2015年海南省高考数学试题及答案（理科）_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_海南高考数学08-22_A3word版_答案版

2015年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷） 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 理科数学 1 1 1 1 8 7 6 5 （A） （B） （C） （D） 注意事项 |MN| 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号 7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则 = 填写在本试卷和答题卡相应位置上。 √6 √6 （A）2 （B）8 （C）4 （D）10 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。 中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18， 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 则输出的a= 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 （A）0 第Ⅰ卷 （B）2 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （C）4 1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B= （D）14 （A）｛－1，0｝ （B）｛0，1｝ （C）｛-1，0，1｝ （D）｛0，1，2｝ 9.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体 2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a = 积的最大值为36，则球O的表面积为 （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 （A）36π （B）64π （C）144π （D）256π 3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是 10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与 DA运动，∠BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x） 的图像大致为 （A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为 （B）2007年我国治理二氧化硫排放显现 120°，则E的离心率为 （C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 √5 √3 √2 (A) (B)2 (C) (D) （D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 12.设函数f ’(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f（−1）=0，当x>0时，x f ’(x)－f (x)＜0，则 4.等比数列｛a ｝满足a =3，a + a + a =21，则a + a + a = n 1 1 3 5 3 5 7 使得f (x) >0成立的x的取值范围是 （A）21 （B）42 （C）63 （D）84 (A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞) f(x) {1+ log (2−x),x＜1, ¿¿¿¿ f (－2) f (log 12) (C) (－∞，－1)∪(－1，0) (D) (0，1)∪(1，＋∞) 2 2 5.设函数 = ，则 + = （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 选考题，考生根据要求做答。 满意度等级 不满意 满意 非常满意 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独 13.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ=________.(用数字填写答案) 立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率 19. （本小题满分12分） {x y 1 0, {x 2y 0, − + ≥ ¿ − ≤ ¿¿¿¿ x，y z= x＋y 如图，长方体ABCD−A 1 B 1 C 1 D 1 中AB=16，BC=10，A A 1 =8，点E，F分别在A 1 B 1 ，D 1 C 1 上， A E=D F。过带你E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 14.若 满足约束条件 ，则 的最大值为____________.. 1 1 15.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________. 16.设S是数列{a }的前n项和，且a =－1，a +1=S S ，则S ________. n n 1 n n n+1 n= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） ∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。 （Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值 sin∠B 20. （本小题满分12分） sin∠C (Ⅰ) 求 ； 已知椭圆C：9x2+ y2 = m2 (m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有 √2 两个交点A，B，线段AB的中点为M. 2 (Ⅱ) 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长. （I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； 18. （本小题满分12分） m m 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度 3 （II）若l过点( ， ),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？ 评分如下： 若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由. A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 21. （本小题满分12分） 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 设函数f (x)=emx+x2−mx. (Ⅰ)证明：f(x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增； B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 （Ⅱ）若对于任意x , x ∈[-1,1],都有｜f(x )− f(x )｜≤e−1,求m的取值范围 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 1 2 1 2 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值 及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与 ABC的底边BC交于 M、N两点与 底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点. （I）证明：EF平行于BC （II） 若AG等于圆O的半径，且AE=MN= ,求四边形EBCF 的面积。 23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 {x=t cosα , ¿ ¿¿¿ （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： 在直角坐标系xOy中，曲线C: ， 其中 0≤α 1＜π ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2sinθ，曲线C：ρ=cosθ . 2 3 （I）.求C 与C 交点的直角坐标 2 3 |AB| （II）.若C 与C 相交于点A，C 与C 相交于点B，求 的最大值 1 2 1 3 （24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明： ab＞cd √a+√b＞√c+√d （I）若 ，则 ； √a+√b＞√c+√d |a−b|＜|c−d| （II） 是 的充要条件. 2015 年海南省数学理科高考试题及答案解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 （1）已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ） 设均为正数，且,证明： （A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝ 【答案】A （I）若，则 ； B   x 2 x1  A B 1,0  【解析】由已知得 ，故 ，故选A （II） 是 的充要条件. （2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ） （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 【答案】B 【解析】 [来源:Z_xx_k.Com] （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是() 1 1 1 1 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 【答案】D ABCDABC D AABD 【解析】由三视图得，在正方体 1 1 1 1中，截去四面体 1 1 1，如图所示，，设正方体棱长为 （A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 1 1 1 1 5 V   a3  a3 a3  a3  a3 （B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 a ，则 AA 1 B 1 D 1 3 2 6 ，故剩余几何体体积为 6 6 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的 （C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 1 （D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 比值为5． 【答案】D D C 1 1 【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关． a a a a a a  （4）等比数列｛a｝满足a=3， 1 3 5 =21，则 3 5 7 ( ) n 1 （A）21 （B）42 （C）63 （D）84 A 【答案】B 1 B 1 D 【解析】 C A B 1log (2x),x1, f(x) 2 MN 2x1,x1, f(2) f(log 12) （7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则 = （5）设函数 , 2 ( ) 6 6 （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 （A）2 （B）8 （C）4 （D）10 【答案】C 【答案】C 【解析】 f(2)1log 43 log 121 f(log 12)2log 2 121 2log 2 6 6 【解析】由已知得 2 ，又 2 ，所以 2 ，故 f(2) f(log 12)9 2 ． （6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值 为 （8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若 输入a,b分别为14,18，则输出的a=[来源:学科网] 【答案】B A.0 B.2 C.4 D.14 【解析】 【答案】B [来源:Z.xx.k.Com] a b a14 b18 b4 a10 a6 a2 b2 【解析】程序在执行过程中， ， 的值依次为 ， ； ； ； ； ； ， ab2 a 此时 程序结束，输出 的值为2，故选B． （9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36， 则球O的表面积为 A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C AOB OABC O 【解析】如图所示，当点C位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，设球 的半径为 1 1 1 V V   R2R R3 36 R，此时 OABC CAOB 3 2 6 ，故 R6 ，则球 O 的表面积为 S 4R2 144 ，故选C． 的 运 C    x f( ) f( ) 动过程可以看出，轨迹关于直线 2 对称，且 4 2 ，且轨迹非线型，故选B． （11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心 率为 （A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2 【答案】D O 【解析】 B A 10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x． 将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为y 4 3 2 B 1 D x –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 （12）设函数 f’(x)是奇函数 f(x)(xR) 的导函数，f（-1）=0，当 x0 时， xf '(x) f(x)0 ，则使得 C –1 f(x)0 成立的x的取值范围是 –2 –3 （A） （B） –4 （C） （D） 【答案】A (ax)(1x)4 a  （15） 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则 __________． 【解析】 3 【答案】 f(x) xf '(x) f(x) g(x) g'(x) (1x)4 14x6x2 4x3x4 (ax)(1x)4 4ax 记函数 x ，则 x2 ，因为当 x0 时， xf '(x) f(x)0 ，故当 x0 时， 【解析】由已知得 ，故 的展开式中x的奇数次幂项分别为 ， 4ax3 x 6x3 x5 4a4a1+6+1=32 a3 g'(x)0 g(x) (0,) f(x)(xR) g(x) ， ， ， ，其系数之和为 ，解得 ． ，所以 在 单调递减；又因为函数 是奇函数，故函数 是偶函数，所以 S a  a 1 a S S S  g(x) (,0) g(1) g(1)0 0 x1 g(x)0 f(x)0 x1 （16）设 n是数列 n 的前n项和，且 1 ， n1 n n1，则 n ________． 在 单调递减，且 ．当 时， ，则 ；当 时， 1 g(x)0 ，则 f(x)0 ，综上所述，使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是  (,1) (0,1) 【答案】 n  ，故选A． 1 1  1   1   二、填空题 a S S S S S S S S  S        【解析】由已知得 n1 n1 n n1 n，两边同时除以 n1 n，得 n1 n ，故数列 n 是以 a b ab a2b  （13）设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _________． 1 1 1 1(n1)n S  1为首项，1为公差的等差数列，则 S n ，所以 n n ． 【答案】2 k， 1 三．解答题           【解析】因为向量 ab 与 a2b 平行，所以 ab（k a2b） ，则 12k, 所以 2 ． x y10，  x2y0, 17．（本题满分12分）   x2y20, z  x y （14）若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为____________． 3 中， 是 上的点， 平分 ， 面积是 面积的2倍． 【答案】2 (Ⅰ) 求 ； (Ⅱ)若 ， ，求 和 的长．满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ． 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立． 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）将 两地区用户对产品的满意度评分的个位数分别列与茎的两侧，并根据数字的集中或分 散来判断平均值和方差的大小；（Ⅱ）事件“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”分为两 (Ⅱ)因为 种情况：当B地区满意度等级为不满意时，A地区的满意度等级为满意或非常满意；当B地区满意度等级为满 意时，A地区满意度等级为非常满意．再利用互斥事件和独立事件的概率来求解． ，所以 ．在 和 中，由余弦定理得 ， ． 试题解析：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 ．由(Ⅰ)知 ，所以 ． A地区 B地区 考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理． 18．（本题满分12分） 4 6 8 1 3 6 4 3 5 某公司为了解用户对其产品的满意度，从 ， 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评 分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 6 4 2 6 2 4 5 5 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 6 8 8 6 4 3 7 3 3 4 6 9 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 9 2 8 6 5 1 8 3 2 1 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分 散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 7 5 5 2 9 1 3 A地区 B地区 4 5 6 表示事件： 7 “B地区用户满意度等级为满意”． 8 则 与 独立， 与 独立， 与 互斥， ． 9 （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：． 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， 由所给数据得 ， ， ， 发生的概率分别为 ， ， ， ．故 ， ， ．设 是平面 的法向量，则 即 ， ， ，故 ． 考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件． 所以可取 ．又 ，故 ．所以直线 与平面 所 19．（本题满分12分） 成角的正弦值为 ． 考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角． 如图，长方体 中, ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， ．过点 ， 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． D1 F C1 D F C 1 1 E A1 B1 C D E A B 1 1 A B D C G （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． A M H B 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面 与长方体的面的交线；（Ⅱ）由交线围成的正方形 20．（本题满分12分） ，计算相关数据．以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 已知椭圆 ,直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线段 ，并求平面 的法向量和直线 的方向向量，利用 求直线 与平 的中点为 ． 面 所成角的正弦值． (Ⅰ)证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值； 试题解析：（Ⅰ）交线围成的正方形 如图： （Ⅱ）作 ，垂足为 ，则 ， ，因为 为正方形，所以 （Ⅱ）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时 的斜 率，若不能，说明理由． ．于是 ，所以 ．以 为坐标原点， 的方向为 轴【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能， 或 ． （Ⅱ）若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围． 【解析】 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ） ． 试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点 【解析】 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦 的中点和直线 的斜率；设直线 的方程同时和椭圆方程联立， 试题分析：(Ⅰ)先求导函数 ，根据 的范围讨论导函数在 和 的符号即可； 利用韦达定理求弦 的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线 方程并与椭圆 （Ⅱ） 恒成立，等价于 ．由 是两个独立的变量，故可求研 方程联立，求得 坐标，利用 以及直线 过点 列方程求 的值． 究 的值域，由(Ⅰ)可得最小值为 ，最大值可能是 或 ，故只需 ， 试题解析：(Ⅰ)设直线 ， ， ， ． 从而得关于 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解． 将 代入 得 ，故 ， ．于是直线 的斜率 ，即 ．所以直线 的斜率与 的 斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形 能为平行四边形． 因为直线 过点 ，所以 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ， ． 由(Ⅰ)得 的方程为 ．设点 的横坐标为 ．由 得 ，即 ．将点 的坐标代入直线 的方程得 ，因此 ．四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，即 ．于是 考点：导数 ．解得 ， ．因为 ， ， ，所以当 的斜率为 的综合应用． （请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。高三网 或 时，四边形 为平行四边形． www.gaosan.com） 考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系． 22．（本小题满分10分） 21．（本题满分12分） 选修4—1：几何证明选讲 如图， 为等腰三角形 内一点，圆 与 的底边 交于 、 两点与底边上的高 交于点 ， 设函数 ． 与 、 分别相切于 、 两点． (Ⅰ)证明： 在 单调递减，在 单调递增；A 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，曲线 ． （Ⅰ）.求 与 交点的直角坐标； G （Ⅱ）.若 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，求 的最大值． E F 【答案】（Ⅰ） 和 ；（Ⅱ） ． O 【解析】 B C 试题分析：（Ⅰ）将曲线 与 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以 M D N 直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立 与 和 与 的极坐标方程， （Ⅰ）证明： ； 求得 的极坐标，由极径的概念将 表示，转化为三角函数的最大值问题处理． （Ⅱ） 若 等于 的半径，且 ，求四边形 的面积． 试题解析：（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由已知得 ，欲证明 ，只需证明 ，由切线长定理可得 ，故只需证明 是角平分线即可；（Ⅱ）连接 ， ，在 中，易求得 ， 联立 解得 或 所以 与 交点的直角坐标为 和 ． 故 和 都是等边三角形，求得其边长，进而可求其面积．四边形 的面积为两个等边三角形 （Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，其中 ．因此 得到极坐标为 ， 的 面积之差． 试题解析：（Ⅰ）由于 是等腰三角形， ，所以 是 的平分线．又因为 分别与 极坐标为 ．所以 ，当 时， 取得最大值， 、 相切于 、 两点，所以 ，故 ．从而 ． 最大值为 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， , ，故 是 的垂直平分线，又 是 的弦，所以 在 上． 考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值． 连接 ， ，则 ．由 等于 的半径得 ，所以 ．所以 和 都是等边三角形．因为 ，所以 ， ． 24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 因为 ， ，所以 ．于是 ， ．所以四边形 的 设 均为正数，且 ，证明： （Ⅰ）若 ，则 ； 面积 ． （Ⅱ） 是 的充要条件． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析． 考点：1．等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数， ），其中 ，在以 为极点，考点：推理 证明．