文档内容
2008 年普通高等学校招生全国统一考试
(广东卷)
数学(理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.已知 ,复数 的实部为 ,虚部为1,则 的取值范围是( C )
A. B. C. D.
2.记等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 ( D )
A.16 B.24 C.36 D.48
3.某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表1.已 一年级 二年级 三年级
知在全校 学生中随机抽取 1名,抽到二年级女生的概率 女生 373
男生 377 370
是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则
应在三年级抽取的学生人数为( C )
A.24 B.18 C.16 D.12 表1
4.若变量 满足 则 的最大值是( C )
A.90 B.80 C.70 D.40
5.将正三棱柱截去三个角(如图1所示 分别是 三边的中点)得到几何
体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A )
A A
H G
B C B C B B B B
I 侧视
E D E D E E E E
F F A. B. C. D
图1 图2 .
6.已知命题 所有有理数都是实数,命题 正数的对数都是负数,则下列命题中为真命
题的是( D )
A. B. C. D.
7.设 ,若函数 , 有大于零的极值点,则( B )
A. B. C. D.8.在平行四边形 中, 与 交于点 是线段 的中点, 的延长线
与 交于点 .若 , ,则 ( B )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~12题) 开始
9.阅读图3的程序框图,若输入 , ,则输出 ,
输入
(注:框图中的赋值符号“ ”也可以写成“ ”或“ ”)
10.已知 ( 是正整数)的展开式中, 的系数小于120,
i 1
则 .
a mi
11.经过圆 的圆心 ,且与直线 垂直的直线
i i1
方程是 .
n整除a?
12.已知函数 , ,则 的最小正周期是 . 否
是
二、选做题(13—15题,考生只能从中选做两题) 输出
13.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 的极坐标方程分别为 ,
结束
,则曲线 与 交点的极坐标为 .
图3
14.(不等式选讲选做题)已知 ,若关于 的方程 有实根,
则 的取值范围是 .
15.(几何证明选讲选做题)已知 是圆 的切线,切点为 , . 是圆
的直径, 与圆 交于点 , ,则圆 的半径 .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分13分)
已知函数 , 的最大值是1,其图像经过点
.
(1)求 的解析式;(2)已知 ,且 , ,求
的值.17.(本小题满分13分)
随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等
品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万
元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为 .
(1)求 的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即 的数学期望);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 ,一等品率提高为 .
如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?
18.(本小题满分14分)
设 ,椭圆方程为 ,抛物线方程为 .如图4所示,过
点 作 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 ,已知抛物线在点 的
切线经过椭圆的右焦点 .
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 ,使得
为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出
这些点的坐标).
19.(本小题满分14分)
设 ,函数 , , ,试讨论函数
的单调性.20.(本小题满分14分)
如图5所示,四棱锥 的底面 是半径为 的圆的内接四边形,其中
是圆的直径, , , 垂直底面 , ,
P
分别是 上的点,且 ,过点 作 的平行线交 于 .
E
G
(1)求 与平面 所成角 的正弦值;
(2)证明: 是直角三角形;
A D
F
(3)当 时,求 的面积.
B
C
图5
21.(本小题满分12分)
设 为实数, 是方程 的两个实根,数列 满足 ,
, ( …).
(1)证明: , ;
(2)求数列 的通项公式;
(3)若 , ,求 的前 项和 .