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海南省 2017 年高考文科数学试题及答案
7. 设x、y满足约束条件 。则 的最小值是
（word 版）
A. -15 B.-9 C. 1 D. 9
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
8. 函数 的单调递增区间是
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A.(- ,-2) B. (- ,-1) C.(1, + ) D. (4, + )
1. 设集合 则
9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有 2位优秀，2位良好，
A. B. C. D. 我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，
根据以上信息，则
2.（1+i）（2+i）=
A. 乙可以知道两人的成绩
A. 1-i B. 1+3i C. 3+i D. 3+3i
B. 丁可能知道两人的成绩
3. 函数 的最小正周期为
C. 乙、丁可以知道对方的成绩
D. 乙、丁可以知道自己的成绩
A. 4 B. 2 C. D.
10. 执行右面的程序框图，如果输入的a = -1，则输出的S=
A. 2 B. 3
4. 设非零向量 ， 满足 则
C. 4 D. 5
A. ⊥ B. C. ∥ D.
11. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再
随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上
5. 若 ＞1，则双曲线 的离心率的取值范围是
的数的概率为
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
12. 过抛物线C:y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上且
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的
MN⊥l,则M到直线NF的距离为
是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截
A. B. C. D.
去一部分后所得，则该几何体的体积为
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.
A. 90 B.63 C.42 D.36 13. 函数 的最大值为 .
14. 已知函数 是定义在R上的奇函数，当x 时， ,则 （1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
15. 长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
16. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B= 旧养殖法
新养殖法
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17至21题为必考题，每个试题考生都 （3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较。
附：
必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
0.050 0.010 0.001
（一）必考题：共60分。 P （
）
17.（12分）
k 3.841 6.635 10.828
已知等差数列{a}的前n项和为Sn，等比数列{b}的前n项和为Tn，a=-1，b1=1，a3+b2=2.
n n 1
(1) 若a3+b2=5，求{b}的通项公式；
n
(2) 若T=21，求S
1
18.(12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角
20.（12分）
形 且 垂 直 于 底 面 ABCD ， AB=BC= AD,
设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足
∠BAD=∠ABC=90°。
（1）求点P的轨迹方程；
(1) 证明：直线BC∥平面PAD;
（2）设点 在直线x=-3上，且 .证明过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
(2) 若△PAD面积为2 ，求四棱锥P-ABCD的体积。
21.（12分）
19.（12分）
设函数f(x)=(1-x2)ex.
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水
（1）讨论f(x)的单调性；
产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（2）当x 0时，f(x) ax+1，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C的极坐标方程为
1
（1）M为曲线C的动点，点P在线段OM上，且满足 ，求点P的轨迹C的直角坐标方程；
1 2（2）设点A的极坐标为 ，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值。
2
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知 =2。证明：
试题答案
（1） ：
一、选择题
1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B 7.A 8.D 9.D 10.B 11.D 12.C
（2） 。
二、填空题
13. 14. 12 15. 14π 16.
三、解答题
17.解：
设 的公差为d， 的公比为q，则 , .由 得
d+q=3. ①
（1）由 得
②
联立①和②解得 （舍去），
因此 的通项公式
（2）由 得 .
解得
当 时，由①得 ，则 .(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
当 时，由①得 ，则 .
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法 62 38
18.解： 新养殖法 34 66
（1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，
K2=
所以BC∥AD.又 ，
由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
，故BC∥平面PAD. (3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖
法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.
（2）去AD的中点M，连结PM，CM，
由 及 BC∥ AD ，
∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD. 20.解：
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，
（1）设P（x，y），M（ ）,则N（ ），
因为 ，所以PM⊥CM.
由 得 .
设BC=x，则CM=x，CD= ，PM= ，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以
因为M（ ）在C上，所以 .
因为△PCD的面积为 ，所以
因此点P的轨迹为 .
，
（3）由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则
，
解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM= ，
.
所以四棱锥P-ABCD的体积 .
由 得-3m- +tn- =1，又由（1）知 ，故
19.解：
3+3m-tn=0.
（1）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
所以 ，即 .又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的
（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62
因此，事件A的概率估计值为0.62.
左焦点F.21. 解
（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex 因此 的直角坐标方程为 .
令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+
（2）设点B的极坐标为 （ ）.由题设知|OA|=2， ，于是△OAB面积
当x∈（-∞，-1- ）时，f’(x)<0；当x∈（-1- ，-1+ ）时，f’(x)>0；当x∈（-1- ，
+∞）时，f’(x)<0
所以f(x)在（-∞，-1- ），（-1+ ，+∞）单调递减，在（-1- ，-1+ ）单调递增
当 时， S取得最大值 .
(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex
当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而
h(0)=1，
所以△OAB面积的最大值为 .
故h(x)≤1，所以
f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1
当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，
23. 解：
而g(0)=0，故ex≥x+1
当0＜x＜1， ， ，取
则
当
（2）因为
综上，a的取值范围[1，+∞）
22.解：
（1）设P的极坐标为（ ）（ ＞0），M的极坐标为 （ ）由题设知
|OP|= ， = .
由 |OP|=16得 的极坐标方程
所以 ，因此A． ⊥ B． C． ∥ D．
【答案】A
【解析】由 平方得 ，即 ，则 ，故选A.
选择填空解析
5．若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A． B． C． D．
1．设集合 ，则
【答案】C
A． B． C． D．
【答案】A
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去
【解析】由题意 ，故选A.
一部分后所得，则该几何体的体积为
2． A． B． C． D．
A． B． C． D．
【答案】B
3．函数 的最小正周期为
【答案】B
A． B． C． D． 【解析】由题意，该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱，故其体积为
【答案】C
，故选B.
【解析】由题意 ，故选C.
4．设非零向量 ， 满足 ，则 7．设 满足约束条件 则 的最小值是A． B． C． D． 10．执行下面的程序框图，如果输入的 ，则输出的
【答案】A A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值，最小
值为 ．故选A.
8．函数 的单调递增区间是
【答案】B
A． B． C． D．
【答案】D
9
．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我
现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据
以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
11．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于
【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己
第二张卡片上的数的概率为
的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.【答案】
A． B． C． D．
【解析】 .
【答案】D
【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：
14．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ,则 .
【答案】12
【解析】 .
15．长方体的长，宽，高分别为 ，其顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为 .
【答案】
【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以
总计有25种情况，满足条件的有10种.
16． 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 .
所以所求概率为 .
【答案】
12．过抛物线 的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点 （ 在 的轴上方）， 为 的准线，
【解析】由正弦定理可得
点 在 上且 ,则 到直线 的距离为
.
A． B． C． D．
【答案】C
二、填
空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数 的最大值为 .
