文档内容
绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ,则
A． B． C． D．
2．设 ，则
A． B． C． D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入
变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．已知椭圆 的一个焦点为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 的正方形，
则该圆柱的表面积为
A． B． C． D．
6．设函数 . 若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为
A． B． C． D．
7．在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则A． B．
C． D．
8．已知函数 ，则
A． 的最小正周期为 ，最大值为
B． 的最小正周期为 ，最大值为
C． 的最小正周期为 ，最大值为
． 的最小正周期为 ，最大值为
D
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱
表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A．
B．
C．
D．
10．在长方体 中， ， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为
A． B． C． D．
11．已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
12．设函数 则满足 的 的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数 . 若 ，则 .
14．若 ， 满足约束条件 则 的最大值为 .
15．直线 与圆 交于 ， 两点，则 .
16． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 已知 ， ，则
的面积为 .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知数列 满足 ， . 设 .
（1）求 ， ， ；
（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求 的通项公式.
18．（12分）
AC
如图，在平行四边形 中， ， . 以 为折痕将 折起，使点 到达点
D的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
BC
（2） 为线段 上一点， 为线段 上一点，且 ，求三棱锥 的体积.19．（12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位： ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，
得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
[0.1， [0.2， [0.3， [0.4， [0.5， [0.6，
日用水量 [0，0.1)
0.2) 0.3) 0.4) 0.5) 0.6) 0.7)
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6)
频数 1 5 13 10 16 5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所
在区间中点的值作代表.）20．（12分）
设抛物线 ，点 ， ，过点 的直线 与 交于 ， 两点.
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）证明： .
21．（12分）
已知函数 .
（1）设 是 的极值点，求 ，并求 的单调区间；
（2）证明：当 时， .（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的方程为 . 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 的直角坐标方程；
（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程.
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围.绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D
7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：
（1）由条件可得 .
将 代入得， ，而 ，所以， .
将 代入得， ，所以， .
从而 ， ， .
（2） 是首项为 ，公比为 的等比数列.
由条件可得 ，即 ，又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（3）由（2）可得 ，所以 .
18．解：
（1）由已知可得， ， .
又 ，所以 平面 .
又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）由已知可得， ， .
又 ，所以 .
作 ，垂足为 ，则 .
由已知及（1）可得 平面 ，所以 平面 ， .
因此，三棱锥 的体积为.
19．解：
（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
．
20．解：
（1）当 与x轴垂直时， 的方程为 ，可得 的坐标为 或 .
所以直线 的方程为 或 .
（2）当 与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以 .
当 与x轴不垂直时，设 的方程为 ， ， ，则 .
由 得 ，可知 .
直线BM，BN的斜率之和为
. ①
将 ， 及 的表达式代入①式分子，可得
.
所以 ，可知BM，BN的倾斜角互补，所以 .综上， .
21．解：
（1） 的定义域为 ， .
由题设知， ，所以 .
从而 ， .
当 时， ；当 时， .
所以 在 单调递减，在 单调递增.
（2）当 时， .
设 ，则 .
当 时， ；当 时， . 所以 是 的最小值点.
故当 时， .
因此，当 时， .
22．解：
（1）由 ， 得 的直角坐标方程为
.
（2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆.
由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线. 记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 . 由于
在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与
只有一个公共点且 与 有两个公共点.
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 . 经检验，当
时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共点.
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 . 经检验，当
时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点.
综上，所求 的方程为 .
23．解：
（1）当 时， ，即故不等式 的解集为 .
（2）当 时 成立等价于当 时 成立.
若 ，则当 时 ；
若 ， 的解集为 ，所以 ，故 .
综上， 的取值范围为 .
