文档内容
绝密*启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）已知集合A={1,2,3,4,5}，B={(x,y)|x ,则B中所含元素的个数为
（A）3 （B）6 (C) 8 （D）10
(2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1
名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
（A）12种 （B）10种 (C) 9种 （D）8种
（3）下面是关于复数 的四个命题：
P :|z|=2, P :z2=2i,
1 2
P :z的共轭复数为1+i, p :z的虚部为-1，
3 4
期中的真命题为
（A）p ,p (B)P ,P (C)P ,P (D)P ,P
2 3 1 2 2 4 3 4
3a
（4）设FF 是椭圆E： 的左、右焦点，P为直线x 上一点，
1 2 2
F PF 是底角为 30 的等腰三角形，则E的离心率为（）
2 1
1 2 3 4
（A） （B） （C） （D）
2 3 4 5
（5）已知 a 为等比数列， ，a a 8，则a a
n 5 6 1 10
（A）7 （B）5 （C）-5 （D）-7
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N(N 2)和实数
a ,a ,...,a ，输出A,B,则
1 2 n
（A）A+B为a ,a ,...,a 的和
1 2 n
AB
（B） 为a ,a ,...,a 的算术平均数
2 1 2 n
（C）A和B分别是a ,a ,...,a 中最大的数和最小的数
1 2 n
（D）A和B分别是a ,a ,...,a 中最小的数和最大的数
1 2 n（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A）6
（B）9
（C）12
（D）18
（8）等轴双曲线 C的中心在原点， 检
点在X轴上，C与抛物线 的 准
线交于A，B两点，|AB|=4 ，则C 的
实轴长为
（A） （B）2
（C）4 （D）8
（9）已知 w>0,函数 f(x)=sin( x+ ) 在
（ ，π）单调递减。则△t的取值范围是
(A) [ , ] (B)[ , ] (C)(O, ] (D)(0,2]
(10) 已知函数f(x)= ,则y=f(x)的图像大致为（11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的
直径，且SC=2,则此棱锥的体积为
（A） （B） （C） （D）
（12）设点P在曲线y= ex 上，点 Q在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为
（A） 1-ln2 （B） (1-ln2)（C）1+ln2 （D） (1+ln2)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第
24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知向量a,b夹角为450 ，且|a|=1，|2a-b|= ,则|b|=
(14) 设x,y满足约束条件 则z=x-2y的取值范围为
（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则
部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N（1000， ），且各
个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
（16）数列{ }满足 =2n-1，则{ }的前60项和为
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知a.b.c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边a
(1) 求A
(1) 若a=2,△ABC的面积为 求b,c
18.（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（Ｉ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单
位：枝，n N）的函数解析式。
（ＩＩ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润（单位：元），求x的分布列，数学期望及方
差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。
（19）（本小题满分12分）
如图，之三棱柱ABC- 中AC=BC= ，D是棱 的中点，(Ｉ)证明：
（ＩＩ）求二面角 的大小
（20）（本小题满分12分）
设抛物线C: (P>0)的交点为F，准线为I，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的
圆F交I于B，D两点。
（I）若 ， 的面积为 求P的值及圆F的方程；
（II）若A，B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求
坐标原点m，n距离的比值。
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)满足满足f(x)=
（I） 求f(x)的解析式及单调区间；
（I） 若f(x) ，求（a+1）b的最大值
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请
写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，
若CF//AB，证明：
（I） CD=BC；
（II）△BCD∽△GBD
(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标
系，曲线 的坐标系方程是 ，正方形ABCD的顶点都在 上，且A、B、C、D依逆时针次序排
列，点A的极坐标为（2， ）
（I） 求点A、B、C、D 的直角坐标；（II） 设P为 上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x) = |x + a| + |x - 2|.
(I) 当a = -3时，求不等式f(x) ≥3的解集；
(II) 若f(x)≤|x - 4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。
第一卷
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）已知集合 ；,则 中所含元素
的个数为（ ）
【解析】选
， ， ， 共10个
（2）将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
种 种 种 种
【解析】选
甲地由 名教师和 名学生： 种
（3）下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（ ）
的共轭复数为 的虚部为
【解析】选
， ， 的共轭复数为 ， 的虚部为
3a
（4）设FF 是椭圆 的左、右焦点， 为直线x 上一点，
1 2 2
F PF 是底角为30的等腰三角形，则 的离心率为（ ）
2 1
【解析】选
F PF 是底角为30的等腰三角形
2 1（5）已知 a 为等比数列， ，a a 8，则
n 5 6
a a （ ）
1 10
【解析】选
， 或
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N 2)和
实数a ,a ,...,a ，输出 ，则（ ）
1 2 n
为a ,a ,...,a 的和
1 2 n
AB
为a ,a ,...,a 的算术平均数
2 1 2 n
和 分别是a ,a ,...,a 中最大的数和最小的数
1 2 n
和 分别是a ,a ,...,a 中最小的数和最大的数
1 2 n
【解析】选
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
【解析】选
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
此几何体的体积为
（8）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线
的准线交于
两点， ；则 的实轴长为（ ）
【解析】选
设 交 的准线 于
得：（9）已知 ，函数 在 上单调递减。则 的取值范围是（ ）
【解析】选
不合题意 排除
合题意 排除
另： ，
得：
（10） 已知函数 ；则 的图像大致为（ ）
【解析】选
得： 或 均有 排除
（11）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上， 是边长为 的正三角形，
为球 的直径，且 ；则此棱锥的体积为（ ）【解析】选
的外接圆的半径 ，点 到面 的距离
为球 的直径 点 到面 的距离为
此棱锥的体积为
另： 排除
（12）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（ ）
【解析】选
函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称
函数 上的点 到直线 的距离为
设函数
由图象关于 对称得： 最小值为
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第
24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知向量 夹角为 ，且 ；则
【解析】
(14) 设 满足约束条件： ；则 的取值范围为
【解析】 的取值范围为
约束条件对应四边形 边际及内的区域：
则
（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从
正态分布 ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命
超过1000小时的概率为
【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
（16）数列 满足 ，则 的前 项和为
【解析】 的前 项和为
可证明：
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知 分别为 三个内角 的对边，
（1）求 （2）若 ， 的面积为 ；求 。
【解析】（1）由正弦定理得：
（2）
解得： （l fx lby）
18.（本小题满分12分）
某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售，
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润 (单位：元)关于当天需求量
（单位：枝， ）的函数解析式。
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（i）若花店一天购进 枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列，
数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由。
【解析】（1）当 时，
当 时，
得：
（2）（i） 可取 ， ，
的分布列为
（ii）购进17枝时，当天的利润为
得：应购进17枝
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱 中， ，
是棱 的中点，
（1）证明：
（2）求二面角 的大小。
【解析】（1）在 中，
得：
同理：
得： 面
（2） 面
取 的中点 ，过点 作 于点 ，连接
，面 面 面
得：点 与点 重合
且 是二面角 的平面角
设 ，则 ，
既二面角 的大小为
（20）（本小题满分12分）
设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ，已知以 为圆心，为半径的圆 交 于 两点；
（1）若 ， 的面积为 ；求 的值及圆 的方程；
（2）若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，
求坐标原点到 距离的比值。
【解析】（1）由对称性知： 是等腰直角 ，斜边
点 到准线 的距离
圆 的方程为
（2）由对称性设 ，则
点 关于点 对称得：
得： ，直线
切点
直线
坐标原点到 距离的比值为 。（lfx lby）
（21）（本小题满分12分）
已知函数 满足满足 ；
（1）求 的解析式及单调区间；
（2）若 ，求 的最大值。
【解析】（1）
令 得：
得：
在 上单调递增
得： 的解析式为且单调递增区间为 ，单调递减区间为
（2） 得
①当 时， 在 上单调递增
时， 与 矛盾
②当 时，
得：当 时，
令 ；则
当 时，
当 时， 的最大值为
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，
做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图， 分别为 边 的中点，直线 交
的外接圆于 两点，若 ，证明：
（1） ；
（2）
【解析】（1） ，
（2）
（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是 ，正方形 的顶点都在 上，
且 依逆时针次序排列，点 的极坐标为
（1）求点 的直角坐标；
（2）设 为 上任意一点，求 的取值范围。
【解析】（1）点 的极坐标为
点 的直角坐标为
（2）设 ；则
（lfxlby）
（24）（本小题满分10分）选修 ：不等式选讲已知函数
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 的解集包含 ，求 的取值范围。
【解析】（1）当 时，
或 或
或
（2）原命题 在 上恒成立
在 上恒成立
在 上恒成立
