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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
3．函数 的图像大致为
4．已知向量 ， 满足 ， ，则
A．4 B．3 C．2 D．0
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率
为
A． B． C． D．
6．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
7．在 中， ， ， ，则
A． B． C． D．
8．为计算 ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入开始
N 0,T 0
i1
是 否
i100
1
N N SN T
i
1 输出S
T T
i1
结束
A． B．
C． D．
9．在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切
值为
A． B． C． D．
10．若 在 是减函数，则 的最大值是
A． B． C． D．
11．已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，
则 的离心率为
A． B． C． D．
12．已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则
A． B．0 C．2 D．50
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线 在点 处的切线方程为__________．
14．若 满足约束条件 则 的最大值为__________．
15．已知 ，则 __________．
16．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若
的面积为 ，则该圆锥的体积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回
归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型
①： ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 的值依次为
）建立模型②： ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）
如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的
中点．（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离．
20．（12分）
设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两
点， ．
（1）求 的方程；
（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
21．（12分）
已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）证明： 只有一个零点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数
方程为 （ 为参数）．
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围．绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．B 4．B 5．D
6．A
7．A 8．B 9．C 10．C 11．D
12．C
二、填空题
13．y=2x–2 14．9 15． 16．8π
三、解答题
17．解：
（1）设{a }的公差为d，由题意得3a +3d=–15．
n 1
由a =–7得d=2．
1
所以{a }的通项公式为a =2n–9．
n n
（2）由（1）得S =n2–8n=（n–4）2–16．
n
所以当n=4时，S 取得最小值，最小值为–16．
n
18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=–
30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描
述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开
始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010年至2016年的数据建
立的线性模型 =99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化
趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到
的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，
说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网
19．解：
（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP= ．
连结 OB．因为 AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB=
=2．
由 知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．所以OM= ，CH= = ．
所以点C到平面POM的距离为 ．
20．解：
（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x ，y ），B（x ，y ）．
1 1 2 2
由 得 ．
，故 ．
所以 ．
由题设知 ，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
，即 ．
设所求圆的圆心坐标为（x ，y ），则
0 0
解得 或
因此所求圆的方程为
或 ．
21．解：
（1）当a=3时，f（x）= ，f ′（x）= ．
令f ′（x）=0解得x= 或x= ．
当x∈（–∞， ）∪（ ，+∞）时，f ′（x）>0；当x∈（ ， ）时，f ′（x）<0．
故f（x）在（–∞， ），（ ，+∞）单调递增，在（ ，
）单调递减．
（2）由于 ，所以 等价于 ．
设 = ，则g ′（x）= ≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，
所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多
有一个零点．学·科网
又f（3a–1）= ，f（3a+1）= ，故f（x）有一个零
点．
综上，f（x）只有一个零点．
22．解：
（1）曲线 的直角坐标方程为 ．
当 时， 的直角坐标方程为 ，
当 时， 的直角坐标方程为 ．
（2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程
．①
因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则
．
又 由 ① 得 ， 故 ， 于 是 直 线 的 斜 率
．
23．解：（1）当 时，
可得 的解集为 ．
（2） 等价于 ．
而 ，且当 时等号成立．故 等价于 ．
由 可得 或 ，所以 的取值范围是 ．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．i(2+3i)=( )
A．3-2i B．3+2i C．-3-2i D．-3+2i
解析：选D
2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=( )
A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}
解析：选C
3．函数f(x)= 的图像大致为 ( )
解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= >1,故选B
4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)= ( )
A．4 B．3 C．2 D．0
解析：选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率
为
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
解析：选D 5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。6．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
解析：选A e= c2=3a2 b=a
7．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB= ( )
A．4 B． C． D．2
解析：选A cosC=2cos2 -1= - AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32 AB=4
8．为计算S=1- + - +……+ - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入(
)
开始
N 0,T 0
i1
是 否
i100
1
N N SN T
i
1 输出S
T T
i1
结束
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
解析：选B
9．在正方体ABCD-ABCD 中，E为棱CC 的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(
1 1 1 1 1
)
A． B． C． D．
解析：选C 即AE与AB所成角，设AB=2,则BE=,故选C
10．若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是( )
A． B． C． D．π
解析：选C f(x)= cos(x+),依据f(x)=cosx与f(x)= cos(x+)的图象关系知a的最大值为。
11．已知F ，F 是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF⊥PF ，且∠PFF=600，则C
1 2 1 2 2 1
的离心率为( )
A．1- B．2- C． D．-1
解析：选D 依题设| PF|=c,| PF|=c,由| PF|+| PF|=2a可得
1 2 1 2
12．已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则
f(1)+f(2)+f(3)+
…+f(50)= ( )
A．-50 B．0 C．2 D．50
解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且
f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________．
解析：y=2x-214．若x,y满足约束条件 ,则z=x+y的最大值为__________．
解析：9
15．已知tan(α- )=，则tanα=__________．
解析：由两角差的正切公式展开可得tanα=
16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为300，若ΔSAB
的面积为8，则该圆锥的体积为__________．
解 析 ： 设 母 线 为 2a ， 则 圆 锥 高 为 a ， 底 面 半 径 为 a, 依 题 ×2a×2a=8,∴ a=2
∴V=×π×(2)×2=8π
