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2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
8．对任意两个非零的平面向量 ，定义 ．若平面向量 满足 ， 与 的夹角
数学（理科 A 卷）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． ，且 和 都在集合 中，则
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
A． B． C． D．
1．设i为虚数单位，则复数
二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．
A． B． C． D．
（一）必做题（9～13题）
9．不等式 的解集为___________．
2．设集合 ， 则
A． B． C． D． 10． 的展开式中 的系数为__________．（用数字作答）
11．已知递增的等差数列 满足 ， ，则 ________．
3．若向量 ， ，则
12．曲线 在点 处的切线方程为__________．
A． B． C． D．
13．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为_______．
4．下列函数中，在区间 上为增函数的是
A． B C． D．
5．已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值为
A．12 B．11 C．3 D．-1
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中 中，曲线 和曲线 的
A． B． C． D．
参数方程分别为 （ 为参数）和 （ 为参数），则曲线 和曲线 的交点坐标为
7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是
A
．
A． B． C． D．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆 的半径为1，A，B，C是圆上三点，且满足 ，过点A做圆 的
切线与OC的延长线交与点P，则PA= ． P
O
C
B（2）若 ， ，求二面角 的正切值．
图3
19．（本小题满分14分）
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 设数列 的前 项和为 ，满足 ， ，且 成等差数列．
16．（本小题满分12分）
（1）求 的值；
已知函数 （其中 ）的最小正周期为 ．
（2）求数列 的通项公式；
（1） 求 的值；
（2） 设 ，求 的值．
（3）证明：对一切正整数 ，有 ．
（纯word版2011年高考数学广东卷首发于数学驿站：www．maths168．com）
17．（本小题满分13分）
20．（本小题满分14分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: 的离心率 ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的
[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100],
(1)求图中x的值;
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为 ，求 的数学期 距离的最大值为3．
（1） 求椭圆C的方程
望．
（2） 在椭圆C上，是否存在点 ，使得直线 与圆 相交于不同的两点A、B，且
的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的 的面积；若不存在，请说明理由．
）
21．（本小题满分14分）
18．（本小题满分13分）
设 ，集合 ， ．
如图5所示，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ，点 在线段 上， 平面
．
（1） 求集合D（用区间表示）；
（1）证明： 平面 ；（2） 求函数 在D内的极值点．
∴
18.
（1）∵
∴
∵
2012 广东高考数学（理科）参考答案
∴
选择题答案：1-8： DCAAB CDC
∴
填空题答案：
9. 10. 20 11. 12. （2）设AC与BD交点为O，连
∵
13. 8 14. 15.
∴
又∵
解答题
16.
∴
（1）
∴
（2）代入得 ∴
∴ 为二面角 的平面角
∵
∴
∵ ∴
∴
∴
∴ 在 ，
17.
（1）由 得
∴
（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人
∴ 二面角 的平面角的正切值为3
随机变量 的可能取值有0,1,2
19.
（1）在 中
令 得：
令 得：解得： ，
又
………
解得
（2）由
累乘得：
得
∴
又 也满足
20.
所以 成立
（1）由 得 ，椭圆方程为
∴
椭圆上的点到点Q的距离
∴
∴
当① 即 , 得
（3）
（法一）∵ 当② 即 , 得 （舍）
∴
∴
∴ 椭圆方程为
（2）
∴
当 ， 取最大值 ，
（法二）∵
点O到直线 距离
∴
∴
当 时， 又∵
解得：
所以点M的坐标为的面积为
21.
（1）记
① 当 ，即 ，
② 当 ，
③ 当 ，
（2）由 得
① 当 ，
② 当 ，∵
∴
∴
③ 当 ，则
又∵
∴
