文档内容
绝密★启用前
A. B. C. D.
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
4.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
文科数学
A. B.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
C. D.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合 则 （ ）
A. B.
C. D.
2.若 ，则 （ ）
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（
A. 0 B. 1 ）
C. D. 2 A. B.
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积
C. D.
等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
6.已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）A. B. 3 C. D. 2
12.已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ，
，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
A. B.
13.若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为______________.
C. D.
8.设 ，则 （ ） 14.设向量 ，若 ，则 ______________.
15.曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
A. B. C. D.
16.数列 满足 ，前16项和为540，则 ______________.
9.执行下面的程序框图，则输出的n=（ ）
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于
A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失
费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家
为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
频数 40 20 20 20
10.设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
11.设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则 的面积为
频数 28 17 34 21
（ ）（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； [选修4—4：坐标系与参数方程]
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴
务?
18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
[选修4—5：不等式选讲]
19.如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形， 为 上一点，
23.已知函数 ．
∠APC=90°．
（1）画出 的图像；
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）求不等式 的解集．
（2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P−ABC的体积.
20.已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
答案解析
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
21.已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． 题目要求的.
（1）求E的方程；
1.已知集合 则 （ ）
（2）证明：直线CD过定点.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得 ，得到结果.
A. B. C. D.
【详解】由 解得 ，
【答案】C
所以 ，
【解析】
又因为 ，所以 ， 【分析】
故选：D.
设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属
于基础题目.
【详解】如图，设 ，则 ，
2.若 ，则 （ ）
A. 0 B. 1
由题意 ，即 ，化简得 ，
C. D. 2
【答案】C 解得 （负值舍去）.
【解析】
故选：C.
【分析】
先根据 将 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
【详解】因为 ，所以 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积
等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.4.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（
【分析】
）
列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
A. B.
【详解】如图，从 5个点中任取3个有
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
共 种不同取法，
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
3点共线只有 与 共2种情况，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
由古典概型的概率计算公式知，
故选：D.
取到3点共线的概率为 .
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
故选：A 6.已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线和圆心与点 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
【详解】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：根据弦长公式最小值为 .
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
所以 ，解得：
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
8.设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
A. B.
【解析】
【分析】
C. D.
根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【答案】C 【详解】由 可得 ，所以 ，
【解析】
【分析】 所以有 ，
由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与 轴 故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础
题目.
负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解. 9.执行下面的程序框图，则输出的n=（ ）
【详解】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：因此， .
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
11.设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则 的面积为
（ ）
A. B. 3 C. D. 2
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
【答案】C
【答案】B
【解析】
【解析】
【分析】
【分析】
根据程序框图的算法功能可知，要计算满足 的最小正奇数 ，根据等差数列求和公式即可求
由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到 ，联
出．
【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的 是满足 的最小正奇数，
立即可得到 ，代入 中计算即可.
因为 ，解得 ，
【详解】由已知，不妨设 ，
所以输出的 ．
故选：C. 则 ，因为 ，
【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前 项和公式的应用，属于基础题．
所以点 在以 为直径的圆上，
10.设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 即 是以P为直角顶点的直角三角形，
【答案】D
故 ，
【解析】
【分析】
即 ，又 ，
根据已知条件求得 的值，再由 可求得结果.
所以 ，
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
解得 ，所以
，
故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中
档题. 13.若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为______________.
12.已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ，
【答案】1
【解析】
，则球 的表面积为（ ）
【分析】
A. B. C. D. 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即
可得出结论.
【详解】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
得 ，
由正弦定理可得 ，
目标函数 即： ，
，根据球的截面性质 平面 ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
球 的表面积 . 联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
故选：A
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在
y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z
值最大.
14.设向量 ，若 ，则 ______________.
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 【答案】5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【解析】【分析】
对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用 表示，由偶数项递
根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】由 可得 ，
推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论.
又因为 ，
【详解】 ，
所以 ，
当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
即 ，
设数列 的前 项和为 ，
故答案为：5.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
15.曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，得到切线的点斜式方
，
程，化简即可.
.
【详解】设切线的切点坐标为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.
，所以切点坐标为 ， 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
所求的切线方程为 ，即 . （一）必考题：共60分.
17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于
故答案为： .
A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家
为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
16.数列 满足 ，前16项和为540，则 ______________.
甲分厂产品等级的频数分布表
【答案】
等级 A B C D
【解析】
频数 40 20 20 20
【分析】乙分厂产品等级的频数分布表
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
等级 A B C D
频数 28 17 34 21 （2）若sinA+ sinC= ，求C.
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； 【答案】（1） ；（2） .
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业
【解析】
务?
【分析】
【答案】（1）甲分厂加工出来的 级品的概率为 ，乙分厂加工出来的 级品的概率为 ；（2）选甲分厂，
（1）已知角 和 边，结合 关系，由余弦定理建立 的方程，求解得出 ，利用面积公式，即可得出结论；
理由见解析.
（2）将 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关 角的三角函数值，结合 的
【解析】
【分析】 范围，即可求解.
（1）根据两个频数分布表即可求出；
【详解】（1）由余弦定理可得 ，
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
的面积 ；
【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ，乙厂加工出来的一件产品为
（2） ，
级品的概率为 ；
，
（2）甲分厂加工 件产品的总利润为 元，
所以甲分厂加工 件产品的平均利润为 元每件； ，
乙分厂加工 件产品的总利润为 .
【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
元，
19.如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形， 为 上一点，
所以乙分厂加工 件产品的平均利润为 元每件．
∠APC=90°．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】本题主要考查古典概型 的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．
18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.在等腰直角三角形 中， ，
在 中， ，
三棱锥 的体积为 .
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P−ABC的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据已知可得 ，进而有 ，可得
【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查
，即 ，从而证得 平面 ，即可证得结论；
逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.
（2）将已知条件转化为母线 和底面半径 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形 边长，
20.已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
在等腰直角三角形 中求出 ，在 中，求出 ，即可求出结论.
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
【详解】（1）连接 ， 为圆锥顶点， 为底面圆心， 平面 ，
【答案】（1）减区间为 ，增区间为 ；（2） .
在 上， ，
【解析】
是圆内接正三角形， ， ，
【分析】
（1）将 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
，即 ，
（2）若 有两个零点，即 有两个解，将其转化为 有两个解，令
平面 平面 ， 平面 平面 ；
（2）设圆锥的母线为 ，底面半径为 ，圆锥的侧面积为 ，
，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
，解得 ， ，【详解】（1）当 时， ， ，
【答案】（1） ；（2）证明详见解析.
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
【解析】
【分析】
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，
（2）若 有两个零点，即 有两个解，
问题得解.
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐
令 ，则有 ，
标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
线 的方程可得： ，命题得证.
且当 时， ，
【详解】（1）依据题意作出如下图象：
而 时， ，当 时， ，
所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个
数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 和直线 有两
由椭圆方程 可得： ， ，
个交点，利用过点 的曲线 的切线斜率，结合图形求得结果.
，
21.已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上
，
的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
椭圆方程为：
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.（2）证明：设 ，
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴
则直线 的方程为： ，即：
建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
，解得： 或 【答案】（1）曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2） .
【解析】
将 代入直线 可得：
【分析】
（1）利用 消去参数 ，求出曲线 的普通方程，即可得出结论；
所以点 的坐标为 .
（2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数 ，得 普
同理可得：点 的坐标为
通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程，联立 方程，即可求解.
直线 的方程为： ，
【详解】（1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
整理可得： 两式平方相加得 ，
所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
整理得：
（2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
故直线 过定点
所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数），
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.
两式相加得曲线 方程为 ，
[选修4—4：坐标系与参数方程]
得 ，平方得 ，曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 直角坐标方程为 ，
【详解】（1）因 为 ，作出图象，如图所示：
联立 方程 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，如图所示：
， 公共点的直角坐标为 .
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲
线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 ．
（1）画出 的图像；
由 ，解得 ．
所以不等式 的解集为 ．
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．
（2）求不等式 的解集．
【答案】（1）详解解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象；
（2）作出函数 的图象，根据图象即可解出．
