文档内容
A．4 B．3 C．2 D．1
试卷类型：B
绝密★启用前
【解析】C.方法一：由题得 ， ，所以选C.
2011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
方法二：直接作出单位圆 和直线 ，观察得两曲线有两个交点，所以选C.
数学（文科）
3．已知向量 ．若 为实数， ∥ ，则
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 A． B． C．1 D．2
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答
题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角 【解析】B. ，
“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动， 所以选B.
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
4．函数 的定义域是
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作
A． B． C． D．
答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，
【解析】C.由题得 所以选C.
答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
5．不等式 的解集是
参考公式：锥体体积公式 ，其中 为锥体的底面积， 为锥体的高．
A． B． C． D．
线性回归方程 中系数计算公式 ， ，
【解析】D由题得 或 ，则不等式的解集为
样本数据 的标准差， ，
6．已知平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定．若 为 上的动点，点 的
其中 ， 表示样本均值．
坐标为 ，则 的最大值为
是正整数，则 ．
A．3 B．4 C． D．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
【 解 析 】 B 由 题 知 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 D 是 如 图 中 的 梯 形 OABC,
1．设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则
A． B． C． D．
，所以就是求 的最大值，
【解析】A.由题得 所以选A.
2．已知集合 为实数，且 ， 为实数，且 ，则 的元 表示 数形结合观察得当点M在点B的地方时， 才最大。
素个数为图 所 示 的 四 棱 锥 P-ABCD ，
,所以
所以
，所以选择B 选择C.
10．设 是 上的任意实值函数，如下定义两个函数 和 ：对任意 ，
7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线 ； ，则下列等式恒成立的是
的条数共有
A．
A．20 B．15 C．12 D．10
【解析】D正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角 B．
线的条数共有 条
C．
8．设圆 与圆 外切，与直线 相切，则 的圆心轨迹为
D．
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
【解析】B.对A选项
【 解 析 】 A. 设 圆 C 圆 心 C ， 半 径 为 R,A(0,3), 点 C 到 直 线 y=0 的 距 离 为 |CB| ， 由 题 得
，故排除A
,所以圆C的圆心C轨迹是抛物线，所以选A.
对B选项
9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和
，故选B
菱形，则该几何体的体积为
A． B． 对C选项
2 3
C． D．
，故排除C
对D选项
2
正视图 侧视图 ，故排除D
图1 图2
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
2
（一）必做题（9 ~ 13题）
11．已知 是递增的等比数列，若 ， ，则此数列的公比 ．
【解析】2．
【解析】C.由题得该几何体是如 俯视图
图3或
或 （舍去），
∵ 是递增的等比数列，∴
12．设函数 ．若 ，则 ． D C
又因为 ，所以它们的交点坐标为
【解析】
E F
，即 ，
15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形 中， ∥ ，
则 ， ， 分别为 上的点，且 ，
A B
图4
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球 ∥ ，则梯形 与梯形 的面积比为________．
P
时间 （单位：小时）与当天投篮命中率 之间的关系： 【解析】 如图，延长 ，
时间 1 2 3 4 5
∵ ，∴
命中率 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时 D C
∵ ，∴
篮球的投篮命中率为 ．
E F
【解析】0.5;0.53由题得小李这 5天的平均投篮命中率为
∴
A B
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 ， ．
（1）求 的值；
（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）
（2）设 ， ， ，求 的值．
14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 和
【解析】（1）
，它们的交点坐标为___________．
（2） ，即
【解析】 ．
，即
∵ ，
表示椭圆 ， 表示抛物线（2）设 为 中点，延长 到 ，使得 ．证明： 平面 ．
∴ ，
∴
17．（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用 表示编号为 的同学所得成绩，且前
5位同学的成绩如下：
编号 1 2 3 4 5
成绩 70 76 72 70 72
（1）求第6位同学的成绩 ，及这6位同学成绩的标准差 ；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．
【解析】（1） ，解得
标准差
【解析】证明：（1）连接
（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为 ， 且
依题意得 是圆柱底面圆的圆心
则基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种 ∴ 是圆柱底面圆的直径
这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中 ∵ 分别为 , , 的中点
设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中”
∴
则A中的基本事件有 、 、 、 共4种，则
18．（本小题满分13分）
∴ ∥
图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平
移后得到的． 分别为 , , , 的中点， 分别为 , , ∵ ，四边形 是平行四边形
, 的中点．
∴ ∥
（1）证明： 四点共面；
∴ ∥
∴ 四点共面
A A
O O E O D O E （2）延长 到 ，使得 ，连接
C C
1 2 1 2
H H ∵
B B
G G
∴ ，四边形 是平行四边形
A A
C O D O E C O D O E
1 2 1 2
B H B
图5∴ ∥
则当 或 时，
∵ ， ，
当 时，
∴ 面
∴ 面 ， 面
则 在 ， 上单调递增，
∴
在 上单调递减
易知四边形 是正方形，且边长
∵ ，
② 当 时， ， ，则 在 上单调递增
∴
③ 当 时， ，令 ，解得
∴
∵ ，∴
∴
易知 ，四边形 是平行四边形
则当 时，
∴ ∥
当 时，
∴ ，
∴ 平面 ．
则 在 上单调递增，在 上单调递减
19．（本小题满分14分）
设 ，讨论函数 的单调性． 20．（本小题满分14分）
设 ，数列 满足 ， ≥ ．
【解析】解：函数 的定义域为
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数 ， ≤ ．
令
【解析】（1）解：∵
① 当 时， ，令 ，解得 ∴∴ 即证
∵
① 当 时， ，则 是以1为首项，1为公差的等差数列
∴ ，即 ，∴原不等式成立
∴对于一切正整数 ， ≤ ．
② 当 且 时，
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 上，直线 ： 交 轴于点 ．设 是 上一点， 是线段 的垂直平分线
当 时，
上一点，且满足 ．
（1）当点 在 上运动时，求点 的轨迹 的方程；
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列
（2）已知 ，设 是 上动点，求 的最小值，并给出此时点 的坐标；
（3）过点 且不平行于 轴的直线 与轨迹 有且只有两个不同的交点，求直线 的斜率 的取值
∴
范围．
【解析】解：（1）如图所示，连接 ，则
∴
l y
∵ ，
P
M
∴动点 满足 或 在 的负半轴上，设
∴
M
x
① 当 时， ， A O
综上所述 ，化简得 x 2
② 当 在 的负半轴上时，
（2）证明：① 当 时， ；
综上所述，点 的轨迹 的方程为 或
② 当 且 时，
（2）由（1）知 的轨迹是顶点为 ，焦点为原点的抛物线和 的负半轴
要证 ，只需证 ，
① 若 是抛物线上的动点，过 作 于
由于 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有
即证
l
y
H
N
即证
则
H
即证
x
O
N T
H
x 2当 三点共线时， 有最小值
求得此时 的坐标为
② 若 是 的负半轴 上的动点
显然有
综上所述， 的最小值为 3，此时点 的坐标为
l
y
1
l
1
l
1
（3）如图，设抛物线顶点 ，则直线 的斜率
x
AO
T
∵点 在抛物线内部，
∴过点 且不平行于 轴的直线 必与抛物线有两个交点
则直线 与轨迹 的交点个数分以下四种情况讨论：
① 当 时，直线 与轨迹 有且只有两个不同的交点
② 当 时，直线 与轨迹 有且只有三个不同的交点
③ 当 时，直线 与轨迹 有且只有一个交点
④ 当 时，直线 与轨迹 有且只有两个不同的交点
综上所述，直线 的斜率 的取值范围是
