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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文科）
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.已知 =1+i（i为虚数单位），则复数z=
2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图 1所
示
若将运动员按成绩由好到差编为 1-35号，再用系统抽样方法从中抽取 7人，
则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是
A.3 B.4 C.5 D.6
3.设x R，则”x>1”是” >1”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若变量x,y满足约束条件 则z=2x-y的最小值为
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3,则输出的S=A. B. C. D.
6.若双曲线 的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为
A. B. C. D.
7.若实数a,b满足 ，则ab的最小值为
A. B.2 C.2 D.4
8.设函数 ，则 是
A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数
C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数
9.已知点 A，B，C 在圆 上运动，且 AB⊥BC，若点 P 的坐标为
（2,0），则 的最大值为
A.6 B.7 C.8 D.9
10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能
大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的
利用率为（材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积）A. B. C. D.
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.已知集合U={1,2,3,4}，A={1，3}，B={1,3,4}，则A （ ）=________
12.在直角坐标系xOyz中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，若
曲线C的极坐标方程为ρ=3sin ，则曲线C的直角坐标方程为______
13.若直线 3x-4y+5=0 与圆 x²+y²=r²（r>0）相交于 A，B两点，且∠AOB=120°
（O为坐标原点），则r=___________.
x
14.若函数f（x）=|2-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是___________
15.已知w>0，在函数y=2sin mx余y=2 cos wx 的图像的交点，距离最短的两个
交点的距离为2 ，则w=________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。接答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
16. （本小题满分12分）
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是：
从袋有2个红球A 、A 和1个白球B的甲箱与装有2个红球a 、a 和2个白球
1 2 1 2
b 、b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不
1 2
中奖。
（I）用球的标号列出所有可能的摸出结果
（II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的
概率，你认为正确吗？请说明理由。
17. （本小题满分12分）
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b tanA.
（Ⅰ）证明：sinB=cosA（Ⅱ）若sinC—sinAcosB= ，且B为钝角，求A，B，C.
18.（本小题满分12分）
如图4，直三棱柱ABC—A B C 的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，
1 1 1
CC 的中点.
1
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B BCC
1 1
（Ⅱ）若直线A C与平面A ABB 所成的角为45°，求三棱锥F—AEC的体积.
1 1 1
19（本小题满分13分）
设数列{a }的前n项和为S ,已知a =1,a 2,且a =3S - S , n .
n n 1 2= n+2 n n+1
（Ⅰ） 证明：a =3 a
n+2 n
（Ⅱ） 求S
n
20.（本小题满分13分）
已知抛物线C ：X2=4y的焦点F也会椭圆 C ： + =1（a>b>0）的一个焦点。C 与C
1 1 1 2
的公共弦的长为2 .过点F的直线l与C 相交于A，B两点，与C 相交于C，D两点，且
1 1
与 同向。
（1） 求C 的方程；
2
（2） 若︱AC︱=︱BD︱，求直线l的斜率。21.（本小题满分13分）
已知a>0，函数f(x)=a (x [0，+ ））。记x 为f(x)的从小到大的第n（n ）个
e
极值点。
（Ⅰ）证明：数列{f(x )}是等比数列；
n
（Ⅱ）若对一切n ，x | f(x )|恒成立，求a的取值范围。
n n
2015 年湖南省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2015•湖南）已知 =1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
考 复数代数形式的乘除运算．
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点：
专 数系的扩充和复数．
题：
分 由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．
析：
解
答： 解：∵已知 =1+i（i为虚数单位），∴z= =
=﹣1﹣i，
故选：D．
点 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
评：
2．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎
叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系数抽样方法从中抽取7
人，则其中成绩在区间[139，151 上的运动员人数是（ ）
]
A．3 B．4 C．5 D．6
考 茎叶图．
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点：
专 概率与统计．
题：
分
对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为
析：
，然后各层按照此比例抽取．
解 解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138 ，[139，151 ，[152，153 ，根据
答：
系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为 ，
] ] ]
所以成绩在区间[139，151 中共有20名运动员，抽取人数为20× =4；
故选B．
]
点 本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明
评： 确抽取比例．
3．（5分）（2015•湖南）设x R，则“x＞1“是“x3＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
∈
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
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点：
专 简易逻辑．
题：
分 利用充要条件的判断方法判断选项即可．
析：
解 解：因为x R，“x＞1“ “x3＞1”，
答： 所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件．
故选：C．∈ ⇔
点 本题考查充要条件的判断，基本知识的考查．
评：
4．（5分）（2015•湖南）若变量x，y满足约束条件 ，则z=2x﹣y的最小值为
（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
考 简单线性规划．
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点：
专 不等式的解法及应用．
题：
分 由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
析：
解
答：
解：由约束条件 作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立 ，解得A（0，1）．
∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．
故选：A．
点 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
评：
5．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=
（ ）A． B． C． D．
考 程序框图．
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点：
分 列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．
析：
解 解：判断前i=1，n=3，s=0，
答：
第1次循环，S= ，i=2，
第2次循环，S= ，i=3，
第3次循环，S= ，i=4，
此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S= =
=
故选：B
点 本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力
评：
6．（5分）（2015•湖南）若双曲线 ﹣ =1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲
线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考 双曲线的简单性质．
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点：
专 圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分 利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即析： 可．
解
答： 解：双曲线 ﹣ =1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣
a2）=16a2，
解得 = ．
故选：D．
点 本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．
评：
7．（5分）（2015•湖南）若实数a，b满足 + = ，则ab的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
考 基本不等式．
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点：
专 计算题；不等式的解法及应用．
题：
分
由 + = ，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式 即可求解ab
析：
的最小值
解
解：∵ + = ，
答：
∴a＞0，b＞0，
∵ （当且仅当b=2a时取等号），
∴ ，
解可得，ab ，即ab的最小值为2 ，
故选：C．
点 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题
评：
8．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（ ）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
考 利用导数研究函数的单调性．
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点：
专 导数的综合应用．
题：
分 求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．
析：
解 解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），
答： 函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x） =﹣f（x），所以
函数是奇函数．
排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出]选项，x=0时，f
（0）=0；
x= 时，f（ ）=ln（1+ ）﹣ln（1﹣ ）=ln3＞1，显然f（0）＜f（ ），函数是增
函数，所以B错误，A正确．故选：A．
点 本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．
评：
9．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标
为（2，0），则| |的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
考 圆的切线方程．
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点：
专 计算题；直线与圆．
题：
分 由题意，AC为直径，所以| |=|2 + |=|4+ |．B为（﹣1，0）时，|4+
析：
|≤7，即可得出结论．
解 解：由题意，AC为直径，所以| |=|2 + |=|4+ |．
答：
所以B为（﹣1，0）时，|4+ |≤7．
所以| |的最大值为7．
故选：B．
点 本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
评：
10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个
体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材
料的利用率为（材料利用率= ）（ ）
A． B． C． D．
考 简单空间图形的三视图．
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点：
专 开放型；空间位置关系与距离．
题：
分 由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的
析： 体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．
解 解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为
答：
3，所以圆锥的高为2 ，圆锥是体积为 ；其内接正方体的棱长为x，则 ，解得x= ，所以正方体的体积为
，
所以原工件材料的利用率为： = ；
故选：A．
点 本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求
评： 法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）（2015•湖南）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪
（ ∁U B）= { 1 ， 2 ， 3 } ．
考 交、并、补集的混合运算．
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点：
专 计算题；集合．
题：
分 首先求出集合B的补集，然后再与集合A取并集．
析：
解 解：集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，
答： 所以
∁U
B={2}，
所以A∪（
∁U
B）={1，2，3}．
故答案为：{1，2，3}．
点 本题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于基础题．
评：
12．（5分）（2015•湖南）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，则曲线C的直角坐标方程为 x 2 + （ y
﹣1 ） 2 =1 ．
考 简单曲线的极坐标方程．
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点：
专 坐标系和参数方程．
题：
分 直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可．
析：
解 解：曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，即ρ2=2ρsnθ，它的直角坐标方程为：
答： x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．
故答案为：x2+（y﹣1）2=1．
点 本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考查．
评：
13．（5分）（2015•湖南）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，
且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r= 2 ．
考 直线与圆相交的性质．
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点：
专 直线与圆．
题：分 若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB
析：
为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d= r，代入
点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．
解 解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，
答： 且∠AOB=120°，
则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos = r，
即 = r，
解得r=2，
故答案为：2．
点 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣
评：
4y+5=0的距离d= r是解答的关键．
14．（5分）（2015•湖南）若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是
0 ＜ b ＜ 2 ．
考 函数的零点．
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点：
专 计算题；函数的性质及应用．
题：
分 由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|
析： 2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围
解 解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，
答： 从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，
结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，
故答案为：0＜b＜2
点 本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方
评： 法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．
15．（5分）（2015•湖南）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距
离最短的两个交点的距离为2 ，则ω= ．考 正弦函数的图象；余弦函数的图象．
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点：
专 开放型；三角函数的图像与性质．
题：
分
根据正弦线，余弦线得出交点（ （k ， ），（ （k ，
析： 1 2
），k ，k 都为整数，
1 2
两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可．
解 解：∵函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点，
答：
∴根据三角函数线可得出交点（ （k ， ），（ （k ，
1 2
），k ，k 都为整数，
1 2
∵距离最短的两个交点的距离为2 ，
∴这两个交点在同一个周期内，
∴12= （ ）2+（ ）2，ω=
故答案为：
点 本题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻
评： 烦．
三、解答题
16．（12分）（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽
奖，抽奖方法是：从装有2个红球A ，A 和1个白球B的甲箱与装有2个红球a ，a 和2
1 2 1 2
个白球b ，b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中
1 2
奖．
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认
为正确吗？请说明理由．
考 相互独立事件的概率乘法公式．
菁优网版权所有点：
专 概率与统计．
题：
分 （Ⅰ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；
析： （Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计
算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．
解 解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：
答： {A ，a }，{A ，a }，{A ，b }，{A ，b }，{A ，a }，{A ，a }，
1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
{A ，b }，{A ，b }，{B，a }，{B，a }，{B，b }，{B，b }；
2 1 2 2 1 2 1 2
（Ⅱ）不正确．理由如下：
由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：
{A ，a }，{A ，a }，{A ，a }，{A ，a }，共4种，
1 1 1 2 2 1 2 2
∴中奖的概率为 ．
不中奖的概率为：1﹣ ．
故这种说法不正确．
点 本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础
评： 题．
17．（12分）（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB= ，且B为钝角，求A，B，C．
考 正弦定理．
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点：
专 解三角形．
题：
分
（Ⅰ）由正弦定理及已知可得 = ，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．
析：
（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB= ，由
（1）sinB=cosA，可得sin2B= ，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求
A，由三角形内角和定理可求C．
解 解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．
答：
∴ =tanA，
∵由正弦定理： ，又tanA= ，
∴ = ，
∵sinA≠0，
∴sinB=cosA．得证．
（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B） =sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB= ，由（1）sinB=cosA，
]
∴sin2B= ，
∵0＜B＜π，∴sinB= ，
∵B为钝角，
∴B= ，
又∵cosA=sinB= ，
∴A= ，
∴C=π﹣A﹣B= ，
综上，A=C= ，B= ．
点 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属
评： 于基础题．
18．（12分）（2015•湖南）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 的底面是边长为2的正三角形，
1 1 1
E，F分别是BC，CC 的中点，
1
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B
1
BCC
1
；
（Ⅱ）若直线A C与平面A ABB 所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．
1 1 1
考 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
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点：
专 空间位置关系与距离．
题：
分 （Ⅰ）证明AE⊥BB
1
，AE⊥BC，BC∩BB
1
=B，推出AE⊥平面B
1
BCC
1
，利用平面余
析： 平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B
1
BCC
1
；
（Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A C与平面A ABB 所成的角为45°，就是
1 1 1
∠CA G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．
1
解 （Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB 1⊥底面ABC，AE 底面ABC，∴AE⊥BB
1
，
答： ∵直三棱柱ABC﹣A B C 的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，
1 1 1
⊂
∴AE⊥BC，BC∩BB
1
=B，∴AE⊥平面B
1
BCC
1
，
∵AE 平面AEF，∴平面AEF⊥平面B
1
BCC
1
；
（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A
1
G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A
1
ABB
1
，
⊂
直线A C与平面A ABB 所成的角为45°，就是∠CA G，则A G=CG= ，
1 1 1 1 1
∴AA = = ，CF= ．
1
三棱锥F﹣AEC的体积： × = = ．点 本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象
评： 能力以及计算能力．
19．（13分）（2015•湖南）设数列{a }的前n项和为S ，已知a =1，a =2，a =3S ﹣
n n 1 2 n+2 n
S +3，n N*，
n+1
（Ⅰ）证明a =3a ；
n+2 n
∈
（Ⅱ）求S ．
n
考 数列递推式；数列的求和．
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点：
专 等差数列与等比数列．
题：
分 （Ⅰ）当n≥2时，通过a =3S ﹣S +3与a =3S ﹣S +3作差，然后验证当n=1
n+2 n n+1 n+1 n﹣1 n
析： 时命题也成立即可；
（Ⅱ）通过（I）写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算
即可．
解 （Ⅰ）证明：当n≥2时，由a =3S ﹣S +3，
n+2 n n+1
答： 可得a =3S ﹣S +3，
n+1 n﹣1 n
两式相减，得a ﹣a =3a ﹣a ，
n+2 n+1 n n+1
∴a =3a ，
n+2 n
当n=1时，有a =3S ﹣S +3=3×1﹣（1+2）+3=3，
3 1 2
∴a =a ，命题也成立，
3 1
综上所述：a =3a ；
n+2 n
（Ⅱ）解：由（I）可得 ，其中k是任意正整数，
∴S =（a +a ）+（a +a ）+…+（a +a ）+a
2k﹣1 1 2 3 4 2k﹣3 2k﹣2 2k﹣1
=3+32+…+3k﹣1+3k﹣1
= +3k﹣1
= ×3k﹣1﹣ ，
S =S +a = ×3k﹣1﹣ +2×3k﹣1= ﹣ ，
2k 2k﹣1 2k综上所述，S = ．
n
点 本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于
评： 中档题．
20．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C ：x2=4y的焦点F也是椭圆C ： + =1（a＞
1 2
b＞0）的一个焦点，C 与C 的公共弦的长为2 ，过点F的直线l与C 相交于A，B两点，
1 2 1
与C 相交于C，D两点，且 与 同向．
2
（Ⅰ）求C 的方程；
2
（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．
考 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
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点：
专 开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分 （Ⅰ）通过C 方程可知a2﹣b2=1，通过C 与C 的公共弦的长为2 且C 与C 的图
1 1 2 1 2
析：
象都关于y轴对称可得 ，计算即得结论；
（Ⅱ）设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），通过 = 可得
1 1 2 2 3 3 4 4
（x +x ）2﹣4x x =（x +x ）2﹣4x x ，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛
1 2 1 2 3 4 3 4
物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．
解 解：（Ⅰ）由C 方程可知F（0，1），
1
答： ∵F也是椭圆C 的一个焦点，∴a2﹣b2=1，
2
又∵C 与C 的公共弦的长为2 ，C 与C 的图象都关于y轴对称，
1 2 1 2
∴易得C 与C 的公共点的坐标为（± ， ），
1 2
∴ ，
又∵a2﹣b2=1，
∴a2=9，b2=8，
∴C 的方程为 + =1；
2
（Ⅱ）如图，设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），
1 1 2 2 3 3 4 4∵ 与 同向，且|AC|=|BD|，
∴ = ，∴x ﹣x =x ﹣x ，
1 2 3 4
∴（x +x ）2﹣4x x =（x +x ）2﹣4x x ，
1 2 1 2 3 4 3 4
设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，
由 ，可得x2﹣4kx﹣4=0，
由韦达定理可得x +x =4k，x x =﹣4，
1 2 1 2
由 ，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，
由韦达定理可得x +x =﹣ ，x x =﹣ ，
3 4 3 4
又∵（x +x ）2﹣4x x =（x +x ）2﹣4x x ，
1 2 1 2 3 4 3 4
∴16（k2+1）= + ，
化简得16（k2+1）= ，
∴（9+8k2）2=16×9，解得k=± ，
即直线l的斜率为± ．
点 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦
评： 达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=aexcosx（x [0，+∞ ），记x 为f
n
（x）的从小到大的第n（n N*）个极值点．
∈ ]
（Ⅰ）证明：数列{f（x ）}是等比数列；
n
∈
（Ⅱ）若对一切n N*，x ≤|f（x ）|恒成立，求a的取值范围．
n n
∈
考 函数恒成立问题；等比关系的确定．
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点：
专 开放型；函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解题： 法及应用．
分 （Ⅰ）求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得
析： 证；
（Ⅱ）由n=1可得a的范围，运用数学归纳法证8n＞4n+3，当a≥ π 时，验
证得|f（x ）|＞x ，即可得到a的范围．
n+1 n+1
解 （Ⅰ）证明：函数f（x）=aexcosx的导数为f′（x）=aex（cosx﹣sinx），
答： a＞0，x≥0，则ex≥1，
由f′（x）=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=kπ+ ，k=0，1，2，…，
当k为奇数时，f′（x）在kπ+ 附近左负右正，
当k为偶数时，f′（x）在kπ+ 附近左正右负．
故x=kπ+ ，k=0，1，2，…，均为极值点，
x =（n﹣1）π+ =nπ﹣ ，
n
f（x ）=a cos（n ），f（x ）=a cos（nπ+ ），
n n+1
当n为偶数时，f（x ）=﹣eπf（x ），
n+1 n
当n为奇数时，f（x ）=﹣eπf（x ），
n+1 n
即有数列{f（x ）}是等比数列；
n
（Ⅱ）解：由于x ≤|f（x ）|，则 ≤ a ，
1 1
解得a≥ π ，
下面证明8n＞4n+3．
当n=1时，8＞7显然成立，假设n=k时，8k＞4k+3，
当n=k+1时，8k+1=8•8k＞8（4k+3）=32k+24
=4（k+1）+28k+20＞4（k+1）+3，
即有n=k+1时，不等式成立．
综上可得8n＞4n+3（n N+），
由eπ＞8，
∈
当a≥ π 时，
由（Ⅰ）可得|f（x ）|=|（﹣eπ）|n|f（x ）|
n+1 1
＞8n|f（x ）|=8nf（x ）＞（4n+3）x ＞x ，n N+，
1 1 1 n+1
综上可得a≥ π 成立． ∈
点 本题考查导数的运用：求极值，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列
评： 的通项公式和数学归纳法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题．
