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2010 年高考天津卷文科数学试题及答案
源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷1至3页。第Ⅱ卷4至11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．答I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考
试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：
如果事件 互斥，那么 棱柱的体积公式V=Sh.
其中S表示棱柱的底面积.
h表示棱柱的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)i是虚数单位，复数 =
(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i
(2)设变量x，y满足约束条件 则目标函数z=4x+2y的最大值为
（A）12 （B）10 （C）8 （D）2
(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3
（4）函数f（x）=
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）
(5)下列命题中，真命题是
(A)
(B)
(C)
(D)
(6)设
(A)a0.
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.（21）（本小题满分14分）
已知椭圆 （a>b>0）的离心率e= ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积
为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.
（i）若 ，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q 在线段AB的垂直平分线上，且 .求 的值.
（22）（本小题满分14分）
在数列 中， =0，且对任意k ， 成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明 成等比数列；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）记 ，证明 .2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）A (2)B (3)B (4)C (5)A
（6）D (7)C (8)A (9)D (10)D
(1)i是虚数单位，复数 =
(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i
【答案】A
【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.
【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，
不要失分哦。
(2)设变量x，y满足约束条件 则目标函数z=4x+2y的最大值为
（A）12 （B）10 （C）8 （D）2
【答案】B
【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，
当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z取得最大值10.
(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3
【答案】B
【解析】 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三
次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行
i=i+1后i=5，推出循环输出s=0.
【温馨提示】涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的
方式解决。
（4）函数f（x）=
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）
【答案】C
【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
因为f（0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代
入排除的方法求解。
(5)下列命题中，真命题是
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A
【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。
当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，所以选A.
【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。
(6)设
(A)a0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。M<0，时有 因为
在 上的最小值为2，所以1+ 即 >1,解得m<-1.
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化
为最值的方法求解。
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2010年天津文高考数学解析
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1
号 0 1 2
答 A B B C A D C A D D
案
1．A 解 析 ： 本 题 考 查 了 复 数 的 基 本 运 算 。 y
1 A
2．B 解析：本题考查了线性规划的基础知识。作出可行域与 O x
图中阴影，则A点为最优解，∵ ，∴解得 ，
∴
3．B 解析：本题考查了算法的流程图的基础知识。列出表格可得
S 1
1 2 3 4 5
∴输出
4．C 解析：本题考查了函数与方程的基础知识， ∵ ，
， ，∴函数的零点所在区间
5．A解析：本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的基础知识。∵当 时 为偶函
数，但不是任何 值都能使 为偶函数∴A正确，C不正确；∵不论 为何值都没有
，∴B，D不正确，
6．C 解析：本题考查了函数的单调性、对数函数的性质等基础知识。 ∵
，∴ ，∵
∵ ，∴ ，∴7．C 解析：本题考查了集合的运算、绝对值不等式的解法等基础知识。∵
，若 ，∴ 或
8．A解析：本题考查了三角函数的解析式、图象变换及性质的基础知识。由图象可知周期
A=1，∵ ， ，∴ ，∵过点 ，代入解析式得
，解析式为 ，∵ 向左平移 单位，再将图象上各点的纵
坐标不变，横坐标变为原来的 ，可得 ，故选A。
（9）如图，在ΔABC中， ，BC 3 BD， ，则 =
A
（A） （B） （C） （D）
1
B D C
9．D解析：本题考查了向量的基本运算及向量的数量积的运
算。∵AD⊥AB， ，∵ = ，
∴ = ，故选D
另法：（特例检验法）不妨取 ,则 ,
∴ ＝ ，故选D
10．D解析：本题考查了分段函数的值域、不等式的解法及函数图象等基本知识。
∵ ，∴ ，
∴当 或 ， ，
当 时，
11． 解析：本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形判定及性质的基础知识，
∵A，B，C，D四点共圆，∴ ， ，∴ PBC∽ PDA，∴
12．3解析本题考查了立体几何的三视图的知识，从三视图可得该几何体为底面为梯形的
直四棱柱，其中梯形的上下底分别为 1，2 高为 2，棱柱的高为 1，∴体积为13． 解析：本题考查了双曲线的标准方程、双曲线的性质、抛物线的性质等基
础知识。∵抛物线 ，焦点为 ，∴ ，∵双曲线的渐近线方程 ，
∴双曲线设为 ， ，∴双曲线方程为
14． 解析：本题考查了直线、圆的标准方程及直线与圆的位置关系，点到
直线的距离的基础知识，∵直线 与 轴交于 ，∵圆心C 到直线
的距离为 ，∴圆方程为 。
15．4 解析：本题考查了等比数列的通项、前 项和、基本不等式的基础知识。∵
∴ = ， 当 且 仅 当
，∴
16． 解析：本题考查了函数的值域、不等式解法、不等式的恒等变形及不等式恒
成立的基础知识。∵ 恒成立，∴ ， ，
，
当 时，∵ 恒成立，∴ ， ，∴ 或
，又 ，∴ 。
当 时， 恒成立，由 ，所上式不可能恒成立，
所以解答题
（17）本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角
的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.
（Ⅰ）证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得 = .于是 sinBcosC-
cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为 ，从而B-C=0.
所以B=C.
（Ⅱ）解：由A+B+C= 和（Ⅰ）得A= -2B,故cos2B=-cos（ -2B）=-cosA= .
又0<2B< ,于是sin2B= = .
从而sin4B=2sin2Bcos2B= ，cos4B= .
所以
（18）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础
知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分12分
（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有 6个.设“从10个零件中，随机抽取
一个为一等品”为事件A，则P（A）= = .
（Ⅱ）（i）解：一等品零件的编号为 .从这6个一等品零件中随机抽取 2 个，所有可能的结果有： , ,
,
, , , 共
有15种.
(ii)解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所
有可能结果有： ， ，共有6种.
所以P(B)= .
(19)本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间
想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.
(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故 为异面直线CE与AF所成
的角.
因为FA 平面ABCD，所以FA CD.故ED CD.
F
在Rt△CDE中，CD=1，ED= ，CE= =3,故cos
N
E
= = .
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为 .
(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，
A
则 .由 ,可得BG AB,
G
B
从而CD AB,又CD FA,FA AB=A,所以CD 平面ABF.
M D
C
(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG= ，即G为AD的中点.
取EF的中点N，连接GN，则GN EF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NM EF，交BC于
M，则 为二面角B-EF-A的平面角。
连接GM，可得AD 平面GNM,故AD GM.从而BC GM.由已知，可得GM= .由NG//
FA,FA GM,得NG GM.
在Rt△NGM中，tan ,
所以二面角B-EF-A的正切值为 .(20)本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式
等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.
（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）= ，f（2）=3； = , =6.
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）解： = .令 =0，解得x=0或x= .
以下分两种情况讨论：
（1） 若 ，当x变化时， ，f（x）的变化情况如下表：
X 0
+ 0 -
f(x) 极大值
当 等价于
解不等式组得-52，则 .当x变化时， ,f（x）的变化情况如下表：
X 0
+ 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
当 时，f（x）>0等价于 即
解不等式组得 或 .因此2
