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2009 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
数学（理工农医类）
第I卷
一， 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符
合题目要求的。
（1） 已知集合 ,则
(A) (B)
(C) (D)
(2) 复数
（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2
（3）对变量x, y 有观测数据理力争（ ， ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v
有观测数据（ ， ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（ A）变量x 与y 正
相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
（4）双曲线 - =1的焦点到渐近线的距离为
（A） （B）2 （C） （D）1
（5）有四个关于三角函数的命题：
： x R, + = : x、y R, sin(x-y)=sinx-siny: x , =sinx : sinx=cosy x+y=
其中假命题的是
（A） ， （B） ， （C） ， （D） ，
（6）设x,y满足
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
（7）等比数列 的前n项和为 ，且4 ，2 ， 成等差数列。若 =1，则 =
（A）7 （B）8 （C）15 （D）16
（8） 如图，正方体 的棱线长为 1，线段
上有两个动点E，F，且 ，则下列结论中
错误的是
（A）
（B）
（C）三棱锥 的体积为定值
（D）异面直线 所成的角为定值
（ 9 ） 已 知 O ， N ， P 在 所 在 平 面 内 ， 且
，且 ，则点O，
N，P依次是 的
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
（10）如果执行右边的程序框图，输入 ，那么输出的各个数的合等于（A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5
（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c ）为
（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24
（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值
设f（x）=min{ , x+2,10-x} (x 0),则f（x）的最大值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
第II卷
二、填空题；本大题共4小题，每小题5分。
（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B
两点。若AB的中点为（2，2），则直线 的方程为_____________.
（14）已知函数 y=sin（ x+ ）（ >0, - < ）的图像如图所示，则
=________________
（15）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。
（16）等差数列{ }前n项和为 。已知 + - =0， =38,则m=_______
三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在
同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A，B间的距离，请设计一
个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写
出计算M，N间的距离的步骤。
（18）（本小题满分12分）
某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人
参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工
人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.
表1：
生产能力分
组
人数 4 8 5 3
表2：
生产能力分组
人数 6 y 36 18
（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中
个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方
图直接回答结论）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的
平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 倍，P为侧棱SD
上的点。
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；
若不存在，试说明理由。
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的
距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点， =λ，求点M的
轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I） 如 ，求 的单调区间；
（II） 若 在 单调增加，在 单调减少，证明
＜6.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（22）本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
如图，已知 的两条角平分线 和 相交于H， ，F在 上，
且 。
（I） 证明：B,D,H,E四点共圆：
（II） 证明： 平分 。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。已知曲线C ： （t为参数）， C ： （ 为参数）。
（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 上的点P对应的参数为 ，Q为C 上的动点，求 中点 到直线
（t为参数）距离的最小值。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点
的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.
（1）将y表示成x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
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2009 年普通高校招生全国统一考试
理数数学试题参考答案
一． 选择题
(1) A (2) D (3) C (4) A (5) A (6) B
(7) C (8) D (9) C (10) B (11) A (12) C
二．填空题
(13) (14) (15) 140 (16) 10
三．解答题(17) 解：
方案一：①需要测量的数据有：A
点到M，N点的俯角 ；B点到M，
N的俯角 ；A，B的距离 d （如图）
所示） . ……….3分
②第一步：计算AM . 由正弦定理 ；
第二步：计算AN . 由正弦定理 ；
第三步：计算MN. 由余弦定理 .
方案二：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角 ， ；B点到M，N点的府角 ， ；A，B的距离 d （如图
所示）.
②第一步：计算BM . 由正弦定理 ；
第二步：计算BN . 由正弦定理 ；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
第三步：计算MN . 由余弦定理
(18) 解：
（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为 ，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互
独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
.
（Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.
故 ，得 ，
，得 .
频率分布直方图如下从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 .
（ii） ，
，
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的
平均数的会计值分别为123，133.8和131.1 .
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（19）解法一：
（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意 。在正方形ABCD中， ，所
以 ,得 .
(Ⅱ)设正方形边长 ，则 。
又 ，所以 ,
连 ，由（Ⅰ）知 ,所以 ,
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且 ,所以 是二面角 的平面角。
由 ,知 ,所以 ,
即二面角 的大小为 。
（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使
由（Ⅱ）可得 ，故可在 上取一点 ,使 ,过 作 的平行线
与 的交点即为 。连 BN。在 中知 ，又由于 ,故平面，得 ,由于 ,故 .
解法二：
（Ⅰ）；连 ,设 交于 于 ，由题意知 .以O为坐标原点，
分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立坐标系 如图。
设底面边长为 ，则高 。
于是
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故
从而
(Ⅱ)由题设知，平面 的一个法向量 ，平面 的一个
法向量 ，设所求二面角为 ，则 ,所求二面角的大
小为
（Ⅲ）在棱 上存在一点 使 .
由（Ⅱ）知 是平面 的一个法向量，
且
设
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则
而
即当 时，
而 不在平面 内，故
（20）解:
(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 ，由已知得
，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以椭圆 的标准方程为
（Ⅱ）设 ，其中 。由已知 及点 在椭圆 上可得
。
整理得 ，其中 。
（i） 时。化简得
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所以点 的轨迹方程为 ，轨迹是两条平行于 轴的线段。
（ii） 时，方程变形为 ，其中
当 时，点 的轨迹为中心在原点、实轴在 轴上的双曲线满足
的部分。
当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆满足 的部
分；
当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆；
（21）解：（Ⅰ）当 时， ，故
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当
当
从而 单调减少.
(Ⅱ)
由条件得： 从而
因为 所以
将右边展开，与左边比较系数得， 故
又 由 此 可 得
于是
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（22）解：
（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD，CE是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，
所以B,D,H,E四点共圆.（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°
由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，
所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF=30°.
所以CE平分∠DEF.
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（23）解：
（Ⅰ）
为圆心是（ ，半径是1的圆.
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当 时，
为直线
从而当 时，
（24）解：
（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意，x满足
{
解不等式组，其解集为【9，23】
所以
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