和，给出下列两组论断； n n A组：①数列x 是B-数列, ②数列x 不是B-数列; n nB组：③数列S 是B-数列, ④数列S 不是B-数列. n n 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论 组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论； (Ⅲ)若数列a ,b 都是 B 数列，证明：数列a b 也是 B 数列。 n n n n 2009 年高考湖南理科数学试题及全解全析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1 1．（09湖南理）若log a0，( )b 1，则【 D 】 2 2 A．a1,b0 B．a1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b0 1 解:由log a00a1,( )b 1b0，易知D正确. 2 2 2．（09湖南理）对于非零向量  “  ”是“ ”的【 A 】 a,b, ab0 a//b A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解:     ，   ；反之不成立，故选A. ab0a b a//b  3．（09 湖南理）将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数 y sinx (02)  y sin(x )的图象，则  等于【 D 】 6  5 7 11 A． B． C. D. 6 6 6 6  11 11 解:依题意得y sin(x )sin(x 2)sin(x )， ，易知D正确. 6 6 6 6 4．（09 湖南理）如图 1，当参数 时，连续函数 , 1 2 x y  (x0) 1x 的图像分别对应曲线 和 , 则【 B 】 C C 1 2 A ． B ． 0 0  1 2 2 1 C ． D ．  0  0 1 2 2 1 解: 易知 ，故可排除C,D,再取特殊值 ，结合图像可得 ，故选B. 0 x1 0  2 1 5．（09湖南理）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选， 而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】 A． 85 B． 56 C ．49 D ．28 解: 除开丙，由间接法得 ，故选C. C3C3 843549 9 7 x2y0, 6．（09湖南理）已知D是由不等式组 所确定的平面区域，则圆 在区  x2  y2 4 x3y0   3 域 D 内的弧长为【 B 】 A． B． C． 4 2 4 3 D． 2 1 1  1 1 2 3  解:作图，由k  ,k  ,tan 1 ， 1 2 2 3 1 1 4 1  2 3   故弧长为l  R2  ，选B. 4 2 7．（09湖南理）正方体 的棱上到异面直线AB，C 的距离相等的点的个数 ABCDABC D C 1 1 1 1 1 为【 C 】A．2 B．3 C． 4 D．5 D C 1 1 解:如图，用列举法知合要求的点的个数为： BC 的点E、 AD 的点F、 B 、D， A 1 B 1 1 1 1 D C 共4个，故选C. A B 8．（09 湖南理）设函数 在 内有定义.对于给定的正数 K，定义函数 y  f(x) (,) f(x), f(x) K, 取 函 数 。 若 对 任 意 的 ， 恒 有 f (x) f(x) 2xex x(,) K K, f(x) K. ，则【 D 】 f (x) f(x) K A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 解: 由 恒成立知 ,故K有最小值，可排除A,C,又由直觉思维得在 时， K  f(x) K  f(x) x0 min ，排除B,因此选D. f(x)2xex 2011 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线 上. 9．（09湖南理）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项 运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 _ 12 _ _. 解: 设所求人数为 ，则只喜爱乒乓球运动的人数为 ， x 10(15x) x5 故15x5308 x12. 注：最好作出韦恩图！ 或由 人. 1510(308)315312 10．（09湖南理）在 的展开式中， 的系数为__7__(用数字作 (1x)3(1 x)3(1 3 x)3 x 答). 解: 故有： ，得 的系数为7. T Crbr, C1C2 C3 23 C0 7 x r1 3 3 3 3 3   11．（09湖南理）若x(0, )，则2tanxtan( x)的最小值为 2 2 . 2 2   1 解:  x(0, )2tanxtan( x)2tanx 2 2 ， 2 2 tanx当且仅当 1 2 时取等号. 2tanx tanx tanx 2 12．（09湖南理）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内 角为 ，则双曲线C的离心率为 6 . 60 2 解: 设双曲线C的左右焦点为 ，虚轴的上下两个端点为 ，由于 F,F B,B cb, 1 2 1 2 故 ,则有 3 b, FBF 60 BF B 60 BFO30 tan30   1 1 2 1 2 2 1 2 3 c , c2 3 6 2c2 3a2 e2   ,e . a2 2 2 13．（09湖南理）一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中 1 抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 ，则总体中的个体数为 28 4 0 。 1 1 解: 设B层中的个体数为 ，则 ，则总体中的个体数为 n  n8 8540. 28 C2 n 14．（09湖南理）在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面ABC的距离为 1 2 ； （2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 3 . 解: 由AB=6，BC=8，CA=10得ABC是以B为直角顶点的直角三角形， （1）设斜边AC的中点为 ,则 ，故 ; O r  BO5 d  R2 r2  132 52 12 d 12 （2）作OH  AB,则OH 4，故tanOHO  3. OH 4 15．（09湖南理）将正 分割成 个全等的小正三角形（图2，图3分别 ABC n2(n2,nN*) 给出了n=2, 3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某 边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三 10 个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)2， f(3) 31 … ， f(n) (n1)(n2) . 6 解: 若依题意顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1，按等差数列的性质进行计算则显然 1 运算量较大,故常规思维不可取！可偏偏特取A ,B ,C处的数均为 （极限法）来思考： 3 1 1 1 则图2中有a 6个 ，得 f(2)6 2；故图3中有a 10个 ，得 2 3 3 3 3 1 10 1 f(3)10  ；易知n4时有a 15个 ， 3 3 4 3 探讨数列 a 6, a 10, a 15, a a 3(n2)n1,  2 3 4 n n1 （可参考2006湖南卷: 逆序数）由叠加法推知: 1 1 1 a n 6[456  (n1)] 2 (n1)(n2)个 3 , f(n) 6 (n1)(n2). 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（09湖南理）（本小题满分12分） 在ABC中，已知2  A  B    A  C   3  A  B    A  C  3  B  C 2，求角A，B，C的大小. 解： 设 . BC a,AC b,AB c 由     得 ，所以 3 . 2ABAC  3 AB  AC 2bccosA 3bc cosA 2  又A(0,),因此A . 6 由   2得 ，于是 3 . 3 AB  AC 3BC bc 3a2 sinCsinB 3sin2 A 4 所以 5 3 ， 1 3 3 ，因此 sinCsin( C) sinC( cosC sinC) 6 4 2 2 4  2sinCcosC2 3sin2C  3,sin2C 3cos2C 0，既sin(2C )0. 3 5   4 由A 知0C  ，所以 2C  ，从而 6 6 3 3 3    2 2C 0,或2C ,，既C  ,或C  ,故 3 3 6 3  2    2 A ,B ,C  ,或A ,B ,C  。 6 3 6 6 6 3 17．（09湖南理）（本小题满分12分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和 1 1 1 产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 ， ， .现在3名 2 3 6 工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，  求 的分布列及数学期望。  解: 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1，2，3.由题意知 相互独立， 相互独立， A,B,C , A,A ,A B,B ,B C ,C ,C i i i 1 2 3 1 2 3 1 2 3 相互独立， （i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立， A,B ,C i j k 1 1 1 且P(A) ,P(B) ,P(C ) . i 2 i 3 i 6 （Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 1 1 1 1 P=3!P(AB C ) 6P(A)P(B )P(C ) 6    . 1 2 3 1 2 3 2 3 6 6 （Ⅱ）解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为， 1 由已知，  B（3， ），且=3-  。 3 1 1 所以P（=0）=P（  =3）=C3( )3= ， 3 3 27 1 2 2 P（=1）=P（  =2）=C2 ( )2 ( ) = ， 3 3 3 9 1 2 4 P（=2）=P（  =1）=C1 ( ) ( )2= ， 3 3 3 92 8 P（=3）=P（  =0）= C0 ( )3= . 3 3 27 故 的分布列是   0 1 2 3 P 1 2 4 8 27 9 9 27 1 2 4 8 的数学期望E=0 +1 +2 +3 =2. 27 9 9 27 解法2: 记第 名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件 ， i D i i=1,2,3 . 由已知， 相互独立，且 D,D ,D 1 2 3 1 1 2 P（D ）=（A C ）= P（A ）+P（C ）= + = ， i i i i i 2 6 3 2 2 1 所以  B(3, ),即P(k)Ck( )k( )3k，k 0,1,2,3. 3 3 3 3 故 的分布列是   0 1 2 3 P 1 2 4 8 27 9 9 27 18．（09湖南理）（本小题满分12分） 如图4，在正三棱柱 中， ， ABCABC AB  2AA 1 1 1 1 点D是 的中点，点E在 上，且 . AB AC DE  AE 1 1 1 1 （I）证明：平面 平面 ； ADE  ACC A 1 1 （II）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。 解：（I） 如图所示，由正三棱柱 的性质知 平面 . ABCABC AA  ABC 1 1 1 1 1 1 1 又DE 平面 ，所以DE .而DE AE， AE=A，  A 1 B 1 C 1  AA 1  AA 1 所以DE 平面 .又DE 平面ADE，故平面 平面 .  ACC A  ADE  ACC A 1 1 1 1 （2）解法1： 如图所示，设F是AB的中点，连接DF，DC ，C F. 1 1 由正三棱柱 的性质及D是 的中点知， ABCABC AB 1 1 1 1 1 C D， DF .又C D DF=D， A 1 B 1  1 A 1 B 1  1  所以 平面C DF.而AB∥ ， AB  AB 1 1 1 1 1 所以AB 平面C DF.又AB 平面ABC ，   1 1 故平面AB C 平面C DF。  1 1 过点D做DH垂直C F于点H，则DH 平面AB C 。  1 1 连接AH，则 HAD是AD和平面ABC 所成的角。  1 由已知AB= A A ，不妨设A A = ，则AB=2，DF= ，D C = ， 2 2 2 3 1 1 1 C F= 5 ，AD= AA2  AD2 = 3 ，DH= DF·DC 1 = 2 3 = 30 . 1 1 1 C F 5 5 1 所以 sin HAD= DH = 10 。即直线AD和平面AB C 所成角的正弦值为 10 .  AD 5 1 5 解法2： 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系， 不妨设A A = ，则AB=2，相关各点的坐标分别是 2 1 A(0,-1,0)， B（ ，0，0）， C （0，1， ）， D（ 3 ， 1 ， ）。 3 2  2 1 2 2 易知 =( ，1，0)， =(0，2， )， =( 3 ， 1 ， ）. AB 3 AC 2 AD  2 1 2 2r 设平面ABC 的法向量为 ,则有 n(x,y,z) 1    n·AB 3x y 0,     n·AC 2y 2z 0. 1 解得 3 x y,z  2y. 3 故可取r . n(1, 3, 6) r uuur r uuur nAD 2 3 10 所以， cos n,AD  r uuur = = 。 n  AD 10 3 5 由此即知，直线AD和平面AB C 所成角的正弦值为 10 。 1 519．（09湖南理）（本小题满分13分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥 面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工 程费用为 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素. (2 x)x 记余下工程的费用为y万元。 （Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式； （Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ m 解：（Ⅰ）设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n= 1， x m m 所以y  f(x) =256n+(n+1)(2+ x)x=256( -1)+ (2 x)x x x 256m  m x 2m256. x （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 256m 1  1 m 3 f '(x)  mx 2  (x2 512). x2 2 2x2 令 f '(x)0，得 3 ，所以x=64. x2 512 当0< <64时， <0， 在区间（0，64）内为减函数； x f '(x) f(x) 当 时， >0. 在区间（64，640）内为增函数. 64 x640 f '(x) f(x) m 640 所以 f(x)在x=64处取得最小值，此时n 1 19. x 64 故需新建9个桥墩才能使y最小。 20．（09湖南理）（本小题满分13分） 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3 倍之和记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 . （Ⅰ）求点P的轨迹C； （Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则 由题设， ， d 4 (x3)2  y2 3|x2|. d 18x 即 . ……① 4 (x3)2  y2 3|x2|18x 1 当x>2时，由①得 (x3)2  y2 6 x, ……② 2 化简得 x2 y2  1. 36 27 当 时，由①得 ……③ x2 (3x)2  y2 3x, 化简得 . y2 12x 故点P的轨迹C是椭圆 x2 y2 在直线x=2的右侧部 C :  1 1 36 27 分与抛物线 在直线x=2的左侧部分（包括它与 C : y2 12x 2 直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1. （Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2 与 ， 的交点都是A（2， ），B（2， ）， C C 2 6 2 6 1 2 直线AF，BF的斜率分别为 = ， = . k 2 6 k 2 6 AF BF 1 当点P在C 上时，由②知 PF 6 x. …… ④ 1 2 当点P在 上时，由③知 . …… ⑤ C PF 3x 2 若直线 的斜率k存在，则直线 的方程为 . l l y k(x3) （ⅰ）当k≤ ，或k≥ ，即k≤ 或k≥ 时，直线 与轨迹C k k 2 6 2 6 l AF BF 的两个交点 都在 上，此时由④知 M(x ,y ),N(x ,y ) C 1 1 2 2 1 1 1 MF 6 x , NF 6 x ， 2 1 2 21 1 1 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - x ）+（6 - x ）=12 - ( x +x ). 2 1 2 2 2 1 2 y k(x3),  由 x2 y2 得 (34k2)x2 24k2x36k2 1080 .  1  36 27 则 ， 是这个方程的两根，所以 + = 24k2 ，∣MN∣=12 -1 （ + ）=12 - 12k2 x y x x x x 1 1 1 2 34k2 2 1 2 34k2 . 因为当 所以 k 2 6,或k 2 6时,k2 24, 12k2 12 12 100 MN 12 12 12  . 34k2 3 3 11 4 4 k2 24 当且仅当 时，等号成立。 k 2 6 （ⅱ）当 时，直线 与轨迹C的两个交点 k k k ,2 6 k 2 6 l AF AF 分别在 上，不妨设点 在 上，点 在 上， M(x ,y ),N(x ,y ) C ,C M C N C 1 1 2 2 1 2 1 2 1 则由④⑤知， MF 6 x , NF 3x . 2 1 2 设直线AF与椭圆 的另一交点为E C (x ,y ),则x  x ,x 2. 1 0 0 0 1 2 1 1 MF 6 x 6 x  EF , NF 3x 32 AF ， 2 1 2 0 2 所以 。而点A，E都在 上， MN  MF  NF  EF  AF  AE C 1 100 100 且k 2 6,由（ⅰ）知 AE  ,所以 MN  . AE 11 11 若直线 的斜率不存在，则 = =3，此时 l x x 1 2 1 100 MN 12 (x x )9 . 2 1 2 11 100 综上所述，线段MN长度的最大值为 . 1121．（09湖南理）（本小题满分13分） 对于数列 ,若存在常数M＞0,对任意的 ，恒有 {u } nN* n ,则称数列 为 数列. u n1 u n  u n u n1    u 2 u 1  M {u n } B （Ⅰ）首项为1，公比为 的等比数列是否为B-数列？请说明理由; q(q 1) 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （Ⅱ）设 S 是数列x 的前 n 项和，给出下列两组论断； n n A组：①数列x 是B-数列, ②数列x 不是B-数列; n n B组：③数列S 是B-数列, ④数列S 不是B-数列. n n 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论 组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论； (Ⅲ)若数列a ,b 都是 B 数列，证明：数列a b 也是 B 数列。 n n n n 解:（Ⅰ）设满足题设的等比数列为a ,则 a qn1，于是 n n a a  qn1qn2  q n2 q1,n2. n n1 因此|a a ||a a | |a a |= q1(1 q  q 2 ... q n1 ). n1 n n n1  2 1 n 1 q 1 因为 q 1,所以1 q  q 2   q n1   ,即  1 q 1 q q1 a a  a a   a a  . n1 n n n1  2 1 1 q 故首项为1，公比为q (q 1) 的等比数列是B-数列。 （Ⅱ）命题1：若数列x 是B-数列，则数列S 是B-数列. n n 此命题为假命题。事实上，设 x 1,nN，易知数列x 是B-数列，但 S n , n n n . S S  S S   S S n n1 n n n1  2 1 由 n 的任意性知，数列S 不是B-数列。 n 命题2：若数列S 是B-数列，则数列x 是B-数列. n n 此命题为真命题. 事实上，因为数列S 是B-数列，所以存在正数M，对任意的 nN, 有 n ， S S  S S   S S  M n1 n n n1  2 1 即 。于是 x  x   x  M n1 n  2 x x  x x   x x n1 n n n1  2 1 ，  x 2 x 2 x ...2 x  x 2M  x n1 n n1 2 1 1 所以数列x 是B-数列。 n （注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） （III）若数列a ,b 是 B 数列，则存在正数 M ,M ，对任意的 nN, 有 n n 1 2 ； a a  a a   a a  M n1 n n n1  2 1 1 ， b b  b a   b b  M n1 n n n1  2 1 2 注意到 a  a a a a  a a a n n n1 n1 n2  2 1 1 .  a a  a a   a a  a  M  a n n1 n1 n2  2 1 1 1 1 同理， . 记 ， ， b M  b K M  a K M  b n 2 1 1 1 1 2 2 2 则有 a b a b  a b a b a b a b n1 n1 n n n1 n1 n n1 n n1 n n.  b a a  a b b  K a a K b b n1 n1 n n n1 n 2 n1 n 1 n1 n 因此 a b a b  a b a b   a b ab n1 n1 n n n n n1 n1  2 2 1 1  K (a a  a a   a a ) 2 n1 n n n1  2 1 . K (b b  b b   b b )k M k M 1 n1 n n n1  2 1 2 1 1 2 故数列 a b 是 B 数列. n n