文档内容
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题（共12小题）.
1．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥
的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上
的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的
距离为9，则p＝（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在
20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x，y）（i＝1，2，…，20）
i i
得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A．y＝a+bx B．y＝a+bx2 C．y＝a+bex D．y＝a+blnx
6．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+1
7．设函数f（x）＝cos（ x+ ）在[﹣ ， ]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为
ω π π
（ ）
A． B． C． D．
8．（x+ ）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
9．已知 （0， ），且3cos2 ﹣8cos ＝5，则sin ＝（ ）
α∈ π α α α
A． B． C． D．
10．已知A，B，C为球O的球面上的三个点， O 为△ABC的外接圆．若 O 的面积为
1 1
4 ，AB＝BC＝AC＝OO ，则球O的表面积为⊙（ ） ⊙
1
Aπ．64 B．48 C．36 D．32
11．已知π M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣π2＝0，直线1：2x+y+2＝π 0，P为l上的动点．π过点P作 M
的切线⊙PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（ ） ⊙
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0
12．若2a+log a＝4b+2log b，则（ ）
2 4
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件 则z＝x+7y的最大值为 ．
14．设 ， 为单位向量，且| + |＝1，则| ﹣ |＝ ．
15．已知F为双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为
C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为 ．
16．如图，在三棱锥 P﹣ABC 的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝ ，AB⊥AC，
AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝ ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共60分。
17．设{a}是公比不为1的等比数列，a 为a，a 的等差中项．
n 1 2 3
（1）求{a}的公比；
n
（2）若a＝l，求数列{na}的前n项和．
1 n
18．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD．△ABC是
底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝ DO．
（1）证明：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角B﹣PC﹣E的余弦值．19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者
与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩
余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 ．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
20．已知A，B分别为椭圆E： +y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点， •
＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
21．已知函数f（x）＝ex+ax2﹣x．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点
1
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4 cos ﹣16 sin +3
2
＝0． ρ θ ρ θ（1）当k＝1时，C 是什么曲线？
1
（2）当k＝4时，求C 与C 的公共点的直角坐标．
1 2
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【分析】由复数的乘方和加减运算，化简 z2﹣2z，再由复数的模的定义，计算可得所求
值．
解：若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，
则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，
故选：D．
2．设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a
的方程，解方程可得a．
解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣ a}，
由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣ a＝1，
则a＝﹣2．
故选：B．
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥
的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上
的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A． B． C． D．
【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．
解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，
则依题意有： ，
因此有h′2﹣（ ）2＝ ah′ 4（ ）2﹣2（ ）﹣1＝0 ＝ ；（负
⇒ ⇒
值舍）
故选：C．
4．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的
距离为9，则p＝（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．
解：因为A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴
的距离为9，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等；
故有：9+ ＝12 p＝6；
⇒
故选：C．
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在
20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x，y）（i＝1，2，…，20）
i i
得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A．y＝a+bx B．y＝a+bx2 C．y＝a+bex D．y＝a+blnx
【分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．
解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段
对数函数的曲线附近，
结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．
故选：D．
6．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+1
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再求得f（1），然后利用
直线方程的点斜式求解．
解：由f（x）＝x4﹣2x3，得f′（x）＝4x3﹣6x，
∴f′（1）＝4﹣6＝﹣2，
又f（1）＝1﹣2＝﹣1，
∴函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣2（x
﹣1），
即y＝﹣2x+1．
故选：B．
7．设函数f（x）＝cos（ x+ ）在[﹣ ， ]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为
ω π π
（ ）
A． B． C． D．
【分析】由图象观察可得最小正周期小于 ，大于 ，排除A，D；再由f（﹣
）＝0，求得 ，对照选项B，C，代入计算，即可得到结论．
ω解：由图象可得最小正周期小于 ﹣（﹣ ）＝ ，大于2×（ ）＝
π
，排除A，D；
由图象可得f（﹣ ）＝cos（﹣ + ）＝0，
ω
即为﹣ + ＝k + ，k Z，（*）
ω π ∈
若选B，即有 ＝ ＝ ，由﹣ × + ＝k + ，可得k不为整数，排除
ω π
B；
若选C，即有 ＝ ＝ ，由﹣ × + ＝k + ，可得k＝﹣1，成立．
ω π
故选：C．
8．（x+ ）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】先把条件整理转化为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数，再结合二项式
的展开式的特点即可求解．
解：因为（x+ ）（x+y）5＝ ；
要求展开式中x3y3的系数即为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数；
展开式含x4y3的项为：x2• x2•y3+y2• x4•y＝15x4y3；
故（x+ ）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为15；
故选：C．
9．已知 （0， ），且3cos2 ﹣8cos ＝5，则sin ＝（ ）
α∈ π α α α
A． B． C． D．
【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于 cos 的一元二次方程，求解后
α再由同角三角函数基本关系式求得sin 的值．
解：由3cos2 ﹣8cos ＝5，得3（2cosα2 ﹣1）﹣8cos ﹣5＝0，
α α α α
即3cos2 ﹣4cos ﹣4＝0，解得cos ＝2（舍去），或cos ．
α α α
∵ （0， ），∴ （ ， ），
α∈ π α∈ π
则sin ＝ ＝ ．
α
故选：A．
10．已知A，B，C为球O的球面上的三个点， O 为△ABC的外接圆．若 O 的面积为
1 1
4 ，AB＝BC＝AC＝OO ，则球O的表面积为⊙（ ） ⊙
1
Aπ．64 B．48 C．36 D．32
【分析π】画出图形，利用已知π条件求出OO
1
，然后求π解球的半径，即可求π解球的表面积．
解：由题意可知图形如图： O 的面积为4 ，可得OA＝2，则
1 1
⊙ π
AO＝ABsin60°， ，
1
∴AB＝BC＝AC＝OO ＝2 ，
1
外接球的半径为：R＝ ＝4，
球O的表面积：4×42× ＝64 ．
故选：A． π π
11．已知 M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线1：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作 M
的切线⊙PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（ ） ⊙
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0
【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM|•|AB|＝ ，说明要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，
与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的
方程联立可得AB所在直线方程．
解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
圆心M（1，1），半径r＝2．
∵ ＝2S ＝|PA|•|AM|＝2|PA|＝ ．
△PAM
∴要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．
直线PM的方程为y﹣1＝ （x﹣1），即y＝ ，
联立 ，解得P（﹣1，0）．
则以PM为直径的圆的方程为 ．
联立 ，可得直线AB的方程为2x+y+1＝0．
故选：D．
12．若2a+log a＝4b+2log b，则（ ）
2 4
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
【分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到2a+log a＜22b+log 2b；再借助于函数
2 2
的单调性即可求解结论．
解：因为2a+log a＝4b+2log b＝22b+log b；
2 4 2
因为22b+log b＜22b+log 2b＝22b+log b+1即2a+log a＜22b+log 2b；
2 2 2 2 2
令f（x）＝2x+log x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
2
且f（a）＜f（2b） a＜2b；
故选：B． ⇒
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件 则z＝x+7y的最大值为 1 ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
解：x，y满足约束条件 ，
不等式组表示的平面区域如图所示，
由 ，可得A（1，0）时，
目标函数z＝x+7y，可得y＝ x+ ，
当直线y＝ x+ ，过点A时，在y轴上截距最大，
此时z取得最大值：1+7×0＝1．
故答案为：1．
14．设 ， 为单位向量，且| + |＝1，则| ﹣ |＝ ．
【分析】直接利用向量的模的平方，结合已知条件转化求解即可．
解： ， 为单位向量，且| + |＝1，
| + |2＝1，
可得 ，
1+2 +1＝1，
所以 ，
则| ﹣ |＝ ＝ ．
故答案为： ．15．已知F为双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为
C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为 2 ．
【分析】利用已知条件求出A，B的坐标，通过AB的斜率为3，转化求解双曲线的离心
率即可．
解：F为双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点（c，0），A为C的右顶点
（a，0），
B为C上的点，且BF垂直于x轴．所以B（c， ），
若AB的斜率为3，可得： ，
b2＝c2﹣a2，代入上式化简可得c2＝3ac﹣2a2，e＝ ，
可得e2﹣3e+2＝0，e＞1，
解得e＝2．
故答案为：2．
16．如图，在三棱锥 P﹣ABC 的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝ ，AB⊥AC，
AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝ ﹣ ．
【分析】根据条件可知D、E、F三点重合，分别求得BC、CF、BF即可．
解：由已知得BD＝ AB＝ ，BC＝2，因为D、E、F三点重合，所以AE＝AD＝ ，BF＝BD＝ AB＝ ，
则在△ACE中，由余弦定理可得CE2＝AC2+AE2﹣2AC•AE•cos∠CAE＝1+3﹣2 ×
＝1，
所以CE＝CF＝1，
则在△BCD中，由余弦定理得cos∠FCB＝ ＝ ＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共60分。
17．设{a}是公比不为1的等比数列，a 为a，a 的等差中项．
n 1 2 3
（1）求{a}的公比；
n
（2）若a＝l，求数列{na}的前n项和．
1 n
【分析】（1）设{a}是公比q不为1的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列
n
的通项公式，解方程可得公比q；
（2）求得a ，na ，运用数列的数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化
n n
简整理，可得所求和．
解：（1）设{a}是公比q不为1的等比数列，
n
a 为a，a 的等差中项，可得2a＝a+a，
1 2 3 1 2 3
即2a＝aq+aq2，
1 1 1
即为q2+q﹣2＝0，
解得q＝﹣2（1舍去）；
（2）若a＝l，则a＝（﹣2）n﹣1，
1 n
na＝n•（﹣2）n﹣1，
n
则数列{na}的前n项和为S＝1•1+2•（﹣2）+3•（﹣2）2+…+n•（﹣2）n﹣1，
n n
﹣2S＝1•（﹣2）+2•（﹣2）2+3•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n，
n
两式相减可得3S＝1+（﹣2）+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣1﹣n•（﹣2）n
n
＝ ﹣n•（﹣2）n，
化简可得S＝ ．
n18．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD．△ABC是
底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝ DO．
（1）证明：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角B﹣PC﹣E的余弦值．
【分析】（1）设圆 O 的半径为 1，求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到
PA⊥PC，PA⊥PB，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBC及平面PCE的法向量，利用向量的夹角公式
即可得解．
解：（1）不妨设圆O的半径为1，OA＝OB＝OC＝1，AE＝AD＝2， ，
，
，
在△PAC中，PA2+PC2＝AC2，故PA⊥PC，
同理可得PA⊥PB，又PB∩PC＝P，
故PA⊥平面PBC；
（ 2 ） 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 有
，
故 ，
设平面 PBC 的法向量为 ，则 ，可取，
同理可求得平面PCE的法向量为 ，
故 ，即二面角B﹣PC﹣E的余弦值为 ．
19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者
与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩
余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 ．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【分析】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率．
（2）情景一：前3场各负一场：P ＝（ ）5＝ ；情景二：前3场比塞结束是乙被淘
1
汰，其中甲胜一场，最后两场比赛结束，又分为甲胜或丙胜；前3场比塞结束是乙被淘
汰，其中甲胜三场，最后两场比赛结束，又分为甲胜或丙胜；前3场比塞结束是甲被淘
汰，其中乙胜一场，最后两场比赛结束，又分为乙胜或丙胜；前3场比塞结束是甲被淘
汰，其中乙胜三场，最后两场比赛结束，又分为乙胜或丙胜，由此利用互斥事件概率加法公式能求出需要进行第五场比赛的概率．
（3）前3场各负一场，P ＝（ ）5＝ ，前3场比塞结束是乙被淘汰，其中甲胜一场，
1
最后两场比赛结束，丙胜；前3场比塞结束是乙被淘汰，其中甲胜三场，最后两场比赛
结束，丙胜；前3场比塞结束是甲被淘汰，其中乙胜一场，最后两场比赛结束，丙胜；
前3场比塞结束是甲被淘汰，其中乙胜一场，最后两场比赛结束，丙胜；只打 4场，前
3场比赛结束时丙连续胜2场，其中甲或乙中有一人被淘汰，最终丙获胜的概率．由此
利用互斥事件概率加法公式能求出丙最终获胜的概率．
【解答】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，P＝（ ）4＝ ．
（2）情景一：前3场各负一场：P＝（ ）5＝ ；
1
情景二：前3场比塞结束是乙被淘汰，其中甲胜一场，最后两场比赛结束，又分为甲胜
或丙胜，概率为P＝2×（ ）5＝ ，
2
前3场比塞结束是乙被淘汰，其中甲胜三场，最后两场比赛结束，又分为甲胜或丙胜，
概率为P＝2×（ ）5＝ ，
3
前3场比塞结束是甲被淘汰，其中乙胜一场，最后两场比赛结束，又分为乙胜或丙胜，
概率为P＝2×（ ）5＝ ，
4
前3场比塞结束是甲被淘汰，其中乙胜三场，最后两场比赛结束，又分为乙胜或丙胜，
概率为P＝2×（ ）5＝ ，
5
∴需要进行第五场比赛的概率P＝ ＝ ．
（3）前3场各负一场，P＝（ ）5＝ ，
1
前3场比塞结束是乙被淘汰，其中甲胜一场，最后两场比赛结束，丙胜，概率为 P ＝（
6
）5＝ ，
前3场比塞结束是乙被淘汰，其中甲胜三场，最后两场比赛结束，丙胜，概率为 P ＝（
7）5＝ ，
前3场比塞结束是甲被淘汰，其中乙胜一场，最后两场比赛结束，丙胜，概率为 P ＝（
8
）5＝ ，
前3场比塞结束是甲被淘汰，其中乙胜一场，最后两场比赛结束，丙胜，概率为 P ＝（
9
）5＝ ，
只打4场，前3场比赛结束时丙连续胜2场，其中甲或乙中有一人被淘汰，最终丙获胜
的概率为：P ＝ ＝ ，
10
∴丙最终获胜的概率P＝ ＝ ．
20．已知A，B分别为椭圆E： +y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点， •
＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
【分析】（1）求出 • ＝a2﹣1＝8，解出a，求出E的方程即可；
（2）联立直线和椭圆的方程求出C，D的坐标，求出直线CD的方程，判断即可．
解：如图示：
（1）由题意A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），
∴ ＝（a，1）， ＝（a，﹣1）， • ＝a2﹣1＝8，解得：a＝3，
故椭圆E的方程是 +y2＝1；
（2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），设P（6，m），则直线PA的方程是y＝ （x+3），
联立 （9+m2）x2+6m2x+9m2﹣81＝0，
⇒
由韦达定理﹣3x＝ x＝ ，
c c
⇒
代入直线PA的方程为y＝ （x+3）得：
y＝ ，即C（ ， ），
c
直线PB的方程是y＝ （x﹣3），
联立方程 （1+m2）x2﹣6m2x+9m2﹣9＝0，
⇒
由韦达定理3x ＝ x ＝ ，
D D
⇒
代入直线PB的方程为y＝ （x﹣3）得y ＝ ，
D
即D（ ， ），
∴直线CD的斜率K ＝ ＝ ，
CD
∴直线CD的方程是y﹣ ＝ （x﹣ ），整理得：
y＝ （x﹣ ），
故直线CD过定点（ ，0）．21．已知函数f（x）＝ex+ax2﹣x．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围．
【分析】（1）求得a＝1时，f（x）的解析式，两次对x求得导数，结合指数函数的值
域判断导数的符号，即可得到所求单调性；
（2）讨论x＝0，不等式恒成立；x＞0时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断
单调性和最值，进而得到所求范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex+x2﹣x，
f′（x）＝ex+2x﹣1，设g（x）＝f′（x），
因为g′（x）＝ex+2＞0，可得g（x）在R上递增，即f′（x）在R上递增，
因为f′（0）＝0，所以当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0，
所以f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1恒成立，
当x＝0时，不等式恒成立，可得a R；
① ∈
当x＞0时，可得a≥ 恒成立，
②
设h（x）＝ ，则h′（x）＝ ，
可设m（x）＝ex﹣ x2﹣x﹣1，可得m′（x）＝ex﹣x﹣1，m″（x）＝ex﹣1，
由x≥0，可得m″（x）≥0恒成立，可得m′（x）在（0，+∞）递增，
所以m′（x） ＝m′（0）＝0，
min
即m′（x）≥0恒成立，即m（x）在（0，+∞）递增，所以m（x） ＝m（0）＝0，
min
再令h′（x）＝0，可得x＝2，当0＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）在（0，2）递增；
x＞2时，h′（x）＜0，h（x）在（2，+∞）递减，所以h（x） ＝h（2）＝ ，
max
所以a≥ ，
综上可得a的取值范围是[ ，+∞）．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点
1
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4 cos ﹣16 sin +3
2
＝0． ρ θ ρ θ
（1）当k＝1时，C 是什么曲线？
1
（2）当k＝4时，求C 与C 的公共点的直角坐标．
1 2
【分析】（1）当k＝1时，曲线C 的参数方程为 ，（t为参数），利用平方关
1
系消去参数t，可得x2+y2＝1，故C 是以原点为圆心，以1为半径的圆；
1
（2）当k＝4时，曲线C 的参数方程为 ，（t为参数），消去参数t，可得
1
（x﹣y）2﹣2（x+y）+1＝0（0≤x≤1，0≤y≤1）．由4 cos ﹣16 sin +3＝0，结合极
坐标与直角坐标的互化公式可得4x﹣16y+3＝0．联立方程ρ组即θ 可求ρ得Cθ 与C 的公共点
1 2
的直角坐标为（ ）．
解：（1）当k＝1时，曲线C 的参数方程为 ，（t为参数），
1
消去参数t，可得x2+y2＝1，
故C 是以原点为圆心，以1为半径的圆；
1
（2）当k＝4时，曲线C 的参数方程为 ，（t为参数），
1
两式作差可得x﹣y＝cos4t﹣sin4t＝cos2t﹣sin2t＝2cos2t﹣1，
∴ ，得 ，
整理得：（x﹣y）2﹣2（x+y）+1＝0（0≤x≤1，0≤y≤1）．
由4 cos ﹣16 sin +3＝0，又x＝ cos ，y＝ sin ，
∴4xρ﹣16θy+3＝ρ0．θ ρ θ ρ θ联立 ，解得 （舍），或 ．
∴C 与C 的公共点的直角坐标为（ ）．
1 2
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．
【分析】（1）将函数零点分段，即可作出图象；
（2）由于f（x+1）是函数f（x）向左平移了一个1单位，作出图象可得答案；
解：函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|＝ ，
图象如图所示（2）由于f（x+1）的图象是函数f（x）的图象向左平移了一个1单位所得，（如图所
示）
直线y＝5x﹣1向左平移一个单位后表示为y＝5（x+1）﹣1＝5x+4，
联立 ，解得横坐标为x＝ ，
∴不等式f（x）＞f（x+1）的解集为{x|x }．
