文档内容
绝密★启用前 其中的真命题为
2017 年普通高等学校招生全国统一考试 A． B． C． D．
理科数学
4．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
5．函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的 的取值范围是
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷
A． B． C． D．
类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如
6． 展开式中 的系数为
需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
A．15 B．20 C．30 D．35
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求
作答无效。
俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x<1}，B={x| }，则
A． B．
C． D．
A．10 B．12 C．14 D．16
2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中
8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入
心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B．
C． D．
A．A>1 000和n=n+1
3．设有下面四个命题
B．A>1 000和n=n+2
：若复数 满足 ，则 ；
C．A 1 000和n=n+1
D．A 1 000和n=n+2
：若复数 满足 ，则 ；
：若复数 满足 ，则 ； 9．已知曲线C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是
1 2
：若复数 ，则 .A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲
1
线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲
1
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必
线C
2
须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲
1 （一）必考题：共60分。
17．（12分）
线C
2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
1
曲线C （1）求sinBsinC;
2
10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l ，l ，直线l 与C交于A、B两点，直线l （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
1 2 1 2
与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 18.（12分）
A．16 B．14 C．12 D．10 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且 .
11．设xyz为正数，且 ，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学
题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，
2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22， （1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
（2）若PA=PD=AB=DC， ，求二面角A-PB-C的余弦值.
A．440 B．330 C．220 D．110
19．（12分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .
（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
．
14．设x，y满足约束条件 ，则 的最小值为 .
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 之外的零件数，求
及 的数学期望；
15．已知双曲线C： （a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的
一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。
生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的 （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC， （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时， 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得 ， ，其中 为抽取的第
个零件的尺寸， ．
用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的
生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到0.01）．
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
20.（12分）
2017年新课标1理数答案
已知椭圆C： （a>b>0），四点P （1,1），P （0,1），P （–1， ），P （1， ）中恰有
1 2 3 4
1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12. A
三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
13. 14. 15. 16.
（2）设直线l不经过P 点且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为–1，证明：l过定点.
2 2 2
21.（12分）
已知函数 ae2x+(a﹣2) ex﹣x. 17.解：（1）由题设得 ，即 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求a的取值范围.
由正弦定理得 .
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
故 .
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为
（2）由题设及（1）得 ，即 .
.
所以 ，故 .
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为 ，求a. 由题设得 ，即 .
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
由余弦定理得 ，即 ，得 .
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.
故 的周长为 .
18.解：（1）由已知 ，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
则 ，
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面 内做 ，垂足为 ，
由（1）可知， 平面 ，故 ，可得 平面 . 所以二面角 的余弦值为 .
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 .
19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在
之外的概率为0.0026，故 .因此
.
的数学期望为 .
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在 之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个
由（1）及已知可得 ， ， ， .
零件中，出现尺寸在 之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，
所以 ， ， ， . 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述
监控生产过程的方法是合理的.
设 是平面 的法向量，则 （ii）由 ，得 的估计值为 ， 的估计值为 ，由样本数据可以看出有一
个零件的尺寸在 之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
，即 ，
剔除 之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 ，因此 的估计值为
可取 .
10.02.
设 是平面 的法向量，则
，剔除 之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为
，即 ，
，
可取 . 因此 的估计值为 .20.（12分）解： 由题设 ，故 .
（1）由于 ， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过 ， 两点.
即 .
又由 知，C不经过点P，所以点P 在C上.
1 2
解得 .
因此 ，解得 . 当且仅当 时， ，欲使l： ，即 ，
所以l过定点（2， ）
故C的方程为 .
21.解：（1） 的定义域为 ， ，
（2）设直线PA与直线PB的斜率分别为k，k，
2 2 1 2
如果l与x轴垂直，设 l：x=t，由题设知 ，且 ，可得A，B的坐标分别为（t， ），（t， （ⅰ）若 ，则 ，所以 在 单调递减.
（ⅱ）若 ，则由 得 .
）.
当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在
则 ，得 ，不符合题设.
单调递增.
（2）（ⅰ）若 ，由（1）知， 至多有一个零点.
从而可设l： （ ）.将 代入 得
（ⅱ）若 ，由（1）知，当 时， 取得最小值，最小值为 .
①当 时，由于 ，故 只有一个零点；
由题设可知
.
②当 时，由于 ，即 ，故 没有零点；
设A（x，y），B（x，y），则x+x= ，xx= .
1 1 2 2 1 2 1 2
③当 时， ，即 .
而
又 ，故 在 有一个零点.
设正整数 满足 ，则 .
.由于 ，因此 在 有一个零点. 当 时，①式化为 ，从而 .
综上， 的取值范围为 .
所以 的解集为 .
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
解：（1）曲线 的普通方程为 . （2）当 时， .
所以 的解集包含 ，等价于当 时 .
当 时，直线 的普通方程为 .
又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得 .
由 解得 或 .
所以 的取值范围为 .
从而 与 的交点坐标为 ， .
（2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为
.
当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 ；
当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 .
综上， 或 .、
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解：（1）当 时，不等式 等价于 .①
当 时，①式化为 ，无解；
当 时，①式化为 ，从而 ；
