文档内容
2008 年普通高等学校招生全国统一考试
（广东卷）
数学(理科)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知 ，复数 的实部为 ，虚部为1，则 的取值范围是（ C ）
A． B． C． D．
2．记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ D ）
A．16 B．24 C．36 D．48
3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已 一年级 二年级 三年级
知在全校 学生中随机抽取 1名，抽到二年级女生的概率 女生 373
男生 377 370
是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则
应在三年级抽取的学生人数为（ C ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
4．若变量 满足 则 的最大值是（ C ）
A．90 B．80 C．70 D．40
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示 分别是 三边的中点）得到几何
体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）
A A
H G
B C B C B B B B
I 侧视
E D E D E E E E
F F A． B． C． D
图1 图2 ．
6．已知命题 所有有理数都是实数，命题 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命
题的是（ D ）
A． B． C． D．
7．设 ，若函数 ， 有大于零的极值点，则（ B ）
A． B． C． D．8．在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线
与 交于点 ．若 ， ，则 （ B ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~12题） 开始
9．阅读图3的程序框图，若输入 ， ，则输出 ，
输入
（注：框图中的赋值符号“ ”也可以写成“ ”或“ ”）
10．已知 （ 是正整数）的展开式中， 的系数小于120，
i 1
则 ．
a mi
11．经过圆 的圆心 ，且与直线 垂直的直线
i i1
方程是 ．
n整除a?
12．已知函数 ， ，则 的最小正周期是 ． 否
是
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题） 输出
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 的极坐标方程分别为 ，
结束
，则曲线 与 交点的极坐标为 ．
图3
14．（不等式选讲选做题）已知 ，若关于 的方程 有实根，
则 的取值范围是 ．
15．（几何证明选讲选做题）已知 是圆 的切线，切点为 ， ． 是圆
的直径， 与圆 交于点 ， ，则圆 的半径 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
已知函数 ， 的最大值是1，其图像经过点
．
（1）求 的解析式；（2）已知 ，且 ， ，求
的值．17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等
品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万
元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为 ．
（1）求 的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即 的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一等品率提高为 ．
如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
18．（本小题满分14分）
设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 ．如图4所示，过
点 作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的
切线经过椭圆的右焦点 ．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得
为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出
这些点的坐标）．
19．（本小题满分14分）
设 ，函数 ， ， ，试讨论函数
的单调性．20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥 的底面 是半径为 的圆的内接四边形，其中
是圆的直径， ， ， 垂直底面 ， ，
P
分别是 上的点，且 ，过点 作 的平行线交 于 ．
E
G
（1）求 与平面 所成角 的正弦值；
（2）证明： 是直角三角形；
A D
F
（3）当 时，求 的面积．
B
C
图5
21．（本小题满分12分）
设 为实数， 是方程 的两个实根，数列 满足 ，
， （ …）．
（1）证明： ， ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若 ， ，求 的前 项和 ．
