文档内容
2015 年湖南省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分
1．（5分）（2015•湖南）已知 =1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A B”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
⊆
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=
（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件 ，则z=3x﹣y的最小值为
（ ）
A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2
5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（ ）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
6．（5分）（2015•湖南）已知（ ﹣ ）5的展开式中含x 的项的系数为30，则a=（
）
A． B．﹣ C．6 D．﹣6
7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分
（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附“若X﹣N=（μ，a2），则
P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．
p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标
为（2，0），则| |的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜ ）个单位后
得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x ）﹣g（x ）|=2的x 、x ，有|x ﹣x | = ，则φ=
1 2 1 2 1 2min
（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）（2015•湖南） 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个
体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材
料的利用率为（材料利用率= ）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分
11．（5分）（2015•湖南） （x﹣1）dx= ．
12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35
名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．
若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统
抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151
上的运动员人数是 ．
]
13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C： ﹣ =1的一个焦点．若C上存在点P，
使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 ．
14．（5分）（2015•湖南）设S 为等比数列{a }的前n项和，若a =1，且3S ，2S ，S 成
n n 1 1 2 3
等差数列，则a = ．
n
15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）= 若存在实数b，使函数g（x）=f
（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是 ．
三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则
按前两题计分选修4-1：几何证明选讲
16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是
M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明：
（1）∠MEN+∠NOM=180°
（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程
17．（6分）（2015•湖南）已知直线l： （t为参数）．以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5， ），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
选修4-5：不等式选讲
18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b= + ．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．
19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝
角．
（Ⅰ）证明：B﹣A= ；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽
奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1
个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若
没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布
列和数学期望．
21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A B C D 的上、下底面分别是边长为3和6
1 1 1 1
的正方形，AA
1
=6，且AA 1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD
1
、BC上．
（1）若P是DD
1
的中点，证明：AB 1⊥PQ；
（2）若PQ∥平面ABB
1
A
1
，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为 ，求四面体ADPQ的体积．
22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C ：x2=4y的焦点F也是椭圆C ： + =1（a＞
1 2
b＞0）的一个焦点．C 与C 的公共弦长为2 ．
1 2
（Ⅰ）求C 的方程；
2
（Ⅱ）过点F的直线l与C 相交于A、B两点，与C 相交于C、D两点，且 与 同向．
1 2（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；
（ⅱ）设C 在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是
1
钝角三角形．
23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=eaxsinx（x [0，+∞ ）．记x 为f
n
（x）的从小到大的第n（n N*）个极值点．证明：
∈ ]
（Ⅰ）数列{f（x ）}是等比数列；
n
∈
（Ⅱ）若a≥ ，则对一切n N*，x ＜|f（x ）|恒成立．
n n
∈
答案：
1、
解：∵已知 =1+i（i为虚数单位），∴z= =
=﹣1﹣i，
故选：D．
2、 解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A B”，
“A B”，可得“A∩B=A”．
所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A B⊆”的充要条件．
故选⊆：C．
3、 解：判断前i=1，n=3，s=0， ⊆
第1次循环，S= ，i=2，
第2次循环，S= ，i=3，第3次循环，S= ，i=4，
此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S= =
=
故选：B
4
解：由约束条件 作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立 ，解得C（0，﹣1）．由 解得A（﹣2，1），由
，解得B（1，1）
∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．
故选：A．
5、 解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），
函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x） =﹣f（x），所以
函数是奇函数．
排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出]选项，x=0时，f
（0）=0；
x= 时，f（ ）=ln（1+ ）﹣ln（1﹣ ）=ln3＞1，显然f（0）＜f（ ），函数是增
函数，所以B错误，A正确．
故选：A．
6、 解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
T = = ；
r+1
展开式中含x 的项的系数为30，
∴ ，
∴r=1，并且 ，解得a=﹣6．
故选：D．
7、
解：由题意P（0＜X≤1）= ×0.6826=0.3413，
∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，
故选：C．
8、 解：由题意，AC为直径，所以| |=|2 + |=|4+ |．
所以B为（﹣1，0）时，|4+ |≤7．
所以| |的最大值为7．
故选：B．
9、
解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜ ）个
单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x ）﹣g（x ）|=2的可知，两个函数的
1 2
最大值与最小值的差为2，有|x ﹣x | = ，
1 2min不妨x = ，x = ，即g（x）在x = ，取得最小值，sin（2× ﹣2φ）=﹣
1 2 2
1，此时φ= ，不合题意，
x = ，x = ，即g（x）在x = ，取得最大值，sin（2× ﹣2φ）=1，此时
1 2 2
φ= ，满足题意．
故选：D．
10、 解：根据三视图可判断其为圆锥，
∵底面半径为1，高为2，
∴V= ×2=
∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，
∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，
∴根据轴截面图得出： = ，
解得；n= （1﹣ ），0＜x＜2，
∴长方体的体积Ω=2（1﹣ ）2x，Ω′= x2﹣4x+2，
∵，Ω′= x2﹣4x+2=0，x= ，x=2，
∴可判断（0， ）单调递增，（ ，2）单调递减，
Ω最大值=2（1﹣ ）2× = ，
∴原工件材料的利用率为 = × = ，
故选：A
11、
解： （x﹣1）dx=（ ﹣x）| =0；
故答案为：0．
12、 解：根据茎叶图中的数据，得；
成绩在区间[139，151 上的运动员人数是20，
用系统抽样方法从35人中抽取7人，
成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取
7× =4（人）．
]故答案为：4．
13、 解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），
设PF的中点为M（0，b），
即有m=﹣c，n=2b，
将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，
﹣ =1，
可得e2= =5，
解得e= ．
故答案为： ．
14、 解：设等比数列的公比为q，S 为等比数列{a }的前n项和，
n n
若a =1，且3S ，2S ，S 成等差数列，
1 1 2 3
可得4S =S +3S ，a =1，
2 3 1 1
即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．
∴a =3n﹣1．
n
故答案为：3n﹣1．
15、 解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，
∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交
点，由x3=x2可得，x=0或x=1
①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满
足题意，故a＞1满足题意
②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不
符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合
题意
④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意
⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在
b使得，y=f（x）与y=b有两个交点
综上可得，a＜0或a＞1
故答案为：{a|a＜0或a＞1}
16、 证明：（1）∵N为CD的中点，
∴ON⊥CD，
∵M为AB的中点，
∴OM⊥AB，
在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，
∴O，M，E，N四点共圆，
∴∠MEN+∠NOM=180°
（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，
∴△FEM∽△FON，
∴ =
∴FE•FN=FM•FO．
17、 解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）
2+y2=1；
（2）直线l： （t为参数），普通方程为 ，（5， ）在
直线l上，
过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，
由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．18、 证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，
则a+b= + = ，
由于a+b＞0，则ab=1，
即有a+b≥2 =2，
当且仅当a=b取得等号．
则a+b≥2；
（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．
由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，
由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，
这与ab=1矛盾．
a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．
19、
解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得 = = ，
∴sinB=cosA，即sinB=sin（ +A）
又B为钝角，∴ +A （ ，π），
∴B= +A，∴B﹣A=∈ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+ +A）= ﹣2A＞0，
∴A （0， ），∴sinA+sinC=sinA+sin（ ﹣2A）
=sin
∈
A+cos2A=sinA+1﹣2sin2A
=﹣2（sinA﹣ ）2+ ，
∵A （0， ），∴0＜sinA＜ ，
∴由 ∈ 二次函数可知 ＜﹣2（sinA﹣ ）2+ ≤
∴sinA+sinC的取值范围为（ ，
20、 解：（1）记事件A
1
={从甲箱中摸出]一个球是红球}，事件A
2
={从乙箱中摸出一个球
是红球}，事件B ={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A ={顾客抽奖1次获二等奖}，事
1 2
件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A ，A 相互独立， ， 互斥，B ，
1 2 1
B 互斥，且B =A A ，B = + ，C=B +B ，因为P（A ）= ，P
2 1 1 2 2 1 2 1
（A ）= ，所以，P（B ）=P（A ）P（A ）= = ，P（B ）=P（ ）
2 1 1 2 2
+P（ ）= + =
= ，故所求概率为：P（C）=P（B +B ）=P
1 2
（B ）+P（B ）= ．
1 2
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖
的概率为： 所以．X～B ．于是，P（X=0）= =
，P（X=1）= = ，P（X=2）= =，P（X=3）= = ．
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E（X）=3× = ．
21、 解：根据已知条件知AB，AD，AA 三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，
1
y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A （0，0，6），B （3，0，6），
1 1
D （0，3，6）；
1
Q在棱BC上，设Q（6，y ，0），0≤y ≤6；
1 1
∴（1）证明：若P是DD 的中点，则P ；
1
∴ ， ；
∴ ；
∴ ；
∴AB 1⊥PQ；
（2）设P（0，y ，z ），y ，z [0，6 ，P在棱DD 上；
2 2 2 2 1
∴ ，0≤λ≤1；
∈ ]
∴（0，y ﹣6，z ）=λ（0，﹣3，6）；
2 2
∴ ；
∴z =12﹣2y ；
2 2
∴P（0，y ，12﹣2y ）；
2 2
∴ ；
平面ABB A 的一个法向量为 ；
1 1
∵PQ∥平面ABB A ；
1 1
∴ =6（y ﹣y ）=0；
1 2
∴y =y ；
1 2
∴Q（6，y ，0）；
2
设平面PQD的法向量为 ，则：
；
∴ ，取z=1，则 ；
又平面AQD的一个法向量为 ；
又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为 ；
∴ ；解得y =4，或y =8（舍去）；
2 2
∴P（0，4，4）；
∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且 ；
∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ = ．
22、 解：（Ⅰ）抛物线C ：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C 的一
1 2
个焦点，
∴a2﹣b2=1，①，
又C 与C 的公共弦长为2 ，C 与C 的都关于y轴对称，且C 的方程为x2=4y，
1 2 1 2 1
由此易知C 与C 的公共点的坐标为（± ， ），
1 2
所以 =1，②，
联立①②得a2=9，b2=8，
故C 的方程为 + =1．
2
（Ⅱ）设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），A（x ，y ），
1 1 2 2 3 3 4 4
（ⅰ）因为 与 同向，且|AC|=|BD|，
所以 = ，
从而x ﹣x =x ﹣x ，即x ﹣x =x ﹣x ，于是
3 1 4 2 1 2 3 4
（x +x ）2﹣4x x =（x +x ）2﹣4x x ，③
1 2 1 2 3 4 3 4
设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，
由 ，得x2﹣4kx﹣4=0，而x ，x 是这个方程的两根，
1 2
所以x +x =4k，x x =﹣4，④
1 2 1 2
由 ，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x ，x 是这个方程的两根，
3 4
所以x +x = ，x x =﹣ ，⑤
3 4 3 4
将④⑤代入③，得16（k2+1）= + ，
即16（k2+1）= ，
所以（9+8k2）2=16×9，
解得k=± ．
（ⅱ）由x2=4y得y′= x，
所以C 在点A处的切线方程为y﹣y = x （x﹣x ），
1 1 1 1
即y= x x﹣ x 2，
1 1
令y=0，得x= x ，
1M（ x ，0），
1
所以 =（ x ，﹣1），
1
而 =（x ，y ﹣1），
1 1
于是 • = x 2﹣y +1= x 2+1＞0，
1 1 1
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，
故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
23、 证明：（Ⅰ）f′（x）=eax（asinx+cosx）= •eaxsin（x+φ），
tanφ= ，0＜φ＜ ，
令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m N*，
对k N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，
则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π，mπ﹣φ）和（∈ mπ﹣φ，mπ）上f′（x）符号总相
反．∈
于是当x=nπ﹣φ，n N*，f（x）取得极值，所以x =nπ﹣φ，n N*，
n
此时f（x ）=ea（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1ea（nπ﹣φ）sinφ，
n
∈ ∈
易知f（x ）≠0，而 = =﹣eaπ是
n
常数，
故数列{f（x ）}是首项为f（x ）=ea（π﹣φ）sinφ，公比为﹣eaπ的等比数列；
n 1
（Ⅱ）由sinφ= ，可得对一切n N*，x ＜|f（x ）|恒成立．
n n
∈
即为nπ﹣φ＜ ea（nπ﹣φ）恒成立⇔ ＜ ，①
设g（t）= （t＞0），g′（t）= ，
当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．
t=1时，g（t）取得最小值，且为e．
因此要使①恒成立，只需 ＜g（1）=e，
只需a＞ ，当a= ，tanφ= = ，且0＜φ＜ ，
可得 ＜φ＜ ，于是π﹣φ＜ ＜ ，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞ ＞
，
因此对n N*，ax = ≠1，即有g（ax ）＞g（1）=e= ，
n n
故①亦恒∈成立．
综上可得，若a≥ ，则对一切n N*，x ＜|f（x ）|恒成立．
n n
∈
