2015年江西高考理科数学试题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_江西高考数学90-23

2015 年江西高考理科数学试题及答案 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1+z （1） 设复数z满足 =i，则|z|= 1z （A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2 （2）sin20°cos10°-cos160°sin10°= 3 3 1 1 （A） （B） （C） （D） 2 2 2 2 （3）设命题P：nN，n2>2n，则P为 （A）nN, n2>2n （B） nN, n2≤2n （C）nN, n2≤2n （D） nN, n2=2n （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且 各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 x2  （5）已知M（x y ）是双曲线C：  y21 上的一点，F 、F 是C上的两个焦点，若   MF2 0， 0 2 1 2 MF1 ＜0，则y 的取值范围是 0 （A）（- ， ） （B）（- ， ） 3 3 3 3 23 2 32 2 62 36 2 3 （C）（ ， ） （D）（ ， ） 3 3 3 3 （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八 尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)， 米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多 少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）设D为 ABC所在平面内一点 =3 ，则 （A） = + (B) = （C） = + (D) = (8)函数f(x)= 的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为 (A)（ ）,k (b)（ ）,k (C)（ ）,k (D)（ ）,k （9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10） 的展开式中， y²的系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯 视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r= （A）1（B）2（C）4（D）8 12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a 1，若存在唯一的整数x ，使得f（x ） 0，则a的取值范围是（ 0 0 ） A.[- ，1） B. [- ， ） C. [ ， ） D. [ ，1）第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 （22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 （13）若函数f(x)=xln（x+ a x2 ）为偶函数，则a= （14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。 y （15）若x,y满足约束条件 则 的最大值为 . x （16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0， （Ⅰ）求{an}的通项公式： （Ⅱ）设 ,求数列 }的前n项和 （18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面AEC⊥平面AFC （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单 位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8） 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。    x y w  1   1   1   1  （x-x）2 （w-w）2 （ x-x） （ w-w 1 1 1 1 x1 x1 x1 x1   (y-y) ）(y-y) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8  表中w 1 = x 1, ， w =1  1 w1 8 x1 （1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方 x 程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u v ）,（u v ）…….. （u v ）,其回归线v= u的斜率和截距的最小二 1 1 2 2 n n  乘估计分别为： （20）（本小题满分12分） 在直角坐标系xoy中，曲线C：y= x2 与直线y=ks+a(a>0)交与M,N两点， 4 （Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； （Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。 （21）（本小题满分12分） 1 已知函数f（x）=x3ax ,g(x)lnx 4 (Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线； y  f(x) （Ⅱ）用 min m,n 表示m,n中的最小值，设函数 h(x)min  f(x),g(x) (x0) ，讨论h（x）零 点的个数请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所 做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB是☉O的直径，AC是☉C的Q切线，BC交☉O于E （I） 若D为AC的中点，证明：DE是 O的切线； （II） 若OA= CE，求∠ACB的大小. （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 O 中。直线C : =2，圆C ：12 22 1 ,以坐标原点为极点， 轴的 1 2 正半轴为极轴建立极坐标系。 （I） 求 ， 的极坐标方程； C C 1 2  （II） 若直线 C 的极坐标方程为 R，设 C 与 C 的交点为 M ,N ,求 3 4 2 3 的面积 C MN  2 （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式 f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围2015 年江西高考理科数学试题及答案 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 二. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1+z （2） 设复数z满足 =i，则|z|= 1z （A）1 （B） （C） （D）2 2 3 【解析】 1+z i1 (i1)(1i) i可得z   i，故可得|z|1，选择A. 1z 1i (1i)(1i) 【点评】本题考查复数的运算。该题目在 高二数学（理）强化提高班 课程讲座 第四章 复数 第02讲 模 的运算部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相 同。 （2）sin20°cos10°-cos160°sin10°= （A） 3 （B） 3 （C） 1 （D）1   2 2 2 2 【解析】本题三角函数公式，故可得 1 sin20。cos10。-cos160。sin10。=sin20。cos10。-co（s 180。-20。）sin10。=sin20。cos10。+cos20。sin10。=sin（20。+10。）=sin30。= ，选择D. 2 【点评】本题考查三角函数公式。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第八章 三角函数 第 01讲 三角函数（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （3）设命题P： n N， > ，则 P为   n2 2n  （A） n N, > （B） n N, ≤   n2 2n   n2 2n （C） n N, ≤ （D） n N, =   n2 2n   n2 2n 【解析】本题考查命题的否定，条件和结论都需要否定，因此选择C. 【点评】本题考查命题的否定。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十五章 常用逻辑语 第01讲 常用逻辑语（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题 方法完全相同。 （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且 各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 【解析】本题考查事件的概率，至少投中2次才能通过，那么投中的次数是2或3，因此概率为 P C2(0.6)20.4C3(0.6)3 0.648，选择A. 3 3 【点评】本题考查事件的概率。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十四章 概率 第02讲 概率 （二）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相 同。 x2 （5）已知M（x y ）是双曲线C： 上的一点，F 、F 是C上的两个焦点，若  0， 0  y21 1 2   MF2 2 MF1 ＜0，则y 的取值范围是 0 （A）（- ， ） （B）（- ， ） 3 3 3 3 （C）（ 23 2 ， 32 2 ） （D）（ 62 36 ，2 3 ）   3 3 3 3 【解析】本题考查双曲线 uuuur uuuur MF MF 0 x2 1 通过 1 2 可得(x 3)(x 3) y2 0，而 0  y2 1，因此可得y2  ，故答案为A. 0 0 0 2 0 0 3 【点评】本题考查双曲线。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质第01讲 圆锥曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同， 考查的知识点及解题方法完全相同。 （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八 尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)， 米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多 少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【解析】本题考查空间立体几何，有四分之一圆弧的周长为8尺可以得出， 1 16 1 1 1 320 2r 8，3，因此r  ，故体积为 Sh  r2h，通过计算可得V  4 3 3 3 4 9 320 换算单位可得 9 ，因此选择B. 22 1.62 【点评】本题考查空间立体几何。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第 01讲 立体几何（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方 法完全相同。 （7）设D为 ABC所在平面内一点 =3 ，则 （A） = + (B) = （C） = + (D) = 【解析】本题考查平面向量，画出图形，uuur uuur uuur uuur 1uuur uuur 1 uuur uuur 1uuur 4uuur AD ACCD AC BC  AC (ACAB) AB AC 3 3 3 3 可知答案为A. 【点评】本题考查平面向量。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第九章平面向量 第01讲 平面向 量（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全 相同。 (8)函数f(x)= 的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为 (A)（ ）,k (b)（ ）,k (C)（ ）,k (D)（ ）,k 【解析】本题考查三角函数的单调性，根据图像确定函数的解析式，然后再确定单调区间，故可得答案为 B. 【点评】本题考查三角函数的单调性。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第八章三角函数第03讲 三角函数（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方 法完全相同。 （9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8【解析】本题考查算法，过程为 【点评】本题考查算法。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十三章算法与统计 第01讲 算法与 统计 部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相 同。 （11） 的展开式中， y²的系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60 【解析】本题考查二项式公式，把x+y看做是一个整体，因此可得 只能是 中的某一项，故可得系数为： ，故选择C. x5y2 C2(x2)2(x y)3 C2C1 10330 5 5 3（12）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯 视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r= （A）1（B）2（C）4（D）8 【解析】本题考查三视图， 由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 1 2r，其表面积为 4r2 r2rr2 2r2r =5r2 4r2=16 + 20 ，解得r=2，故选B. 2 【点评】本题考查三视图。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第01讲 立体几 何（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全 相同。 12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a 1，若存在唯一的整数x ，使得f（x ） 0，则a的取值范围是（ 0 0 ） A.[- ，1） B. [- ， ） C. [ ， ） D. [ ，1） 【解析】 【点评】本题考查导数的应用。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第四章函数的值域、最值求法 及应用 第02讲 函数的值域、最值求法及应用（二）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只 是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 （22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 （13）若函数f(x)=xln（x+ ）为偶函数，则a= a x2 【解析】本题考查偶函数，因此有 1 f(x)xln(x ax2) f(x) xln(x ax2) ，故可得 x ax2  x ax2 因此可得a1. 【点评】本题考查偶函数。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第三章函数的性质及其应用 第 03 讲 函数的性质及其应（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知 识点及解题方法完全相同。 （14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。 【解析】本题考查圆的方程，设圆心坐标为（a，0），因此可得 3 3 25 a2 4 4a，或 a2 4 a4解得a ，因此圆的方程为(x )2  y2  2 2 4 【点评】本题考查圆的方程。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质 第02讲 曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查 的知识点及解题方法完全相同。y （15）若x,y满足约束条件 则 的最大值为 . x 【解析】本题考查线性规划，根据题意画出可行域， y y 可以看做是与原点连线的斜率，因此如果 最大值，也就是求斜率的最大值，通过图形观察可知在 x x x (1,3)处有最大值是3，因此 的最大值是3. y 【点评】本题考查线性规划。该题目在高一数学下（讲座2）强化提高班 课程讲座 第五章不等式 第 06 讲 不等式（六）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题 方法完全相同。 （16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 【解析】如下图所示，延长BA，CD交于点E，则可知 1 中， ， ， ，设 ，则 ADE DAE 105。 ADE 45。 E 30。 AD= x 2 6 2 2 AE= x,DE= x 2 4 6 2 ，故可得 6 2 CDm,QBC 2,( xm)sin15。1 xm 6 2 4 4 所以 ，而 6 2 2 6 2 2 0 x4 AB xm x xm 6 2 x 4 2 4 2 因此可得 的范围是 . AB ( 6 2, 6 2) 【点评】本题考查三角形。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第八章三角函数 第04讲 三角函数 （四）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相 同。 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0， （Ⅰ）求{an}的通项公式： （Ⅱ）设 ,求数列 }的前n项和 【解析】 （Ⅰ）因为 ，所以 ，两式相减可得 a2 2a 4S 3 a2 2a 4S 3 a2 a2 2a 2a 4a n n n n1 n1 n1 n n1 n n1 n 即 ， ， ，故可得 (a a )(a a )2(a a ) Qa 0 a a 0 a a 2 n n1 n n1 n n1 n n n1 n n1 所以 是等差数列，将 代入 中可得 或 （舍去） {a } n1 a2 2a 4S 3 a 3 a 1 n n n n 1 1 因此可得通项公式为 a 3(n1)22n1 n 1 1 1 1 （Ⅱ） ，因此它的前n项和为 b   (  ) n (2n1)(2n3) 2 2n1 2n3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T  (    L   ) (  ) n 2 3 5 5 7 2n1 2n3 2 3 2n3 【点评】本题考查数列。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第六章数列 第05讲 数列（五）部分 做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。 （18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面AEC⊥平面AFC （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 【解析】 连结 ，设 ，连结 BD BDI AC G EG,FG,EF 在菱形 中，不妨设 ，由 可得 ABCD GB1 ABC 120。 AG GC  3 由 ， 可知 .又 ，所以 且 BE 面ABCD AB BC AE  EC AE  EC EG  3 EG  AC在 中，可得 故 2 RtEBG BE= 2 DF= 2 在 中，可得 6 RtFDG FG= 2 在直角梯形 中， ， ，可得 3 2 BDFE BD=2 BE= 2 EF  2 从而有 ，所以 EG2 FG2  EF2 EG  FG 又 可得 ，又 ，所以 ACI FG G EG 面AFC EG面AFC 面AEC 面AFC uuur uuur uuur (2)如图，以 为坐标原点，分别以 和 为x轴和y轴正方向， 为单位长度，建立直角坐标系， G GB GC GB| 因此可得 2 ，所以 A(0， 3，0)，E(1，0，2)，F(1，0， ),C(0，3，0) 2 uuur uuur 2 ，故可得 AE (1，3，2)，CF (1，- 3， ) 2 uuur uuur uuuruuur AECF 3 co（s AE，CF） uuur uuur = |AE||CF| 3 所以直线 与直线 所成角的余弦值是 3 . AE CF  3 【点评】本题考查立体几何。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第03讲 立体 几何（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完 全相同。 （19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单 位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8） 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。    x y w  1   1   1   1  （x-x）2 （w-w）2 （ x-x） （ w-w 1 1 1 1 x1 x1 x1 x1  (y-y) ）(y-y) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8  表中w 1 = x 1, ， w =1  1 w1 8 x1 （2）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方 x 程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （iii） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （iv） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u v ）,（u v ）…….. （u v ）,其回归线v= u的斜率和截距的最小二 1 1 2 2 n n  乘估计分别为： 【解析】（1） 适宜，由图像分析可知符合抛物线的方程 y cd x 8 (w w)(y  y) i i 108.8 （2） d  i1  68 8 1.6 (w w)2 i i1 $ c ydw563686.8100.6 所以 y 68 x 100.6 （3） z 0.2yx13.6 x 20.12xx13.6 x 20.12 由x49可得z 4913.6720.1266.32 z ( x)2 13.6 x 20.12 当 可得 时，年利率的预报值最大 x 6.8 x46.24 【点评】本题考查回归方程。该题目在高二数学上（理）强化提高班 课程讲座 第二章统计 第01讲 统计 （一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相 同。（20）（本小题满分12分） 在直角坐标系xoy中，曲线C：y= x2 与直线y=ks+a(a>0)交与M,N两点， 4 （Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； （Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。 【解析】（Ⅰ）当 时，直线 ，则C与 的交点为M,N，它们的横坐标是 或 k 0 l: y a l 2 a 2 a 不妨设 M(2 a,a),N(2 a,a) 对 x2 求导可得 x y  y' 4 2 所以 点切线的斜率为 ， 点切线的斜率为 M  a N a 所以 点切线方程为： M y axa 0 点切线方程为： N y ax3a 0 （Ⅱ）设 P(0,y ),M(x ,y ),N(x ,y ) 0 1 1 2 2 ，则直线 与直线 的斜率互为相反数，也就是 OPM OPN PM PN k k MP PN y  y y  y x x 即 1 0  2 0  y  1 2 x x 0 4 1 2  x2 y  联立方程 可得 因此可得 ，所以  4 x2 4kx4a 0 x x 4a y a 1 2 0  y kxa 也就是P的坐标与k无关，所以存在点P在k变动时，使得OPM OPN 【点评】本题考查圆锥曲线。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质 第01讲 曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查 的知识点及解题方法完全相同。 （21）（本小题满分12分） 1 已知函数f（x）=x3ax ,g(x)lnx 4 (Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线； y  f(x) （Ⅱ）用 min m,n 表示m,n中的最小值，设函数 h(x)min  f(x),g(x) (x0) ，讨论h（x）零 点的个数【解析】 (Ⅰ)根据已知， ，若 轴为曲线的切线，设切点横坐标为 ，则可得 f '(x)3x2 a x t  3 3t2 a0 a f '(t)0 即 ，解得   4   1  f(t)0  t3 at 0  1 t   4  2 3 所以当a 时，x轴为曲线y  f(x)的切线. 4 1 （Ⅱ）当a0时， f '(x)3x2 a 0，于是 f(x)单调递增，而 f(0) ，于是y  f(x)与y  g(x) 4 有唯一交点，且交点的横坐标 ，此时函数 的零点个数为1. p(0,1) h(x) 当 3 时， 在 a 上递减，在 a 上递增，在 a 处有极小值为  a0 f(x) (0, ) ( ,) x 4 3 3 3 a a a 1 1 a f( )( )3a  2( ( )3)0 3 3 3 4 8 3 此时 与 在 内忧唯一交点，函数 的零点个数为1. y  f(x) y  g(x) (0,1) h(x) 3 当a 时，此时极小值为0，函数h(x)的零点个数为2 4 5 3 当 a 时，此时的极小值小于0，因此函数h(x)的零点个数为3 4 4 5 当a 时，此时y  f(x)与y  g(x)相交于(1,0)，函数h(x)的零点个数为2 4 5 当a 时，此时y  f(x)与y  g(x)的交点的横坐标大于1，此时函数h(x)的零点个数为1 4 综上可得，数 的零点个数为： h(x)  5 3 1,a 或a  4 4   5 3 2,a 或a 4 4   5 3 3, a   4 4 【点评】本题考查函数的性质。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第三章函数的性质及其应用 第01讲 函数的性质及其应用（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考 查的知识点及解题方法完全相同。请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所 做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB是☉O的直径，AC是☉C的Q切线，BC交☉O于E （III） 若D为AC的中点，证明：DE是 O的切线； （IV） 若OA= CE，求∠ACB的大小. 【解析】（1）连结AE，由已知可得AE  BC ，AC  AB 在RtAEC 中，因为D是AC 中点，因此可得DE  DC ，故DEC DCE 连结 ，则有 ，又 ，所以 ，故 OE OBE OEB ACBABC 90。 DECOEB90。 ，所以 是圆的切线. OED90。 DE （2）设 ， ，由已知得 CE 1 AE  x AB 2 3,BE  12x2 由射影定理可得： ，所以 ，解得 ，所以 AE2 CEBE x2  12x2 x 3 ACB 60。 【点评】本题考查直线与圆的关系。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十章直线与圆 第 03讲 直线与圆（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方 法完全相同。 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 O 中。直线C : =2，圆C ：12 22 1 ,以坐标原点为极点， 轴的 1 2 正半轴为极轴建立极坐标系。 （III） 求 ， 的极坐标方程； C C 1 2  （IV） 若直线 C 的极坐标方程为 R ，设 C 与 C 的交点为 M ,N ,求 3 4 2 3 的面积 C MN  2【解析】（1） 即 C :x2 cos2 1 即 ，也就是 C :(x1)2 (y2)2 1 x2  y2 2x4y40 2 2cos4sin40 2    （2）C : 代入可得2 2cos 4sin 40即2 3 240 3 4 4 4 则 或 2 2  2   即M(2 2, ),N( 2, )，故|MN | 2 4 4 因此圆心到直线的距离为 2 d  2 故 1 2 1 S   2  C 2 MN 2 2 2 【点评】本题考查曲线极坐标方程。该题目在高二数学下（理）强化提高班 课程讲座 第九章极坐标系 第01讲 极坐标系 部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题 方法完全相同。 （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式 f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 (1) 【解析】 （1）当 时， a1 f(x)|x1|2|x1| 因此当 时， ，若 则有 ，故 ，这与 无交 x1 f(x)x12x2 x3 f(x)1 x31 x4 x1 集； 2 当1 x1时， f(x) x12x23x1，若 f(x)1则有3x11故 x ，这1 x1的交 3 2 集为  x1； 3 当 时， ，若 则有 故 ，这 的交集为 x1 f(x) x12x23x f(x)1 3x1 x2 x1 1 x2 2 综上可得x( ,2) 3 （2）由于a0，则可得x12a,x1  f(x)3x12a,1 xa  12ax,xa  2a1 画出分段函数的图像，可得3x12a0时，x  ，当12ax0时，x 2a1 1 3 2 1 2a1 因此可得三角形的面积为： (1a)(2a1 )6 2 3 解得a2或a4（舍去） 故可得a2 【点评】本题考查函数的综合应用。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第五章函数图象的画法及 应用 第02讲 函数图象的画法及应用（二）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不 同，考查的知识点及解题方法完全相同。