文档内容
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题（共12小题）.
1．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥
的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上
的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的
距离为9，则p＝（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在
20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x，y）（i＝1，2，…，20）
i i
得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A．y＝a+bx B．y＝a+bx2 C．y＝a+bex D．y＝a+blnx
6．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+1
7．设函数f（x）＝cos（ x+ ）在[﹣ ， ]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为
ω π π
（ ）
A． B． C． D．
8．（x+ ）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
9．已知 （0， ），且3cos2 ﹣8cos ＝5，则sin ＝（ ）
α∈ π α α α
A． B． C． D．
10．已知A，B，C为球O的球面上的三个点， O 为△ABC的外接圆．若 O 的面积为
1 1
4 ，AB＝BC＝AC＝OO ，则球O的表面积为⊙（ ） ⊙
1
Aπ．64 B．48 C．36 D．32
11．已知π M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣π2＝0，直线1：2x+y+2＝π 0，P为l上的动点．π过点P作 M
的切线⊙PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（ ） ⊙
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0
12．若2a+log a＝4b+2log b，则（ ）
2 4
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件 则z＝x+7y的最大值为 ．
14．设 ， 为单位向量，且| + |＝1，则| ﹣ |＝ ．
15．已知F为双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为
C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为 ．
16．如图，在三棱锥 P﹣ABC 的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝ ，AB⊥AC，
AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝ ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共60分。
17．设{a}是公比不为1的等比数列，a 为a，a 的等差中项．
n 1 2 3
（1）求{a}的公比；
n
（2）若a＝l，求数列{na}的前n项和．
1 n
18．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD．△ABC是
底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝ DO．
（1）证明：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角B﹣PC﹣E的余弦值．19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者
与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩
余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 ．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
20．已知A，B分别为椭圆E： +y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点， •
＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
21．已知函数f（x）＝ex+ax2﹣x．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点
1
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4 cos ﹣16 sin +3
2
＝0． ρ θ ρ θ（1）当k＝1时，C 是什么曲线？
1
（2）当k＝4时，求C 与C 的公共点的直角坐标．
1 2
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．
