文档内容
试卷类型：B
绝密★启用前
2011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座
位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条
形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅
笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错
涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体体积公式 ，其中 为锥体的底面积， 为锥体的高．
线性回归方程 中系数计算公式 ， ，
样本数据 的标准差， ，
其中 ， 表示样本均值．
是正整数，则 ．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则
A． B． C． D．
【解析】A.由题得 所以选A.
2．已知集合 为实数，且 ， 为实数，且 ，
则 的元素个数为A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】C.方法一：由题得 ， ，所以选C.
方法二：直接作出单位圆 和直线 ，观察得两曲线有两个交点，所以选C.
3．已知向量 ．若 为实数， ∥ ，则
A． B． C．1 D．2
【解析】B. ，
所以选B.
4．函数 的定义域是
A． B． C． D．
【解析】C.由题得 所以选C.
5．不等式 的解集是
A． B． C． D．
【解析】D由题得 或 ，则不等式的解集为
6．已知平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定．若 为 上的动
点，点 的坐标为 ，则 的最大值为
A．3 B．4 C． D．
【 解 析 】 B 由 题 知 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 D 是 如 图 中 的 梯 形 OABC,
，所以就是求
的最大值， 表示 数形结合观察得当点M在点B的地方时，
才最大。,所以 ，所以选择B
7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正
五棱柱对角线的条数共有
A．20 B．15 C．12 D．10
【解析】D正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个
正五棱柱对角线的条数共有 条
8．设圆 与圆 外切，与直线 相切，则 的圆心轨迹为
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
【解析】A.设圆 C 圆心 C ，半径为 R,A(0,3),点 C 到直线 y=0 的距离为|CB|，由题得
,所以圆C的圆心C轨迹是抛物线，所
以选A.
9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，
等腰三角形和菱形，则该几
何体的体积为
A． B．
2 3
C． D．
2
正视图 侧视图
图1 图2
2
俯视图
图3【 解 析 】 C. 由 题 得 该 几 何 体 是 如 图 所 示 的 四 棱 锥 P-ABCD ，
所以选择C.
10．设 是 上的任意实值函数，如下定义两个函数 和 ：对
任意 ， ； ，则下列等式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【解析】B.对A选项
，故排除A
对B选项
，故选B
对C选项
，故排除C
对D选项
，故排除D
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（9 ~ 13题）
11．已知 是递增的等比数列，若 ， ，则此数列的公比 ．【解析】2．
或
∵ 是递增的等比数列，∴
12．设函数 ．若 ，则 ．
【解析】
，即 ，
则
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5
号每天打篮球时间 （单位：小时）与当天投篮命中率 之间的关系：
时间 1 2 3 4 5
命中率 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月
6号打6小时篮球的投篮命中率为 ．
【解析】0.5;0.53由题得小李这 5天的平均投篮命中率为
（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 和
，它们的交点坐标为___________．
【解析】 ．表示椭圆 ， 表示抛物线
或 （舍去），
D C
又因为 ，所以它们的交点坐标为
E F
15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形 中， ∥ ，
， ， 分别为 上的点，且 ，
A B
图4
∥ ，则梯形 与梯形 的面积比为________．
P
【解析】 如图，延长 ，
∵ ，∴
D C
∵ ，∴
E F
∴
A B
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 ， ．
（1）求 的值；
（2）设 ， ， ，求 的值．
【解析】（1）
（2） ，即，即
∵ ，
∴ ，
∴
17．（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用 表示编号为 的同学所
得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号 1 2 3 4 5
成绩 70 76 72 70 72
（1）求第6位同学的成绩 ，及这6位同学成绩的标准差 ；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．
【解析】（1） ，解得
标准差
（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为 ， 且
则基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
共10种
这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中
设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）
中”
则A中的基本事件有 、 、 、 共4种，则
18．（本小题满分13分）
图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切
面向右水平平移后得到的． 分别为 , , , 的中点， 分
别为 , ,
, 的中点．
（1）证明： 四点共面；
（2）设 为 中点，延长 到 ，使得 ．证明： 平面 ．A A
O O E O D O E
C
1 2
C
1 2
H H
B B
G G
A A
C O D O E C O D O E
2 2
1 B H 1 B
图5
【解析】证明：（1）连接
依题意得 是圆柱底面圆的圆心
∴ 是圆柱底面圆的直径
∵ 分别为 , , 的中点
∴
∴ ∥
∵ ，四边形 是平行四边形∴ ∥
∴ ∥
∴ 四点共面
（2）延长 到 ，使得 ，连接
∵
∴ ，四边形 是平行四边形
∴ ∥
∵ ， ，
∴ 面
∴ 面 ， 面
∴
易知四边形 是正方形，且边长
∵ ，
∴
∴
∴
易知 ，四边形 是平行四边形
∴ ∥
∴ ，
∴ 平面 ．
19．（本小题满分14分）
设 ，讨论函数 的单调性．【解析】解：函数 的定义域为
令
① 当 时， ，令 ，解得
则当 或 时，
当 时，
则 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减
② 当 时， ， ，则 在 上单调递增
③ 当 时， ，令 ，解得
∵ ，∴
则当 时，
当 时，
则 在 上单调递增，在 上单
调递减
20．（本小题满分14分）设 ，数列 满足 ， ≥ ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数 ， ≤ ．
【解析】（1）解：∵
∴
∴
① 当 时， ，则 是以1为首项，1为公差的等差数列
∴ ，即
② 当 且 时，
当 时，
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列
∴
∴
∴
综上所述（2）证明：① 当 时， ；
② 当 且 时，
要证 ，只需证 ，
即证
即证
即证
即证
∵
，∴原不等式成立
∴对于一切正整数 ， ≤ ．
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 上，直线 ： 交 轴于点 ．设 是 上一点， 是线段
的垂直平分线上一点，且满足 ．
（1）当点 在 上运动时，求点 的轨迹 的方程；
（2）已知 ，设 是 上动点，求 的最小值，并给出此时点 的坐标；
（3）过点 且不平行于 轴的直线 与轨迹 有且只有两个不同的交点，求直线 的
斜率 的取值范围．
【解析】解：（1）如图所示，连接 ，则
l y
∵ ，
P
M
∴动点 满足 或 在 的负半轴上，设
M
x
① 当 时， ， A O
，化简得 x 2② 当 在 的负半轴上时，
综上所述，点 的轨迹 的方程为 或
（2）由（1）知 的轨迹是顶点为 ，焦点为原点的抛物线和 的负半轴
① 若 是抛物线上的动点，过 作 于
由于 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有
l y
H
N
则
H
当 三 点 共 线 时 ， 有 最 小 值 O x
N T
H
x 2
求得此时 的坐标为
② 若 是 的负半轴 上的动点
显然有
综上所述， 的最小值为 3，此时点 的坐标为
l
y
1
l
1
l
1
（3）如图，设抛物线顶点 ，则直线 的斜率
x
AO
T
∵点 在抛物线内部，
∴过点 且不平行于 轴的直线 必与抛物线有两个交点
则直线 与轨迹 的交点个数分以下四种情况讨论：
① 当 时，直线 与轨迹 有且只有两个不同的交点
② 当 时，直线 与轨迹 有且只有三个不同的交点
③ 当 时，直线 与轨迹 有且只有一个交点④ 当 时，直线 与轨迹 有且只有两个不同的交点
综上所述，直线 的斜率 的取值范围是
