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8．（5分）（2008•广东）命题“若函数f（x）=log x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数，则log 2＜0”的逆
2008年广东省高考数学试卷（文科） a a
否命题是（ ）
A．若log 2≥0，则函数f（x）=log x（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数
a a
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） B．若log 2＜0，则函数f（x）=log x（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数
a a
1．（5分）（2008•广东）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北 C．若log 2≥0，则函数f（x）=log x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数
a a
京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}．集合C={参加北京奥运会比赛的女运动 D．若log 2＜0，则函数f（x）=log x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数
a a
员}，则下列关系正确的是（ ）
A．A BB．B CC．A∩B=C D．B∪C=A 9．（5分）（2008•广东）设a R，若函数y=ex+ax，x R，有大于零的极值点，则（ ）
⊆ ⊆
A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．
∈
D．
∈
2．（5分）（2008•广东）已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是（ ）
A．（1，5）B．（1，3） C． D．
10．（5分）（2008•广东）设a，b R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（ ）
3．（5分）（2008•广东）已知平面向量 =（1，2）， =（﹣2，m），且 ∥ ，则 =（ ） A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0D．b+a＞0
∈
A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）
4．（5分）（2008•广东）记等差数列的前n项和为S ，若S =4，S =20，则该数列的公差d=（ ） 二、填空题（共5小题，11--13为必做题，14--15题选做1题，每小题5分，满分20分）
n 2 4
A．2 B．3 C．6 D．7 11．（5分）（2008•广东）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数
量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图
5．（5分）（2008•广东）已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x R，则f（x）是（ ） 如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是 ．
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为 的奇函数
∈
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为 的偶函数
6．（5分）（2008•广东）经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（ ）
A．x+y+1=0 B．x+y﹣1=0C．x﹣y+1=0D．x﹣y﹣1=0
7．（5分）（2008•广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何
体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
12．（5分）（2008•广东）若变量x，y满足 ，则z=3x+2y的最大值是 ．
13．（5分）（2008•广东）阅读程序框图，若输入m=4，n=3，则输出a= ，i= ．
（注：框图中的赋值符号“=”，也可以写成“←”或“：=”）
A． B． C． D．（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= ）
18．（14分）（2008•广东）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中
BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD．
（1）求线段PD的长；
（2）若 ，求三棱锥P﹣ABC的体积．
14．（5分）（2008•广东）已知曲线C ，C 的极坐标方程分别为ρcosθ=3，
1 2
，则曲线C 与C 交点的极坐标为 ．
1 2
19．（13分）（2008•广东）某中学共有学生2000人，各年级男，女生人数如下表：
15．（2008•广东）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1， 一年级 二年级 三年级
女生 373 x y
则圆O的半径R= ．
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．
（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．
20．（14分）（2008•广东）设b＞0，椭圆方程为 ，抛物线方程为x2=8（y﹣b）．如图所示，过点
F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点
F ．
三、解答题（共6小题，满分80分） 1
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
16．（13分）（2008•广东）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x R的最大值是1，其图象经
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若
过点 ． ∈ 存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知 ，且 ， ，求f（α﹣β）的值．
17．（12分）（2008•广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000
平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？H
A
G
A
B C B C B B B B
21．（14分）（2008•广东）设数列{a n }满足a 1 =1，a 2 =2，a n = （a n﹣1 +2a n﹣2 ）（n=3，4，…）．数列{b n }满足 I 侧视
b 1 =1，b n （n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有﹣1≤b m +b m+1 +…+b m+k ≤1． E D E D E E E E
（1）求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式；
F F A． B． C． D
（2）记c =na b （n=1，2，…），求数列{c }的前n项和S ． ．
n n n n n 图1 图2
【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.
6．已知命题 所有有理数都是实数，命题 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）
A． B． C． D．
【解析】不难判断命题 为真命题，命题 为假命题，从而上述叙述中只有
1．已知 ，复数 的实部为 ，虚部为1，则 的取值范围是（ C ） 为真命题
A． B． C． D． 7．设 ，若函数 ， 有大于零的极值点，则（ B ）
【解析】 ，而 ，即 ，
A． B． C． D．
【解析】 ，若函数在 上有大于零的极值点，即 有正根。当有
2．记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ D ）
A．16 B．24 C．36 D．48
成立时,显然有 ,此时 ，由 我们马上就能得到参数 的范围为
【解析】 ， ，故
.
3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知 一年级 二年级 三年级 在 全 校
学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用 女生 373 分层抽样 8．在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线与 交于点 ．若
男生 377 370
的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人 数 为 （ ， ，则 （ B ）
C ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
A． B． C． D．
【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是 ，即总体中各个年级的
【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出 ,然后利用向量的加减法则易得答案
人数比例为 ，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
B.
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~12题）
开始
4．若变量 满足 则 的最大值是（ C ） 9．阅读图3的程序框图，若输入 ， ，则输出 ，
输入
（注：框图中的赋值符号“ ”也可以写成“ ”或“ ”）
A．90 B．80 C．70 D．40 【解析】要结束程序的运算，就必须通过 整除 的条件运算，
i 1
【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C. 而同时 也整除 ，那么 的最小值应为 和 的最小公倍
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示 分别是 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体 数12，即此时有 。
按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ） 10．已知 （ 是正整数）的展开式中， 的系数小于120， a mi
i i1
则 ．
n整除a?
否
是
输出
结束
图3【解析】 按二项式定理展开的通项为 ，
【 解 析 】 依 题 意 ， 我 们 知 道 , 由 相 似 三 角 形 的 性 质 我 们 有 , 即
我们知道 的系数为 ，即 ，也即 ，
。
而 是正整数，故 只能取1。
11．经过圆 的圆心 ，且与直线 垂直的直线 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
方程是 ．
已知函数 ， 的最大值是1，其图像经过点 ．
【解析】易知点C为 ，而直线与 垂直，我们设待求的
直线的方程为 ，将点C的坐标代入马上就能求出参数 的
（1）求 的解析式；（2）已知 ，且 ， ，求 的值．
值为 ，故待求的直线的方程为 。
【解析】（1）依题意有 ，则 ，将点 代入得 ，而 ，
12．已知函数 ， ，则 的最小正周期是 ．
， ，故 ；
【解析】 ,此时可得函数的最小正周期 。
（2）依题意有 ，而 ， ，
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13 ． （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 已 知 曲 线 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 ，
。
17．（本小题满分13分）
，则曲线 与 交点的极坐标为 ．
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．
已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品
的利润（单位：万元）为 ．
【解析】我们通过联立解方程组 解得 ,即两曲线的交点为 。
（1）求 的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即 的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一等品率提高为 ．如果此时要求1件产
14．（不等式选讲选做题）已知 ，若关于 的方程 有实根，则 的取值范围是
品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【解析】 的所有可能取值有6，2，1，-2； ，
．
【解析】方程即 ,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数 的取 ，
故 的分布列为：
值范围为
6 2 1 -2
0.63 0.25 0.1 0.02
15．（几何证明选讲选做题）已知 是圆 的切线，切点为 ， ． 是圆 的直径， 与圆 交
于点 ， ，则圆 的半径 ． （2）（3）设技术革新后的三等品率为 ，则此时1件产品的平均利润为
【解析】
依题意， ，即 ，解得 所以三等品率最多为
18．（本小题满分14分）
对于 ，
设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 ．如图4所示，过点 作 轴
当 时，函数 在 上是增函数；
的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的切线经过椭圆的右焦点 ．
当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数；
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得 为直角三角形？
对于 ，
若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
y
【解析】（1）由 得 ， F
G 当 时，函数 在 上是减函数；
F
当 得 ， G点的坐标为 ， ， ， 1 x
A O B
当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数。
过点G的切线方程为 即 ，
图4
令 得 ， 点的坐标为 ，由椭圆方程得 点的坐标为 ， 20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥 的底面 是半径为 的圆的内接四边形，其中 是圆的直径，
， ， 垂直底面 ， ， 分别是 上的点，且
即 ，即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；
P
，过点 作 的平行线交 于 ．
（2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 , 以 为直角的 只有一个， E
G
同理 以 为直角的 只有一个。 （1）求 与平面 所成角 的正弦值；（2）证明： 是直角三角形；
若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ， （3）当 时，求 的面积． A D
F
B
C
。
【解析】（1）在 中， ， 图5
关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个，
而PD垂直底面ABCD，
因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。
19．（本小题满分14分）
,
在 中， ,即 为以 为直角的直角三角形。
设 ，函数 ， ， ，试讨论函数 的单调性．
设点 到面 的距离为 ,由 有 ,即
;，
(2) ,而 ,即 , ，
, 是直角三角形；
，即 ，
（3） 时 , ,
②当 时，即方程 有重根， ，
即 ,
即 ，得 ，不妨设 ，由①可知
的面积
， ，
21．（本小题满分12分）
即 ，等式两边同时除以 ，得 ，即
设 为实数， 是方程 的两个实根，数列 满足 ， ，
数列 是以1为公差的等差数列， ,
（ …）．（1）证明： ， ；（2）求数列 的通项公式；
（3）若 ， ，求 的前 项和 ．
综上所述，
【解析】（1）由求根公式，不妨设 ，得
（3）把 ， 代入 ，得 ，解得
，
（2）设 ，则 ，由 得 ，
消去 ，得 ， 是方程 的根，由题意可知，
①当 时，此时方程组 的解记为
即 、 分别是公比为 、 的等比数列，
由等比数列性质可得 , ,
两式相减，得
， ，
