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【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.
2008 年普通高等学校招生全国统一考试
6．已知命题 所有有理数都是实数，命题 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）
A． B． C． D．
（广东卷）
【解析】不难判断命题 为真命题，命题 为假命题，从而上述叙述中只有
数学(理科) 为真命题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 7．设 ，若函数 ， 有大于零的极值点，则（ B ）
求的．
1．已知 ，复数 的实部为 ，虚部为1，则 的取值范围是（ C ）
A． B． C． D．
A． B． C． D． 【解析】 ，若函数在 上有大于零的极值点，即 有正根。当有
【解析】 ，而 ，即 ，
成立时,显然有 ,此时 ，由 我们马上就能得到参数 的范围为
.
2．记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ D ）
A．16 B．24 C．36 D．48 8．在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线与 交于点 ．若
【解析】 ， ，故 ， ，则 （ B ）
3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表 1．已知 一年级 二年级 三年级 在 全 校
A． B． C． D．
学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用 女生 373 分层抽样
的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人 男生 377 370 数 为 （ 【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出 ,然后利用向量的加减法则易得答案
C ） B.
开始
A．24 B．18 C．16 D．12 表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是 ，即总体中各个年级的 （一）必做题（9~12题）
9．阅读图3的程序框图，若输入 ， ，则输出 ， 输入
人数比例为 ，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
（注：框图中的赋值符号“ ”也可以写成“ ”或“ ”） i 1
【解析】要结束程序的运算，就必须通过 整除 的条件运算，
4．若变量 满足 则 的最大值是（ C ） 而同时 也整除 ，那么 的最小值应为 和 的最小公倍 a mi
数12，即此时有 。
i i1
10．已知 （ 是正整数）的展开式中， 的系数小于120，
A．90 B．80 C．70 D．40 n整除a?
否
【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C. 则 ．
是
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示 分别是 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体
【解析】 按二项式定理展开的通项为 ，
输出
按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）
A A
H G 我们知道 的系数为 ，即 ，也即 ，
B I C 侧视 B C B B B B 结束
而 是正整数，故 只能取1。
图3
E D E D E E E E
11．经过圆 的圆心 ，且与直线 垂直的直线
F F A． B． C． D
图1 图2 ．
方程是 ．【解析】易知点C为 ，而直线与 垂直，我们设待求的
已知函数 ， 的最大值是1，其图像经过点 ．
直线的方程为 ，将点C的坐标代入马上就能求出参数 的
（1）求 的解析式；（2）已知 ，且 ， ，求 的值．
值为 ，故待求的直线的方程为 。
12．已知函数 ， ，则 的最小正周期是 ． 【解析】（1）依题意有 ，则 ，
【解析】 ,此时可得函数的最小正周期 。 将点 代入得 ，
而 ， ， ，
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13 ． （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 已 知 曲 线 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 ，
故 ；
，则曲线 与 交点的极坐标为 ． （2）依题意有 ，而 ，
，
【解析】我们通过联立解方程组 解得 ,即两曲线的交点为 。
。
17．（本小题满分13分）
14．（不等式选讲选做题）已知 ，若关于 的方程 有实根，则 的取值范围是
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．
已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品
． 的利润（单位：万元）为 ．
【解析】方程即 ,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数 的取
（1）求 的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即 的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一等品率提高为 ．如果此时要求1件产
值范围为
品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【解析】 的所有可能取值有6，2，1，-2； ，
15．（几何证明选讲选做题）已知 是圆 的切线，切点为 ， ． 是圆 的直径， 与圆 交
于点 ， ，则圆 的半径 ．
，
【解析】依题意，我们知道 ,
故 的分布列为：
由相似三角形的性质我们有 ,
6 2 1 -2
即 。
0.63 0.25 0.1 0.02
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． （2）
16．（本小题满分13分）
（3）设技术革新后的三等品率为 ，则此时1件产品的平均利润为设 ，函数 ， ， ，试讨论函数 的单调性．
依题意， ，即 ，解得 所以三等品率最多为
18．（本小题满分14分）
【解析】
设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 ．如图4所示，过点 作 轴
的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的切线经过椭圆的右焦点 ．
对于 ，
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得 为直角三角形？ 当 时，函数 在 上是增函数；
若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
【解析】（1）由 得 ， 当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数；
当 得 ，
y
对于 ，
F
G点的坐标为 ， ， ， G
F
过点G的切线方程为 即 ， 1 x 当 时，函数 在 上是减函数；
A O B
令 得 ， 点的坐标为 ， 图4
当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数。
由椭圆方程得 点的坐标为 ，
20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥 的底面 是半径为 的圆的内接四边形，其中 是圆的直径，
即 ，即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；
， ， 垂直底面 ， ， 分别是 上的点，且
P
（2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 ,
，过点 作 的平行线交 于 ．
以 为直角的 只有一个， E
G
同理 以 为直角的 只有一个。 （1）求 与平面 所成角 的正弦值；
（2）证明： 是直角三角形；
若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ， A D
F
（3）当 时，求 的面积．
B
C
。
图5
关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个， 【解析】（1）在 中， ，
因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。
而PD垂直底面ABCD，
19．（本小题满分14分）
,
在 中， ,即 为以 为直角的直角三角形。设点 到面 的距离为 ,
由 得 ，
由 有 ,
即 消去 ，得 ， 是方程 的根，
由题意可知，
; ①当 时，此时方程组 的解记为
(2) ,而 ,即 ,
，
即 、 分别是公比为 、 的等比数列，
, 是直角三角形；
由等比数列性质可得 , ,
（3） 时 , ,
两式相减，得
即 ,
， ，
的面积
，
21．（本小题满分12分） ，
设 为实数， 是方程 的两个实根，数列 满足 ， ，
即 ，
（ …）．
（1）证明： ， ； ②当 时，即方程 有重根， ，
（2）求数列 的通项公式； 即 ，得 ，不妨设 ，
由①可知
（3）若 ， ，求 的前 项和 ．
， ，
【解析】（1）由求根公式，不妨设 ，得
即 ，等式两边同时除以 ，得 ，即
， 数列 是以1为公差的等差数列，
,
（2）设 ，则 ，综上所述，
（3）把 ， 代入 ，得 ，解得
