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2011 年普通高等学校招生全国统一考试
（新课标）文科数学
9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点， ，P为C的准线上
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 一点，则 的面积为
1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M ，则P的子集共有 A．18 B．24 C． 36 D． 48
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 10．在下列区间中，函数 的零点所在的区间为
2．复数
A． B． C． D．
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是
11．设函数 ，则
A． B． C． D ．
A． 在 单调递增，其图象关于直线 对称
B． 在 单调递增，其图象关于直线 对称
4．椭圆 的离心率为 C． 在 单调递减，其图象关于直线 对称
D． 在 单调递减，其图象关于直线 对称
A． B． C． D．
12．已知函数 的周期为2，当 时 ，那么函数 的图象与函数 的
5．执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 图象的交点共有
A．120 B．720 C． 1440 D．5040 A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位
第Ⅱ卷
同学参加同一个兴趣小组的概率为
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题
A． B． C． D．
为选考题，考生根据要求做答．
7．已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线 上 ， 则 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_____________．
=
14．若变量x，y满足约束条件 ，则 的最小值是_________．
A． B． C． D．
8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧 15． 中， ，则 的面积为_________．
视图可以为
16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面
面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．
A． B． C． D． 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）（I）求圆C的方程；
已知等比数列 中， ，公比 ．
（II）若圆C与直线 交于A，B两点，且 求a的值．
（I） 为 的前n项和，证明：
（II）设 ，求数列 的通项公式．
18．（本小题满分12分） 21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中，底面 ABCD 为平行四边形， ， ， 底面
已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
ABCD．
（I）证明： ； （I）求a，b的值；
（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．
（II）证明：当x>0，且 时， ．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答
题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
19．（本小题满分12分） 如图，D，E分别为 的边AB，AC上的点，且不与 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102的产品 为n，AD，AB的长是关于x的方程 的两个根．
为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品
的质量指标值，得到时下面试验结果： （I）证明：C，B，D，E四点共圆；
A配方的频数分布表 （II）若 ，且 求C，B，D，E所在圆的半径．
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 为参数），M为 上的动点，P点满足
，点P的轨迹为曲线 ．
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
（I）求 的方程；
（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 的异于极点的交点为A，与
的异于极点的交点为B，求|AB|．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线 与坐标轴的交点都在圆C上．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
可设 ,
设函数 ，其中 ．
则
（I）当a=1时，求不等式 的解集．
（II）若不等式 的解集为｛x| ，求a的值．
参考答案
一、选择题
（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A
（7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A
二、填空题
输出720.故选B
（13）1 （14）-6 （15） （16） 6.解析：本题考查古典概型，属于容易题。设三个兴趣小组分别为A,B,C.
1．解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。显然P= ，子集数为22=4 他们参加情况共一下9种情况，其中参加同一小组情况共3中，故概率为 故选A。
故选B
7.解析：本题考查三角公式，属于容易题。
2．解析：本题考查复数的运算，属容易题。
易知tan =2，cos = .由cos2 =2 -1= 3
解法一：直接法 5i ，故选C 5 故选B
12i
8.解析：本题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。属于难题。
解法二：验证法 验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案。
由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，由此可选D
3．
解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题 9.解析：本题考查抛物线的方程，属于中等题。
易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C。
可以直接判断：A是奇函数，B是偶函数，又是0,的增函数，故选B。
10.解析：本题考查零点存在定理，属于中等题。只需验证端点值，凡端点值异号就是答案。故选C。
11. 解析：本题考查三角函数的性质。属于中等题。
4．解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求 e= ,故选 D。也可以用公式
π π
解法一：f(x)= sin(2x+ )= cos2x.所以f(x) 在（0， ）单调递减，其图像关于直线x = 对称。故选
2 2
D。
π
解法二：直接验证 由选项知（0， ）不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端点值，知递减，
2
故选D。
显然x = π 故选D。
不会是对称轴
4
5.解析：本题考查程序框图，属于容易题。12.解析：本题考查函数的图象和性质，属于难题。 （Ⅱ）
本题可用图像法解。易知共10个交点
所以 的通项公式为
(18)解：
13. 解析：本题考查向量的基本运算和性质，属于容易题。
（Ⅰ）因为 ， 由余弦定理 得
解法一：直接法 (a+b)(ka-b)=0展开易得k=1.
解法二：凭经验 k=1时a+b, a-b数量积为0，易知k=1.
14.解析：本题考查线性规划的基本知识，属于容易题。只需画出线性区域即可。
易得z=x+2y的最小值为-6。
15.解析：本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。 从而BD2+AD2= AB2，故BD AD
有余弦定理得 又PD 底面ABCD，可得BD PD
所以BD 平面PAD. 故 PA BD
所以BC=3，有面积公式得S=
（Ⅱ）如图，作DE PB，垂足为E。已知PD 底面ABCD，则PD BC。由（Ⅰ）知BD AD，又
16.解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目。 BC//AD，所以BC BD。
3 故BC 平面PBD，BC DE。
由圆锥底面面积是这个球面面积的
16
则DE 平面PBC。
由题设知，PD=1，则BD= ，PB=2，
得 所以 ，则小圆锥的高为 大圆锥的高为 ，所以比值为
根据BE·PB=PD·BD，得DE= ，
三、解答题 即棱锥D—PBC的高为
（17）解：
（19）解
（Ⅰ）因为
（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为 ，所以用A配方生产的产品的优质
品率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为 ，所以用B配方生产的产品的优质品率
的估计值为0.42
所以（Ⅱ）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量
（Ⅰ）
指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B配方生产的产品平均一件的利润为
（元）
由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即
(20）解：
（Ⅰ）曲线 与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（
故可设C的圆心为（3，t），则有 解得t=1.
解得 ， 。
则圆C的半径为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以
所以圆C的方程为
（Ⅱ）设A（ ），B（ ），其坐标满足方程组：
考虑函数 ，则
消去y，得到方程
由已知可得，判别式
所以当 时， 故
因此， 从而
当 时，
①
当 时，
由于OA⊥OB，可得
从而当
又 所以
（22）解：
②
（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
由①，②得 ，满足 故 AD×AB=mn=AE×AC，
（21）解：
即 .又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB所以C，B，D，E四点共圆。 故不等式 的解集为
（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x=2，x=12.
1 2 或 。
故 AD=2，AB=12.
(Ⅱ) 由 得
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，
D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
此不等式化为不等式组
由于∠A=900，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.
或 即
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
（23）解：
（I）设P(x，y)，则由条件知M( ).由于M点在C 上，所以
1
因为 ，所以不等式组的解集为 ，由题设可得 = ，故 .
即
从而 的参数方程为
（ 为参数）
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 。
射线 与 的交点 的极径为 ，
射线 与 的交点 的极径为 。
所以 .
（24）解：
（Ⅰ）当 时， 可化为
。
由此可得 或 。
