2010年海南省高考数学试题及答案（文科）_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_海南高考数学08-22_A3word版_答案版

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷） 文科数学 参考公式： 样本数据x ,x x 的标准差 锥体体积公式 1 2 n 1 1 s  (x  x)2 (x  x)2  (x  x)2 V  sh n  1 2  n  3 其中x为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 4 V Sh S 4R2,V  R3 3 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 （1）已知集合A x x 2,xR,B  x| x 4,xZ |，则A B   （A）（0，2） （B）[0，2] （C）|0，2| （D）|0，1，2| （2）a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等于 8 8 16 16 （A） （B） （C） （D） 65 65 65 65 3i （3）已知复数z  ，则︱z︱= (1 3i)2 1 1 (A) （B） （C）1 （D）2 4 2（4）曲线y x2 2x1在点（1,0）处的切线方程为 （A）y  x1 （B）y x1 （C）y 2x2 （D）y 2x2 （5）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为 （A） 6 （B） 5 6 5 （C） （D） 2 2 （6）如图，质点 p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为 p （ 2 ， 2 ），角速度为 0 1，那么点 p到x轴距离d 关于时间t的函数图像大致为(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2（8）如果执行右面的框图，输入 N=5，则输出的数 等于 5 （A） 4 4 （B） 5 6 （C） 5 5 （D） 6 (9) 设 偶 函 数 f(x) 满 足 f(x)=2x-4 (x0 ） ， 则  x f x20  = （ A ）  x x2或x4  （ B ）  x x0或x4  （C）  x x0或x6  （D）  x x2或x2 4  （10）若sina= - ，a是第一象限的角，则 sin(a )= 5 4 7 2 7 2 2 2 （A）- （B） （C） - （D） 10 10 10 10 （11）已知 ABCD 的三个顶点为 A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在 ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是 （A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20） lgx1,0 x10  （12）已知函数f(x)=  1 若a，b，c互不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc的取值范  x6,x0  2 围是 （A）（1，10） （B）(5，6) （C）(10，12) （D）(20，24)第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须 做答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）圆心在原点上与直线x y20相切的圆的方程为 。 （14）设函数 y  f(x)为区间 0,1 上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0 f x1，可以用 随机模拟方法近似计算由曲线 y  f(x)及直线x0，x1，y 0所围成部分的面积S，先产生两 组（每组N 个）区间 0,1 上的均匀随机数x x x 和y y y ，由此得到N个点（x，y）（i=1， 1, 2..... n 1, 2..... n i i 2，…，N）.再数出其中满足yy≤ff((xx)(i 1,2.....N)的点数N ，那么由随机模拟方法可得S的近似值 1i i 1 为___________(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有 可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱(16)在△ABC 中，D 为 BC 边上一点， BC 3BD,AD 2,ADB 135.若 AC  2AB，则 BD=________ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 设等差数列 a  满足a 5，a 9。 n 3 10 （Ⅰ）求 a  的通项公式； n （Ⅱ）求 a  的前n项和S 及使得S 最大的序号n的值。 n n n（18）（本小题满分12分） 如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形， AB∥CD,AC  BD,垂足为H ，PH 是四棱锥 的高。 （Ⅰ）证明：平面PAC  平面PBD；（Ⅱ）若AB  6 ,APBADB60°,求四棱锥PABCD的体积。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （19）（本小题满分12分） 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500位 老人，结果如下： （Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （Ⅱ）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供 帮助的老年人的比例？说明理由。（Ⅱ）BC2=BE x CD。 （20）（本小题满分12分） y2 设 , 分别是椭圆E：x2+ =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过 的直线l与E相交于A、B两 F 1 F 2 b2 F 1 点，且 AF ， AB ， BF 成等差数列。 2 2 （Ⅰ）求 AB （Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值。 （21）本小题满分12分） 设函数 f  x  ex 1  ax2 x 1 （Ⅰ）若a= ，求 f 的单调区间； x 2 （Ⅱ）若当x≥0时 f ≥0，求a的取值范围 x （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图：已知圆上的弧AC  BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于 E点，证明： （Ⅰ）ACE=BCD。（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 x 1tcos x cos 已知直线C： （t为参数），C ： （为参数）， 1 y tsin 2 y sin  （Ⅰ）当= 时，求C 与C 的交点坐标； 3 1 2 （Ⅱ）过坐标原点O做C 的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它 1 是什么曲线。（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数f(x)= 2x4 + 1。 （Ⅰ）画出函数y= f(x)的图像： （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求n的取值范围2010 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 最符合题目要求的。 （1）D (2) C (3) B (4) A (5) D (6) C (7) B (8) D (9) B (10) A (11)B (12)C 二：填空题：本大题共4小题，每小题五分，共20分。 N （13）x2+y2=2 (14) 1 (15)①②③⑤ (16)2+ 5 N 三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）解： （Ⅰ）由a = a +（n-1）d及a =5，a =-9得 n 1 3 10 a 2d5 { 1 a 9d9 1 a 9 { 1 解得 d2 数列{a }的通项公式为a =11-2n。 ……..6分 n n n(n1) （Ⅱ）由（Ⅰ）知S =na + d=10n-n2。 n 1 2 因为S =-(n-5)2+25. n 所以当n=5时，S 取得最大值。 ……12分 n (18)解： （Ⅰ）因为PH是四棱锥P-ABCD的高。 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平面PBD内,且PHBD=H. 所以AC平面PBD. 故平面PAC平面PBD. ……..6分 （Ⅱ）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD,ACBD,AB= 6. 所以HA=HB= 3. 因为APB=ADB=600 所以PA=PB= 6,HD=HC=1. 可得PH= 3. 1 等腰梯形ABCD的面积为S= AC x BD = 2+ 3. ……..9分 21 32 3 2 所以四棱锥的体积为V= x（2+ 3）x 3= ……..12分 解得 b . 3 3 2 （19）解： （Ⅰ）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老 70 （21）解： 年人的比例的估计值为 14%. ……4分 500 1 1 （Ⅰ）a 时， f(x) x(ex 1) x2， f '(x)ex 1xex x(ex 1)(x1)。 2 2 500(4027030160)2 （Ⅱ） k2  9.967 20030070430 当 x,1 时 f '(x);当 x1,0 时， f '(x)0;当 x0,时， f '(x)0。故 f(x)在 由于9.9676.635，所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ,1 ， 0, 单调增加，在（-1，0）单调减少。 …………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出 （Ⅱ） f(x) x(xexa-1-1ax）ax。) 令g(x)xx（a e1x-1-aaxx），则g'(x)ex a。 该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老 年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法 若a1，则当x0, 时，g'(x)，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x≥0时g(x)≥0，即 更好. ……12分 （20）解： f(x)≥0. （Ⅰ）由椭圆定义知F +F  2 2 若a，则当x0,lna 时，g'(x)，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x0,lna 时g(x)＜  又2AB=AF F 得AB    0，即 f(x)＜0. （Ⅱ）L的方程式为y=x+c，其中c 1b2 综合得a的取值范围为 ,1 设A（x，y），B（x，y），则A，B 两点坐标满足方程组 1 1 2 2 y=x+c y2 x2 1 b2 （22）解: （Ⅰ）因为 = , 所以BCDABC . 化简得(1b2)x2 2cx12b2 0. 又因为EC与圆相切于点C，故ACE ABC 所以ACE BCD. ……5分 2c 12b2 则x x  ,x x  . （Ⅱ）因为ECBCDB,EBC BCD, 1 2 1b2 1 2 1b2 BC CD 所以∆BDC∽∆ECB，故  . BE BC 因为直线AB的斜率为1，所以 x x  2 1 即 BC2  BECD. ……10分 4 即  2x x  . 3 2 1 （23）解： 8 4(1b2) 4(12b2) 8b4 则 (x x )24x x    9 1 2 1 2 (1b2)2 1b2 1b2  （I）当 时，C 的普通方程为y  3(x1)，C 的普通方程为x2  y2 1. 1 2 3 y 3(x1), 1 3 联立方程组 解得C 与C 的交点为（1,0），( , ) xx2y21, 1 2 2 2 （II）C 的普通方程为xsin ycossin 0 . 1 A点坐标为(sin2a,cosasina)，故当a变化时，P点轨迹的参数方程为  x 1 sin2a  2 （a为参数） 1 y sinacosa 2 1 1 P点轨迹的普通方程为(x )2  y2  4 16 1 1 故P点轨迹是圆心为( ,0)，半径为 的圆 4 4 （24）解：  2x5,x （ Ⅰ ） 由 于 f = 则 函 数 y  f 的 图 像 如 图 所 示 。 x 2x3,x2. x ……5分 1 （Ⅱ）由函数 y  f 与函数 y ax 的图像可知，当且仅当aa≥2 或a2时，函数 y  f 与函数 x 2 x 1  y ax 的图像有交点。故不等式 f x ax的解集非空时，a的取2值范围为 ,2  2 ,   。 ……10分