2009年广东高考（理科）数学试题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_广东高科数学（理+文）08-22_A3Word版

绝密★启用前 试卷类型：B 7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、 司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种 8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为 直线）行驶．甲车、 数学（理科） 乙车的速度曲线分别为v 和v （如图2所示）．那么对于图中 给定的t 和t ，下列 甲 乙 0 1 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 判断中一定正确的是 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 A．在t 1 时刻，甲车在乙车前面 用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 B．t 时刻后，甲车在乙车后面 1 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮 C．在t 时刻，两车的位置相同 0 擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 D．t 时刻后，乙车在甲车前面 0 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答 案无效。 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答 （一）必做题（９～１２题） 案无效。 ９．随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a 1 ,a 2 ,  ,a n ，则图3所示的程序框图输出的s  ，表示的样本的 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写 成“←”“： =”） 1 参考公式：锥体的体积公式V  sh，其中S 是锥体的底面积，h是锥体的高 3 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 １０．若平面向量a,b满足 ab 1，ab平行于x轴， b(2,1)， 的． 则a ． １．巳知全集U  R，集合M {x 2 x12}和N {x x2k1,k 1,2,  }的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 11．巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，且 上 A．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 _________________ ． ２．设z 是复数，a(z)表示满足zn 1的最小正整数n，则对虚数 单位i，a(i) Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２ ３．若函数y  f(x)是函数y ax(a 0,且a 1)的反函数，其图像经过点( a,a)，则 f(x) 12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若EX 0， DX 1，则 log x 1 a ，b ． Ａ．log x Ｂ． 1 Ｃ． Ｄ．x2 2 2 2x 3。 （二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线 ４．巳知等比数列{a n }满足a n 0,n1,2, ，且a 5 a 2n5 22n(n3)，则当n1时， x12t, xs, log a log a  log a  l : (t为参数)与直线l : （s为参 数）垂直，则 2 1 2 3  2 2n1 1 y 2kt. 2 y 12s. Ａ．n(2n1) Ｂ．(n1)2 Ｃ．n2 Ｄ．(n1)2 k  ． 4 5．给定下列四个命题： x1 ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 14．（不等式选讲选做题）不等式 1的实数解为 ． ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； x2 ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④ 15．(几何证明选讲选做题）如图4，点A,B,C是圆O上的点， 且AB4,ACB450，则圆O的面积等于 ． 6．一质点受到平面上的三个力F,F ,F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F,F 成600角，且F,F 的大 1 2 3 1 2 1 2 小分别为２和４，则F 的大小为 3 A Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．2 5 Ｄ．2 7 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过 程和演算步骤， F 1 D C F O 3 F 2 B16．(本小题满分12分） g(x) 设 f(x) ．  已知向量a(sin,2)与b(1,cos)互相垂直，其中(0, )． x 2 （１）若曲线y  f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为 2 ，求m的值； （1）求sin和cos的值； （２）k(kR)如何取值时，函数y  f(x)kx存在零点，并求出零点． 10  cos （2）若sin() ,0 ，求 的值． 10 2 21．（本小题满分１４分） 已知曲线C n :x2 2nx y2 0(n1,2,  )．从点P(1,0)向曲线C n 引斜率为k n (k n 0)的切线l n ，切点为 P (x ,y )． n n n 17．（本小题满分12分） （１）求数列{x }与{y }的通项公式； n n 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表: 1x x 对 （ 某 36 城 5天 市 ） 一 的 年 空气 （２）证明：x 1 x 3 x 5   x 2n1  1x n  2sin y n n n 质量进行监测，获 得API数据按照区 间 [0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中x的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天 数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻 微污染的概 率. (结果用分数表示．已知 , , ） 18．（本小题满分１４分） 如图６，已知正方体ABCDABC D 的棱长为２， 点Ｅ是正方 1 1 1 1 形BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱C D,AA 的 中点．设点 1 1 1 1 1 E ,G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面DCC D 内的正投影． 1 1 1 1 （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCC D 内 1 1 的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线FG 平面FEE ； 1 1 （３）求异面直线EG与EA所成角的正弦值 1 1 答 案 19．（本小题满分１４分） 已知曲线C: y  x2与直线l:x y20交于两点A(x ,y )和 B(x ,y )， A A B B 且x  x ．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s,t)是L上 A B 的任一点，且点P与点A和点B均不重合． （１）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M 的轨迹方程； 1.解： ， ，所以 51 故，选B （２）若曲线G:x2 2ax y2 4ya2  0与D有公共点，试求a的最小值． 2. 解：因为 ， ， ，所以满足 的最小正整数n的值是4。故，选C 25 .解：由函数y＝f(x)是函数y ax(a 0,且a 1)的反函数，可知 ， 20．（本小题满分１４分） 又其图像经过点( a,a)，即 ，所以a= , 。故答B 已知二次函数y  g(x)的导函数的图像与直线y 2x平行，且y  g(x)在x1处取得极小值m1(m0)． 。解：在a a 22n(n3)中，令n=5,得 ，令n=3,得 ， 5 2n5则由两直线垂直的充要条件，得 ， 。 又a n 0,n1,2, ，所以 ， ，从而解得，公比 ， ， ， ， x1 14。解： 1 x2 所以log 2 a 1 log 2 a 3   log 2 a 2n1 1+3+…+（2n-1）= 5.解： 显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C, 答 D. 解得 且 。所以原不等式的解集为{x| 且 } 6.解：依题意，可知 ，所以 ， 15．解法一：连结OA，OB，则∠AOB=2∠ACB=90O， 所以△AOB为等腰直角三角形，又AB4， = =28. 所以，圆O的半径R= ，圆O的面积等于 所以，力 的大小为 ， 答D。 解法二：设圆O的半径为R，在△ABC中，由正弦定理， 7。解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有 种， 得 ，解得R= ， 若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有 种， 故， 总的不同的选派方案共有12+24=36种。 答A。 所以，圆O的面积等于 8. 解：因为速度函数 是路程函数 的导函数，即 ，所以 ， 16．解：（1）∵ 向量 与 互相垂直， 根据定积分的定义，比较图中速度曲线v 和v 分别与x轴及直线 ， ∴ ，即 ①， 甲 乙 围成的图形的面积，即可看出，应选A。 又 ② ① 代入②，整理，得 ， 9.解：记 时求得的S值为 ,记初始值为 , 由 ，可知 ， 则 , , ∴ ，代入①得 ,……, 故 ， 。 （2）∵ ， 故,答案为(1) ；(2) 这 n 件产品的平均长度 。 ∴ 10。解：设 ，则 ，依题意，得 将（1）的结果代入其中，得 ，解得 或 ，所以 或 。 整理，得 ③， 又 ④ 答： 或 。 ③代入④，整理，得 11.解：设椭圆G的方程为 ，焦半径为c, 由 ，可知 ， 依题意，得2a=12，且 ， 解得a=6，c= , 所以 所以，解得 。 所以， 椭圆G的方程为 。 17.解：（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1， 12。解：依题意，得 依题意，得 ，解得 又 所以 。 答： ； x12t, （2）一年中空气质量为良和的天数为 （天）； 13．解：直线l : (t为参数)化为普通方程是 ， 1 y 2kt. 一年中空气质量为轻微污染的天数为 （天）； 该直线的斜率为 ， （3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天） xs, 所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是 ， 直线l : （s为参数）化为普通方程是 ， 2 y 12s. 该直线的斜率为 ， 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B（7， ）又x  x ，所以点A，B的坐标分别为 ，（k=0,1,2,…,7） A B ∵点Q是线段AB的中点 设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则 ∴点Q的坐标为 = ∵点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合． = = . ∴ ， 即 ，且 设线段PQ的中点为M (x,y), 18.(1)解：∵点D,E ,G 分别是点A,Ｅ,Ｇ在平面DCC D 内的正投影． 1 1 1 1 ∴四边形FGAE在平面DCC 1 D 1 内的正投影为四边形 则点M的轨迹的参数方程为 （s为参数，且 ）； 又 ⊥平面 DCC D ，且 消去s 整理，得 ，且 1 1 所以，所求锥体的体积为 所以，线段PQ的中点M 的轨迹方程是 ， ； = 51 （２）证明：∵ ⊥平面 DCC D ， 平面 DCC D ， （２）曲线G:x2 2ax y2 4ya2  0可化为 ， 1 1 1 1 25 ∴ ⊥ ∵在正方形DCC D 中， 分别是 的中点， 它是以G(a,2)为圆心，以 为半径的圆， 1 1 ∴ ， 设直线l:x y20与y轴相交于点E，则E点的坐标为E(0,2)； 自点A做直线l:x y20的垂线，交直线y=2 于点F， ∴ 在RT△EAF中，∠AEF= ， ，所以 ， ∴ ⊥ ∵ ， 又 ∩ = ∴当 且圆G与直线 相切时，圆心G必定在线段FE上， ∴FG 平面FEE ； 1 1 且切点必定在线段AE上， （３）设 的中点为H，连结EH， 于是，此时的a的值就是所求的最小值。 则EH∥ ∥CD，且EH= =CD=2， 当圆G与直线l:x y20相切时 ， ∠AEH就是异面直线EG与EA所成角 1 1 又CD⊥平面 ， 解得 ，或者 （舍去） ∴EH⊥平面 在RT△AEH中，EH =2，AH= ，所以EA= 所以，使曲线G与平面区域D有公共点的a的最小值是 ． 所以，异面直线EG与EA所成角的正弦值为 。 （备注： 讨论圆 G 与直线 切点的位置的必要性。若圆G的半径大于|AF|,则圆G与直线 的切点将落在线段EA 1 1 的延长线上，此时，圆G与平面区域D没有公共点，这时令圆G过点A，求出的a 的两个值，其中的那个较小的数， 解法2：（1）依题作点 、 在平面DCC D 内的正投影 、 ，则 、 分别为 、 的中点，连结 、 才是所求。） 1 1 、 、 ，则所求为四棱锥 的体积，其底面 面积为 20.解：设二次函数 的解析式为 ， 则它的导函数为 ， ∵ 函数 的图像与直线 平行， 又 面 ， ，∴ . ∴ 2a=2，解得a=1, （2）以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别作 轴， 轴， 轴，得 、 ，又 ， ， ，则 ， ， ， 所以 ， ∴ ， ，即 ， ， ∵ 在 处取得极小值 又 ，∴ 平面 . ∴ ，即 ，解得 。 （3） ， ，则 ，设异面直线EG与EA所成角 1 1 所以 ， = （ ） 为 ，则 . （1）设点点P （ ， ）为曲线 上的任意一点 19.解：（1）解曲线C与直线 的联立方程组 ,得 , ,则点P到点 的距离为 ， 。 21.（1）解：曲线C n :x2 2nx y2 0(n1,2,  )可化为 ， 由基本不等式定理可知 ， 所以，它表示以 为圆心，以n 为半径的圆， 切线l 的方程为 ， n 当且仅当 时，等号“=”成立，此时 = 联立 ，消去y 整理，得 ，① 又已知点P到点 的距离的最小值为 ，所以令 ， 两边平方整理， 得 当 时， ，解得 令 ，解得 ， 当 时， ，解得 所以， 的值为 或者 ； 此时，方程①化为 （2）函数令 = （ ） 整理，得 ，解得 ， 令 ，即 （ ）， 所以 整理，得 （ ），① ∴数列 的通项公式为 函数 存在零点，等价于方程①有非零实数根， 数列 的通项公式为 。 由 可知，方程①不可能有零根， 当k=1 时，方程①变为 ，解得 ，方程①有唯一实数根， （２）证明：∵ ， 此时， 函数 存在唯一的零点 ； 当k≠1 时，方程①根的判别式为 ， 令 =0，解得 ， 方程①有两个相等的实数根 ， ∴ 此时， 函数 存在唯一的零点 ； = = 令 >0，得m(1-k)<1 , 当m>0时，解得 ， ∵ = ，又 当m<0时，解得 ， 以上两种情况下，方程①都有两个不相等的实数根 令 ，则 ， ， 要证明 ，只需证明当 时， 恒成立即可。 此时， 函数 存在两个零点 设函数 ， ， 则 ， 综上所述，函数 存在零点的情况可概括为 ∵ 在区间 上 为增函数， 当k=1 时，函数 存在唯一的零点 ； ∴当 时， ， 当 时，函数 存在唯一的零点 ； ∴ 在区间 上为单调递减函数， 当 m>0且 ，或者m<0且 时，函数 存在两个零点 ∴ 对于一切 很成立，∴ ，即 = 1x x 综上，得x 1 x 3 x 5   x 2n1  1x n  2sin y n n n