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2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
文科数学试题和答案（详细解析版）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式 ，其中 为柱体的底面积， 为
柱体的高.
球的体积 ，其中 为球的半径。
一 组 数 据 的 标 准 差
，
其中 表示这组数据的平均数。
x
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i为虚数单位，则复数
A. B. C. D.
2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则 =
A.{2.4.6} B.{1.3.5} C.{1.2.4} D.U
3.若向量 ， ，则
A.（4.6） B.（-4,-6） C.（-2，-2） D.（2，2）
4.下列函数为偶函数的是5.已知变量x，y满足约束条件 则z=x+2y的最小值为
A．3 B.1 C.-5 D.-6
6.在 中，若 =60°, ∠B=45°，BC=3 ，则AC=
A．4 B 2 C. D
7．某几何的三视图如图 1 所示，它的
体积为
A．72π B 48π C.30π D.24π
8．在平面直角坐标系 xOy 中，直线
3x+4y-5=0 与圆 + =4 相交 A、B 两
点，则弦AB的长等于
A．3 B2 C D 1
9．执行如图 2 所示的程序图，若输入 n 的值为 6，
则输出s的值为
A．105 B．16 C．15 D．
1
10．对任意两个非零的平面向量 α 和 β，定义
. 若两个非零的平面向量 a，b 满足 a 与 b
的夹角 ，且 和 都在集合 中，
则 =A． B． C．1 D．
二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满
分20分。
（一）必做题（11~13题）
11.函数 的定义域为 .
12.若等比数列{a }满足 则 .
n
13.由正整数组成的一组数据 其平均数和中位数都是 2，且
标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）
（二）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 中，曲
线 和 的参数方程分别为 （ 为参数，
（t 为参数），则曲线 和 的交点坐标为
.
15.（几何证明选讲选做题）如图 3 所示，直线 PB 与圆 O 相切于点
B,D 是 玄 AC 上 的 点 ， . 若 AD=m,AC=n, 则 AB=
.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证
明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数
（1）求A的值；
（2）设 求 的值.
17.（本小题满分13分）
某校 100名学生期中考试语文成绩的频率分布
直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：
.
（1）求图中 的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学
生语文成绩的平均分.
（3）若这 100 名学生语文成绩某些份数段的人数（x）与数学成
绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在 之
外的人数.
18（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥 中， , , ,
是 的 中 点 ， 是 上 的 点 ， 且
, 为 中 边上的高。
（1）证明： ；
（ 2 ） 若 求 三 棱
锥 的体积；
（3）证明： .
19. （本小题满分14分）
设数列 前 项和为 ，数列 前 项和为 ，满足 ，
.
(1)求 的值；
（2）求数列 的通项公式.
20.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 中，已知椭圆 : （ ）的左焦
点为 ,且点 在 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 同时与椭圆 和抛物线 : 相切，求直线 的
方程.
21.（本小题满分14分）
设 ，集合
.
(1)求集合 (用区间表示)(2)求函数 在 内的极值点.
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）答案（详细解析版）
1、【解析】选
依题意：
2． 【解析】选
3. 【解析】选
4. 【解析】选 与 是奇函数,， 是非奇非偶函数
5. 【解析】选 约束条件对应 边际及内的区域：
则
6. 【解析】选
由正弦定理得：
【解析】选 几何体是半球与圆锥叠加而成
它的体积为
8. 【解析】选
圆 的 圆 心 到 直 线 的 距 离弦 的长
9. 【解析】选
10 、 【 解 析 】 选
都 在 集 合 中 得 ：
二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分
20分。
(一）必做题（11-13题）
11.【解析】定义域为______
中的 满足： 或
12. 【解析】13. 【解析】这组数据为_________
不 妨 设 得 ：
①如果有一个数为 或 ；则其余数为 ，不合题意
②只能取 ；得：这组数据为
（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）
14. 【解析】它们的交点坐标为_______
解得：交点坐标为
15.(【解析】 _______
得：
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证
明过程和演算步骤。
16. (本小题满分12分)
【解析】（1）
（2）
17.【解析】（1）
（2）平均分为
（ 3 ） 数 学 成 绩 在 内 的 人 数 为
人
数学成绩在 外的人数为 人
答：（1） （2）这100名学生语文成绩的平均分为（3）数学成绩在 外的人数为 人。
18.【解析】（1） 平面 ， 面
又 面
（2） 是 中点 点 到面 的距离
三 棱 锥 的 体 积
（3）取 的中点为 ，连接
，又 平面 面 面
面
点 是 棱 的 中 点
得： 平面
19.(本小题满分14分)
【解析】（1）在 中，令
（ 2 ） ， 相 减 得 ：
， ，相减得：
，得
得：数列 是以 为首项，公比为 的等比
数列
20.(本小题满分14分)
【解析】（1）由题意得：
故椭圆 的方程为：
（2）①设直线 ，直线 与椭圆 相切直线与抛物线 相切 ，得： 不存在
②设直线
直线 与椭圆 相切 两根相
等
直线与抛物线 相切
两根相等
解得： 或
21.（本小题满分14分）
【解析】（1）对于方程
判别式
因为 ，所以
① 当 时， ，此时 ，所以 ；
② 当 时， ，此时 ，所以 ；
当 时， ，设方程 的两根为 且 ，
则
，③ 当 时， ， ，所以
此时，
（2） ，
所以函数 在区间 上为减函数，在区间 和 上
为增函数
① 是极点
② 是极点
得： 时，函数 极值点为 ， 时，函数 极
值点为 与
