2016年广东高考（理科）数学试题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_广东高科数学（理+文）08-22_A4Word版

绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. A{x|x2 4x30} B {x|2x30} A B  （1）设集合 ， ，则  3 3 3 3 (3, ) (3, ) (1, ) ( ,3) （A） 2 （B） 2 （C） 2 （D） 2 (1i)x1 yi x yi = （2）设 ，其中x，y是实数，则 2 3 （A）1（B） （C） （D）2 {a } a =8 a = （3）已知等差数列 n 前9项的和为27， 10 ，则 100 （A）100（B）99（C）98（D）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 1 1 2 3 3 2 3 4 （A） （B） （C） （D） x2 y2 − =1 ( 5 )已知方程 m2 +n 3m2 −n 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m的取值范围是 （A）（−1 ， 3 ） （B）（−1 ， √3 ） （C）（ 0 ， 3 ） （D）（ 0 ， √3 ） ( 6) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径． 28π 3 若该几何体的体积是 ，则它的表面积是 （A）17π （B）18π （C）20π （D）28π （7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 （A） （B） （C） （D） ab1，0c1 （8）若 ，则 ac bc abc bac alog cblog c log clog c （A） （B） （C） b a （D） a b x0，y 1，n1 （9）执行右面的程序图，如果输入的 ，则输出x，y的值满足y 2x y 3x y 4x y 5x （A） （B） （C） （D） (10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB| 4 2 2 5 = ，|DE|= ，则C的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 a a (11)平面a过正方体ABCD-ABC D 的顶点A，a//平面CB D ， 平面ABCD=m， 平 1 1 1 1 1 1 面ABAB=n，则m、n所成角的正弦值为 1 1 3 2 3 1 (A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3    f(x)sin(x+)(0， ),x x 2 4 f(x) 4 12. 已 知 函 数 为 的 零 点 ， 为  5 ，   y  f(x) f(x) 18 36   图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为 （A）11 （B）9 （C）7 （D）5 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 (13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=. (2x x)5 (14) 的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列 满足a+a=10，a+a=5，则aa…a 的最大值为。 {a } 1 3 2 4 1 2 n n （16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要 甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。 该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、 产品B的利润之和的最大值为元。 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分为12分） ABC 2cosC(acosB+bcosA)c.  的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知 （I）求C； 3 3 （II）若 c 7,  ABC 的面积为 2 ，求 ABC 的周长． （18）（本题满分为12分） 如图，在已 A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD， AFD 90，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60． （I）证明平面ABEFEFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值． （19）（本小题满分12分） 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器 时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买， 则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台 这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买2台机器的同时购买的易损零 件数. （I）求X 的分布列； P(X n)0.5 n （II）若要求 ，确定 的最小值； n19 n20 （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 与 之中选其一，应 选用哪个？ 20. （本小题满分12分） x2  y2 2x150 设圆 的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于 C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. EA  EB （I）证明 为定值，并写出点E的轨迹方程； （II）设点E的轨迹为曲线C ，直线l交C 于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交 1 1 于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. （21）（本小题满分12分） 已知函数 有两个零点. f (x)=(x-2)ex+a(x-1) 2 (I)求a的取值范围； (II)设x，x 是f(x)的两个零点，证明：x +x<2. 1 2 1 2请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 1 如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心， OA为半径作圆. 2 (I)证明：直线AB与O相切； (II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD. （23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 { x=acost， 在直线坐标系xoy中，曲线C 的参数方程为 （t为参数，a＞0）。在以坐 1 y=1+asint， 标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ=4cosθ. 2 （I）说明C 是哪种曲线，并将C 的方程化为极坐标方程； 1 1 （II）直线C 的极坐标方程为θ=α ，其中α 满足tanα=2，若曲线C 与C 的公共点都在C 3 0 0 0 1 2 3 上，求a。 （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣. （I）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像； （II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. （1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A （7）D（8）C（9）C（10）B（11）A（12）B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)2 (14)10 216000 （15）64 （16） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分为12分） 2cosCsincossincossinC 解：（I）由已知及正弦定理得， ， 2cosCsinsinC 即 ． 2sinCcosCsinC 故 ． 1  cosC C 可得 2 ，所以 3 ． 1 3 3 absinC （II）由已知，2 2 ．  C 又 3 ，所以 ab6 ．a2 b2 2abcosC7 由已知及余弦定理得， ． a2 b2 13 ab2 25 故 ，从而 ． C 5 7 所以 的周长为 ． （18）（本小题满分为12分） 解：（I）由已知可得FDF，FF，所以F平面 FDC ． 又F平面F，故平面F平面 FDC ． （II）过D作 DG F ，垂足为 G ，由（I）知 DG  平面F．   GF G GF x 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长度，建立如图所示的空间直角 Gxyz 坐标系 ． DF 2 由（I）知 DF为二面角 DF的平面角，故 DF60，则 ，   DG 3 1,4,0 3,4,0 3,0,0 D 0,0, 3 ，可得 ， ， ， ． //F // FDC 由已知， ，所以 平面 ． CD FDCDC //CD CD//F 又平面 平面 ，故 ， ． 由 //F ，可得平面 FDC ，所以 CF 为二面角 CF 的平面角，   C 2,0, 3 CF60．从而可得 ．         C 1,0, 3 0,4,0 C 3,4, 3 4,0,0 所以 ， ， ， ． n  x,y,z C 设 是平面 的法向量，则   n  C0 x 3z 0     n0 4y 0 ，即 ，   n  3,0, 3 所以可取 ．   m  C0    m  CD m0 设 是平面 的法向量，则 ，   nm 2 19   m    0, 3,4  cos n,m  n  m   19 同理可取 ．则 ． 2 19  故二面角 C 的余弦值为 19 ． （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而 P(X 16)0.20.20.04 ； P(X 17)20.20.40.16 ； P(X 18)20.20.20.40.40.24 ； P(X 19)20.20.220.40.20.24 ； P(X 20)20.20.40.20.20.2 ； P(X 21)20.20.20.08 ； P(X 22)0.20.20.04 . 所以X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 P(X 18)0.44 P(X 19)0.68 n （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ，故 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. n19 EY 192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08 当 时， (192003500)0.044040 . n20 当 时， EY 202000.88(20200500)0.08(202002500)0.04 4080 . n19 n20 n19 可知当 时所需费用的期望值小于 时所需费用的期望值，故应选 . 20.（本小题满分12分） | AD|| AC| EB//AC EBD ACD ADC 解：（Ⅰ）因为 ， ，故 ， |EB||ED| |EA||EB||EA||ED|| AD| 所以 ，故 . 又圆A的标准方程为 (x1)2  y2 16 ，从而 | AD|4 ，所以 |EA||EB|4 . 由题设得 A(1,0) ， B(1,0) ， | AB|2 ，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为： x2 y2  1 4 3 y 0 （ ）. l x l y k(x1)(k 0) M(x ,y ) N(x ,y ) （Ⅱ）当 与 轴不垂直时，设 的方程为 ， 1 1 ， 2 2 . y k(x1)  x2 y2  1   4 3 (4k2 3)x2 8k2x4k2 120 由 得 . 8k2 4k2 12 x  x  x x  1 2 4k2 3 1 2 4k2 3 则 ， .12(k2 1) |MN | 1k2 |x  x | 1 2 4k2 3 所以 . 2 1 y  (x1) 过点 B(1,0) 且与 l 垂直的直线 m ： k ，A到 m 的距离为 k2 1 ，所以 2 4k2 3 |PQ|2 42 ( )2 4 k2 1 k2 1 MPNQ .故四边形 的面积 1 1 S  |MN ||PQ|12 1 2 4k2 3 . l x MPNQ [12,8 3) 可得当 与 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为 . l x x 1 |MN |3 |PQ|8 MPNQ 当 与 轴垂直时，其方程为 ， ， ，四边形 的面积为12. MPNQ [12,8 3) 综上，四边形 面积的取值范围为 . （21）（本小题满分12分） f '(x)(x1)ex 2a(x1)(x1)(ex 2a) 解：（Ⅰ） ． （i）设a 0，则 f(x)(x2)ex ， f(x) 只有一个零点． （ii）设 a 0，则当 x(,1) 时， f '(x)0 ；当 x(1,) 时， f '(x)0 ．所以 f(x) (,1) (1,) 在 上单调递减，在 上单调递增． a bln 又 f(1)e ， f(2)a ，取b满足b0且 2 ，则 a 3 f(b) (b2)a(b1)2 a(b2  b)0 2 2 ， f(x) 故 存在两个零点． （iii）设a0，由 f '(x)0 得x1或 xln(2a) ．e a 若 2，则 ln(2a)1 ，故当 x(1,) 时， f '(x)0 ，因此 f(x) 在 (1,) 上单调 递增．又当x1时， f(x)0 ，所以 f(x) 不存在两个零点． e a 若 2，则 ln(2a)1 ，故当 x(1,ln(2a)) 时， f '(x)0 ；当 x(ln(2a),) f '(x)0 f(x) (1,ln(2a)) (ln(2a),) 时， ．因此 在 单调递减，在 单调递增．又当 x1时， f(x)0 ，所以 f(x) 不存在两个零点． a (0,) 综上， 的取值范围为 ． x  x x (,1),x (1,) 2x (,1) f(x) （Ⅱ）不妨设 1 2，由（Ⅰ）知 1 2 ， 2 ， 在 (,1) x x 2 f(x ) f(2x ) f(2x )0 上单调递减，所以 1 2 等价于 1 2 ，即 2 ． f(2x )x e2x 2 a(x 1)2 f(x )(x 2)ex 2 a(x 1)2 0 由于 2 2 2 ，而 2 2 2 ，所以 f(2x )x e2x 2 (x 2)ex 2 2 2 2 ． g(x)xe2x (x2)ex g'(x)(x1)(e2x ex) 设 ，则 ． 所以当x1时， g'(x)0 ，而 g(1)0 ，故当x1时， g(x)0 ． g(x ) f(2x )0 x x 2 从而 2 2 ，故 1 2 ． 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）设E是AB的中点，连结OE， 因为 OAOB,AOB120 ，所以OE  AB，AOE 60．1 OE  AO 在RtAOE 中， 2 ，即O到直线 AB的距离等于圆O的半径，所以直线 AB与⊙O相切． D C O O' A B E （Ⅱ）因为OA2OD，所以O不是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心，设 O'是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心，作直线OO'． 由已知得O在线段 AB的垂直平分线上，又 O'在线段 AB的垂直平分线上，所以 OO' AB． 同理可证，OO'CD．所以AB //CD． （23）（本小题满分10分） xacost  解：⑴ y1asint （t均为参数） x2 y12 a2 ∴ ① ∴ C 1为以 0，1 为圆心，a为半径的圆．方程为 x2  y2 2y1a2 0 x2  y2 2，ysin ∵ 2 2sin1a2 0 C ∴ 即为 1的极坐标方程 C ：4cos ⑵ 2  2 4cos 2 x2  y2，cosx 两边同乘 得 x2  y2 4x x22  y2 4 即 ② C y2x 3：化为普通方程为 C C C 由题意： 1和 2的公共方程所在直线即为 3 4x2y1a2 0 C ①—②得： ，即为 3 ∴1a2 0 ∴a1 （24）（本小题满分10分） 解：⑴ 如图所示：  x4，x≤1   3 f x3x2，1x 2   3 4x，x≥  ⑵  2 f x 1 当x≤1， x4 1 ，解得x5或x3 ∴x≤1 3 1 1x x 当 2， 3x2 1 ，解得x1或 3 1 3 ∴1x 1x 3或 23 x≥ 当 2， 4x 1 ，解得x5或x3 3 ∴ ≤x3 2 或x5 1 x 综上， 3或1x3或x5  1 ∴ f x 1 ，解集为   ， 3    1，3  5，