2019年广东高考（文科）数学试题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_广东高科数学（理+文）08-22_A3Word版

绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 5．函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 A． B． 1．设 ，则 = A．2 B． C． D．1 C． D． 2．已知集合 ，则 6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方 A． B． C． D． 法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生 3．已知 ，则 7．tan255°= A．abc B．acb C．cab D．bca A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618， 8．已知非零向量a，b满足 =2 ，且（a–b） b，则a与b的夹角为 称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的 A． B． C． D． 长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为 9．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入 26cm，则其身高可能是14．记S 为等比数列{a}的前n项和.若 ，则S=___________． n n 4 15．函数 的最小值为___________． 16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么P到平 面ABC的距离为___________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 A．A= B．A= C．A= D．A= 17．（12分） 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满 10．双曲线C： 的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 A．2sin40° B．2cos40° C． D． 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； 11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－ ，则 = （2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ A．6 B．5 C．4 D．3 附： ． 12．已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F 的直线与 C 交于 A，B 两点.若 ， 2 P 0.050 0.010 0.001 （K2≥k） k 3.841 6.635 10.828 ，则C的方程为 18．（12分） 记S 为等差数列{a}的前n项和，已知S=－a． A． B． C． D． n n 9 5 （1）若a=4，求{a}的通项公式； 3 n 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 （2）若a>0，求使得S≥a 的n的取值范围． 1 n n 19．（12分） 13．曲线 在点 处的切线方程为___________． 如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB， 1 1 1 1 1 1 AD的中点. 123．[选修4−5：不等式选讲]（10分） 已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1） ； （2） ． （1）证明：MN∥平面C DE； 1 （2）求点C到平面C DE的距离． 1 20．（12分） 已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 21.（12分） 已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切． （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径； （2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分） 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学·参考答案 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴 一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 2cos 3sin110 7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B 为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ． 二、填空题 （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．19．解： 13．y=3x14． 15．−4 16． （1）连结 .因为M，E分别为 的中点，所以 ，且 .又因为N为 三、解答题 17．解： 的中点，所以 . （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 ，因此男顾客对该商场服务满意的概率的 估计值为0.8． 由题设知 ，可得 ，故 ，因此四边形MNDE为平行四边形， . 女顾客中对该商场服务满意的比率为 ，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6． 又 平面 ，所以MN∥平面 . （2）过C作C E的垂线，垂足为H. 1 （2） ． 由已知可得 ， ，所以DE⊥平面 ，故DE⊥CH. 由于 ，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 从而CH⊥平面 ，故CH的长即为C到平面 的距离， 18．解： （1）设 的公差为d． 由已知可得CE=1，C C=4，所以 ，故 . 1 由 得 ． 从而点C到平面 的距离为 . 由a=4得 ． 3 于是 ． 因此 的通项公式为 ． （2）由（1）得 ，故 . 由 知 ，故 等价于 ，解得1≤n≤10． 所以n的取值范围是 ．20．解： （2）存在定点 ，使得 为定值. （1）设 ，则 . 理由如下： 设 ，由已知得 的半径为 . 当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调 由于 ，故可得 ，化简得M的轨迹方程为 . 递减. 因为曲线 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，所以 . 又 ，故 在 存在唯一零点. 因为 ，所以存在满足条件的定点P. 所以 在 存在唯一零点. （2）由题设知 ，可得a≤0. 22．解：（1）因为 ，且 ，所以 C 的直角坐标方程为 由（1）知， 在 只有一个零点，设为 ，且当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减. . 又 ，所以，当 时， . 的直角坐标方程为 . 又当 时，ax≤0，故 . （2）由（1）可设C的参数方程为 （ 为参数， ）. 因此，a的取值范围是 . 21．解：（1）因为 过点 ，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线 上，且 关 C上的点到 的距离为 . 于坐标原点O对称，所以M在直线 上，故可设 . 当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 . 因为 与直线x+2=0相切，所以 的半径为 . 23．解：（1）因为 ，又 ，故有 由已知得 ，又 ，故可得 ，解得 或 . . 故 的半径 或 .选择填空解析 所以 . （2）因为 为正数且 ，故有 1. 设 ，则 （ ） A. B. C. =24. D. 所以 . 答案： C 解析： 因为 所以 2. 已知集合 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： ， ，则 ，又 ，则 ，故选C. 3.已知 ， ， ，则（ ） A. B.C. 即 ， ，将 代入可得 D. 答案： 所以 ，故选B. B 方法二： 解答： 由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度 可估值为头顶至咽 由对数函数的图像可知： ；再有指数函数的图像可知： ， ，于是 喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 （ 称为黄金分割比 可得到： . 例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为 ；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ 称 肚脐的长度为 ，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 可计算出肚脐至足底的长度约为 为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度 ；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为 ，与答案 更为接近，故选 B. 之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则 其身高可能是（ ） 5. 函数 在 的图像大致为（ ） A. B. A. B. C. D. 答案： B 解析： C. 方法一： 设头顶处为点 ，咽喉处为点 ，脖子下端处为点 ，肚脐处为点 ，腿根处为点 ，足底处为 ， ， ， 根据题意可知 ,故 ；又 ， ，故 ； D. 所以身高 ，将 代入可得 . 根据腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 可得 ， ；答案： D. D 解答： 答案： D ∵ ， 解析： 因为 ∴ 为奇函数，排除A. 化简可得 又 ，排除C， 8. 已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ） A. ，排除B，故选D. B. 6.某学校为了解 名新生的身体素质，将这些学生编号为 ，从这些新生中用系统抽样方法等 距抽取 名学生进行体质测验，若 号学生被抽到，则下面 名学生中被抽到的是（ ）. C. A. 号学生 D. B. 号学生 答案： C. 号学生 B 解答： D. 号学生 ， 且 ， ， 有 ， 设 与 的 夹 角 为 ， 则 有 答案： C 解答： ， 即 ， ， ， ， 从 名 学 生 中 抽 取 名 ， 每 人 抽 一 个 ， 号 学 生 被 抽 到 ， 则 抽 取 的 号 数 就 为 ，故 与 的夹角为 ，选 . ，可得出 号学生被抽到. 7. （ ） A. 9. 右图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ） B. C.10.双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 答案： D 解答： A. 根据题意可知 ，所以 ， 离心率 . B. 11. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 （ C. ） A. D. B. C. 答案： D. A 答案： 解答： A 把选项代入模拟运行很容易得出结论 解答： 由正弦定理可得到： ，即 ， 选项A代入运算可得 ，满足条件， 又由余弦定理可得到： ，于是可得到 选项B代入运算可得 ,不符合条件， 12. 已知椭圆 的焦点坐标为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点，若 ， ，则 的方程为（ ） 选项C代入运算可得 ,不符合条件， A. 选项D代入运算可得 ,不符合条件. B.C. 解析： D. ， 答案： 设等比数列公比为 B 解答： ∴ 由 ， ， 设 ， 则 ， ， 根 据 椭 圆 的 定 义 ∴ ，所以 ，因此点 即为椭圆的下顶点，因为 ， 所以点 坐标为 ，将坐标代入椭圆方程得 ，解得 所以 ，故答案选B. 15．函数 的最小值为___________． 答案： 解答： ， 因为 ，知当 时 取最小值， 13.曲线 在点 处的切线方程为 . 答案： 则 的最小值为 ． 16.已知 ， 为平面 外一点， ，点 到 两边 的距离均为 ，那么 解答： ∵ ， 到平面 的距离为 . 答案： ∴结合导数的几何意义曲线在点 处的切线方程的斜率 ， ∴切线方程为 . 解答： 如图，过 点做平面 的垂线段，垂足为 ，则 的长度即为所求，再做 ，由线面 14. 记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 . 的垂直判定及性质定理可得出 ，在 中，由 ，可得出 ， 答案：同 理 在 中 可 得 出 ， 结 合 ， 可 得 出 ， ，