2015年海南省高考数学试题及答案（理科）_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_海南高考数学08-22_A4word版_答案版

2015年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷） 理科数学 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B= （A）｛－1，0｝ （B）｛0，1｝ （C）｛-1，0，1｝ （D）｛0，1，2｝ 2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a = （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结 论不正确的是 （A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B）2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.等比数列｛a ｝满足a =3，a + a + a =21，则a + a + a = n 1 1 3 5 3 5 7 （A）21 （B）42 （C）63 （D）84 {1+ log (2−x),x＜1, ¿¿¿¿ f(x) f (－2) f (log 12) 2 2 5.设函数 = ，则 + = （A）3 （B）6 （C）9 （D）126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 1 1 1 1 8 7 6 5 （A） （B） （C） （D） |MN| 7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则 = √6 √6 （A）2 （B）8 （C）4 （D）10 8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18， 则输出的a= （A）0 （B）2 （C）4 （D）14 9.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体 积的最大值为36，则球O的表面积为 （A）36π （B）64π （C）144π （D）256π 10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与 DA运动，∠BOP=x。将动点P到AB两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x） 的图像大致为 11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为 120°，则E的离心率为 √5 √3 √2 (A) (B)2 (C) (D) 12.设函数 f ’(x)是奇函数 f (x)(x∈R)的导函数， f（-1）=0，当 x>0时， x f ’(x)－f (x)＜0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是 (A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞) (C) (－∞，－1)∪(－1，0) (D) (0，1)∪(1，＋∞) 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答. 第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ=________.(用数字填写答 案) {x y 1 0, {x 2y 0, − + ≥ ¿ − ≤ ¿¿¿¿ x，y z= x＋y 14.若 满足约束条件 ，则 的最大值为____________.. 15.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________. 16.设S是数列{a }的前n项和，且a =－1，a +1=S S ，则S ________. n n 1 n n n+1 n= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） ∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。 sin∠B sin∠C (Ⅰ) 求 ； √2 2 (Ⅱ) 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长. 18. （本小题满分12分） 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得 到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区 满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C的概率 19. （本小题满分12分） 如图，长方体ABCD-A B C D 中AB=16，BC=10，A A =8，点E，F分别在 1 1 1 1 1 A B ，D C 上，A E=D F。过带你E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一 1 1 1 1 1 1 个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值 20. （本小题满分12分） 已知椭圆C：9x2+ y2 = m2 (m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有 两个交点A，B，线段AB的中点为M. （I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； m m 3 （II）若l过点( ， ),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？ 若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由. 21. （本小题满分12分） 设函数f (x)=emx+x2-mx. (Ⅰ)证明：f(x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增； （Ⅱ）若对于任意x , x ∈[-1,1],都有｜f(x )- f(x )｜≤e-1,求m的取值范围 1 2 1 2 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答 时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与 ABC的底边BC交于 M、N两点与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两 点. （I）证明：EF平行于BC （II） 若AG等于圆O的半径，且AE=MN= ,求四边形EBCF 的面积。 23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 {x=t cosα , ¿ ¿¿¿ 在直角坐标系xOy中，曲线C: ，其中0≤α＜π ，在 1以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2sinθ，曲线C：ρ=cosθ . 2 3 （I）.求C 与C 交点的直角坐标 2 3 |AB| （II）.若C 与C 相交于点A，C 与C 相交于点B，求 的最大值 1 2 1 3 （24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明： ab＞cd √a+√b＞√c+√d （I）若 ，则 ； √a+√b＞√c+√d |a−b|＜|c−d| （II） 是 的充要条件. （24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设均为正数，且,证明： （I）若，则 ； （II） 是 的充要条件.2015 年海南省数学理科高考试题及答案解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B= （ ） （A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝ 【答案】A B   x 2 x1  A B 1,0  【解析】由已知得 ，故 ，故选A （2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ） （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 【答案】B 【解析】 [来源:Z_xx_k.Com] （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下 结论不正确的是( )（A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年 份负相关． a a a a a a  （4）等比数列｛a｝满足a=3， 1 3 5 =21，则 3 5 7 ( ) n 1 （A）21 （B）42 （C）63 （D）84 【答案】B 【解析】 1log (2x),x1, f(x) 2 2x1,x1, f(2) f(log 12) （5）设函数 , 2 ( ) （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 【答案】C f(2)1log 43 log 121 【 解 析 】 由 已 知 得 2 ， 又 2 ， 所 以 f(log 12)2log 2 121 2log 2 6 6 2 ，故 f(2) f(log 12)9 2 ． （6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与 剩余部分体积的比值为1 1 1 1 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 【答案】D ABCDABC D AABD 【解析】由三视图得，在正方体 1 1 1 1中，截去四面体 1 1 1，如图所 1 1 1 V   a3  a3 示，，设正方体棱长为 a ，则 AA 1 B 1 D 1 3 2 6 ，故剩余几何体体积为 1 5 1 a3  a3  a3 6 6 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5． D C 1 1 A 1 B 1 D C A B MN （7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则 = 6 6 （A）2 （B）8 （C）4 （D）10 【答案】C 【解析】 （8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。 执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=A.0 B.2 C.4 D.14 【答案】B [来源:Z.xx.k.Com] a b a14 b18 b4 a10 【解析】程序在执行过程中， ， 的值依次为 ， ； ； ； a6 a2 b2 ab2 a ； ； ，此时 程序结束，输出 的值为2，故选B． （9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为 A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C AOB OABC 【解析】如图所示，当点C位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最 1 1 1 V V   R2R R3 36 大，设球 O 的半径为R，此时 OABC CAOB 3 2 6 ，故 R6 ，则 O 球 的表面积为 S 4R2 144 ，故选C． C O B A 10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的 图像大致为[来源:学科网] 【答案】B 【解析】    x f( ) f( ) 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 2 对称，且 4 2 ，且轨迹非线型，故选 B． （11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角 为120°，则E的离心率为 （A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2 【答案】D 【解析】f(x)(xR) x0 （12）设函数 f’(x)是奇函数 的导函数，f（-1）=0，当 时， xf '(x) f(x)0 f(x)0 ，则使得 成立的x的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 f(x) xf '(x) f(x) g(x) g'(x) 记函数 x ，则 x2 ，因为当 x0 时， xf '(x) f(x)0 ， x0 g'(x)0 g(x) (0,) f(x)(xR) 故当 时， ，所以 在 单调递减；又因为函数 是奇 g(x) g(x) (,0) g(1) g(1)0 函数，故函数 是偶函数，所以 在 单调递减，且 ．当 0 x1 g(x)0 f(x)0 x1 g(x)0 f(x)0 时， ，则 ；当 时， ，则 ，综上所述， f(x)0 x 使得 成立的 的取值范围是 (,1) (0,1)  ，故选A． 二、填空题       a b ab a2b  （13）设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _________． 1 2 【答案】 k，          ab a2b ab（k a2b） 12k, 【解析】因为向量 与 平行，所以 ，则 所以 1  2 ． x y10，  x2y0,   x2y20, z  x y （14）若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为____________． 3 2 【答案】y 4 3 2 B 1 D x –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 –1 C –2 –3 –4 (ax)(1x)4 a  （15） 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则 __________． 3 【答案】 (1x)4 14x6x2 4x3x4 (ax)(1x)4 【解析】由已知得 ，故 的展开式中x的奇 4ax 4ax3 x 6x3 x5 4a4a1+6+1=32 数次幂项分别为 ， ， ， ， ，其系数之和为 ，解得 a3 ． S a  a 1 a S S S  （16）设 n是数列 n 的前n项和，且 1 ， n1 n n1，则 n ________． 1  【答案】 n 1 1  1 a S S S S S S S S 【解析】由已知得 n1 n1 n n1 n，两边同时除以 n1 n，得 n1 n ，  1  1   1(n1)n 故数列  S n  是以1为首项，1为公差的等差数列，则 S n ，所以 1 S  n n ． 三．解答题 17．（本题满分12分） 中， 是 上的点， 平分 ， 面积是 面积的2倍． (Ⅰ) 求 ； (Ⅱ)若 ， ，求 和 的长．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ． (Ⅱ)因为 ，所以 ．在 和 中，由余弦定理 得 ， ． ．由(Ⅰ)知 ，所以 ． 考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理． 18．（本题满分12分） 某公司为了解用户对其产品的满意度，从 ， 两地区分别随机调查了20个用户，得到 用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； A地区 B地区 4 5 6 7 8 9 （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户 的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）将 两地区用户对产品的满意度评分的个位数分别列与茎的两侧，并 根据数字的集中或分散来判断平均值和方差的大小；（Ⅱ）事件“A地区用户的满意度等 级高于B地区用户的满意度等级”分为两种情况：当B地区满意度等级为不满意时，A地 区的满意度等级为满意或非常满意；当B地区满意度等级为满意时，A地区满意度等级为 非常满意．再利用互斥事件和独立事件的概率来求解． 试题解析：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 A地区 B地区 4 6 8 1 3 6 4 3 5 6 4 2 6 2 4 5 5 6 8 8 6 4 3 7 3 3 4 6 9 9 2 8 6 5 1 8 3 2 1 7 5 5 2 9 1 3 表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”． 则 与 独立， 与 独立， 与 互斥， ． ．由所给数据得 ， ， ， 发生的概率分别为 ， ， ， ．故 ， ， ， ，故 ． 考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件． 19．（本题满分12分） 如图，长方体 中, ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， ．过点 ， 的平面 与此长方体的面相交，交线围成 一个正方形． D1 F C1 E A1 B1 C D A B （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面 与长方体的面的交线；（Ⅱ）由 交线围成的正方形 ，计算相关数据．以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，并求平面 的法向量和直线 的方向向 量，利用 求直线 与平面 所成角的正弦值． 试题解析：（Ⅰ）交线围成的正方形 如图： （Ⅱ）作 ，垂足为 ，则 ， ，因为 为 正方形，所以 ．于是 ，所以 ．以为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ． 设 是 平 面 的 法 向 量 ， 则 即 所 以 可 取 ． 又 ， 故 ．所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角． D F C 1 1 E A B 1 1 D C G A M H B 20．（本题满分12分） 已知椭圆 ,直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个 交点 ， ，线段 的中点为 ． (Ⅰ)证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？ 若能，求此时 的斜率，若不能，说明理由． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能， 或 ．【解析】 试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种 方法求解：设端点 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦 的中点和直线 的斜率； 设直线 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦 的中点，并寻找两条直线斜 率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线 方程并与椭圆方程联立，求得 坐标，利用 以及直线 过点 列方程求 的值． 试题解析：(Ⅰ)设直线 ， ， ， ． 将 代 入 得 ， 故 ， ．于是直线 的斜率 ，即 ．所以 直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形 能为平行四边形． 因为直线 过点 ，所以 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ， ． 由(Ⅰ)得 的方程为 ．设点 的横坐标为 ．由 得 ， 即 ． 将 点 的 坐 标 代 入 直 线 的 方 程 得 ，因此 ．四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线 段 互相平分，即 ．于是 ．解得 ， ．因为 ， ， ，所以当 的斜率为 或 时，四边形 为平行四边形． 考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．21．（本题满分12分） 设函数 ． (Ⅰ)证明： 在 单调递减，在 单调递增； （Ⅱ）若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：(Ⅰ)先求导函数 ，根据 的范围讨论导函数在 和 的 符 号 即 可 ； （ Ⅱ ） 恒 成 立 ， 等 价 于 ．由 是两个独立的变量，故可求研究 的值域，由(Ⅰ) 可得最小值为 ，最大值可能是 或 ，故只需 ，从 而得关于 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解． 考点：导数的综合应用． （请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请 写清题号。高三网www.gaosan.com）22．（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲 如图， 为等腰三角形 内一点，圆 与 的底边 交于 、 两点与底边 上的高 交于点 ，与 、 分别相切于 、 两点． A G E F O B C M D N （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ） 若 等于 的半径，且 ，求四边形 的面积． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由已知得 ，欲证明 ，只需证明 ，由切线 长定理可得 ，故只需证明 是角平分线即可；（Ⅱ）连接 ， ，在 中，易求得 ，故 和 都是等边三角形，求得其边长， 进而可求其面积．四边形 的面积为两个等边三角形面积之差． 试题解析：（Ⅰ）由于 是等腰三角形， ，所以 是 的平分线． 又因为 分别与 、 相切于 、 两点，所以 ，故 ．从而 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， , ，故 是 的垂直平分线，又 是 的弦，所以 在 上．连接 ， ，则 ．由 等于 的半径得 ， 所 以 ． 所 以 和 都 是 等 边 三 角 形 ． 因 为 ，所以 ， ． 因为 ， ，所以 ．于是 ， ． 所以四边形 的面积 ． 考点：1．等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数， ），其中 ， 在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，曲线 ． （Ⅰ）.求 与 交点的直角坐标； （Ⅱ）.若 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，求 的最大值． 【答案】（Ⅰ） 和 ；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）将曲线 与 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交 点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标； （Ⅱ）分别联立 与 和 与 的极坐标方程，求得 的极坐标，由极径的概念将 表示，转化为三角函数的最大值问题处理． 试题解析：（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ．联立 解得 或 所以 与 交 点的直角坐标为 和 ． （Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，其中 ．因此 得到极坐标 为 ， 的 极 坐 标 为 ． 所 以 ，当 时， 取得最大值，最大值为 ． 考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设 均为正数，且 ，证明： （Ⅰ）若 ，则 ； （Ⅱ） 是 的充要条件． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．考点：推理证明．