2014年广东高考（理科）数学试题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_广东高科数学（理+文）08-22_A4Word版

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合M {1,0,1}，N {0,1,2}，则M  N  A.{1,0,1} B.{1,0,1,2} C.{1,0,2} D.{0,1} 2．已知复数Z满足(34i)z 25，则Z= A.34i B.34i C.34i D.34i  y x  3．若变量x,y满足约束条件x y1且z 2x y的最大值和最小值分别为m和n，则mn  y1  A.8 B.7 C.6 D.5 x2 y2 x2 y2 4．若实数k满足0k 9，则曲线  1与曲线  1的 25 9k 25k 9 A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 5．已知向量a 1,0,1 ，则下列向量中与a成60夹角的是 A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1） 6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形 成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 近视率/% 小学生 高中生 3500名 2000名 50 30 初中生 4500名 10 O 小学 初中 高中 年级 A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100，10 7．若空间中四条两两不同的直线l ,l ,l ,l ，满足l l ,l l ,l l ，则下面结论一定正确的是 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4 A.l l B.l //l C.l ,l 既不垂直也不平行 D.l ,l 的位置关系不确定 1 4 1 4 1 4 1 4 8．设集合 A= x ,x ,x ,x ,x  x {1,0,1},i 1,2,3,4,5  ，那么集合 A 中满足条件“ 1 2 3 4 5 i 1 x  x  x  x  x 3”的元素个数为 1 2 3 4 5 A.60 B.90 C.120 D.130 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．不等式 x1  x2 5的解集为 。 10．曲线y  e5x 2在点(0,3)处的切线方程为 。 11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。 a 12．在ABC中，角 A,B,C 所对应的边分别为a,b,c，已知bcosC ccosB  2b，则  b 。 13．若等比数列  a n  的各项均为正数，且a 10 a 11 a 9 a 12  2e5，则lna 1 lna 2   lna 20  。（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 和C 的方程分别为sin2cos和 1 2 sin1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C 和C 交点的直角坐标为_________. 1 2 D C 15．（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD中， 点E在AB上且EB 2AE，AC 与DE交于点F ，则 CDF的面积 F  AEF的面积 A E B 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．  5 3 16．（本小题满分12分）已知函数 f(x)  Asin(x ),xR，且 f( )  ， 4 12 2 （1）求A的值； 3  3 （2）若 f() f()  ，(0, )，求 f( )。 2 2 4 17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件）， 获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根据上述 数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 [25,30 ] 3 0.12 (30,35 ] 5 0.20 (35,40 ] 8 0.32 (40,45 ] n 1 f 1 (45,50 ] n 2 f 2 （1）确定样本频率分布表中n ,n , f 和 f 的值； 1 2 1 2 （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间 （30,35］的概率。 A B 18．（本小题满分 13 分）如图 4，四边形 ABCD为 正 方 形 ， PD平 面 ABCD， DPC 300， AF  PC于点 F ， FE//CD， 交 D C E F PPD于点E. （1）证明：CF 平面ADF （2）求二面角DAF E的余弦值。 19．（本小题满分 14 分）设数列a 的前n和为 S ,满足 S 2na 3n2 4n,nN*，且 n n n n1 S 15， 3 (1)求a ,a ,a 的值; 1 2 3 (2)求数列a 的通项公式。 n x2 y2 20．（本小题满分14分）已知椭圆C:  1(ab0)的一个焦点为( 5,0)，离心率为 a2 b2 5 ， 3 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若动点P(x ,y )为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。 0 01 f(x) 21．（本小题满分14分） 设函数 ，其中k 2， (x2 2xk)2 2(x2 2xk)3 （1）求函数 f(x)的定义域D（用区间表示）； （2）讨论函数 f(x)在D上的单调性； （3）若k 6，求D上满足条件 f(x) f(1)的x的集合（用区间表示）。2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 已知集合 则 （B） M {1,0,1},N {0,1,2}, M N  A． B. C. D. {1,0,1} {1,0,1,2} {1,0,2} {0,1} 2.已知复数Z满足 则Z=（A） (34i)z 25, A．34i B. 34i C. 34i D. 34i  y x  3.若变量x,y满足约束条件 x y1且z 2x y的最大值和最小值分别为 m和n，则  y1  （C） A．8 B.7 C.6 D.5 4.若实数k满足 则曲线 x2 y2 与曲线 x2 y2 的（D） 0k 9,  1  1 25 9k 25k 9 A．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相 等 5.已知向量 a 1,0,1, 则下列向量中与 a 成 60 夹角的是（B） A．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1） 6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形 成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 （A） A、200,20 B、100,20 C、200,10 D、100,10 7、若空间中四条两两不同的直线 满足 ，则下列结论一定正确的是 l ,l ,l ,l l l ,l ,l ,l l 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4（D） A． B． C． 既不垂直也不平行 D． 的位置关系不确定 l l l //l l ,l l ,l 1 4 1 4 1 4 1 4 8. 设 集 合 A= x ,x ,x ,x ,x  x 1,0,1,i 1,2,3,4,5 ， 那 么 集 合 A 中 满 足 条 件 “ 1 2 3 4 5 i 1 x  x  x  x  x 3 ”的元素个数为（D） 1 2 3 4 5 A．60 B90 C.120 D.130 ８.解：A中元素为有序数组 x ,x ,x ,x ,x  ，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为1、仅2 1 2 3 4 5 个数为1或仅3个数为1，所以共有C12C222C3222130个不同数组； 5 5 5 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．不等式 的解集为 。 x1  x2 5 (,3) (2,)  10．曲线 在点 处的切线方程为 。 y  e5x 2 (0,3) y 5x3 1 11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。 6 11.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个， P C 6 3C 3 3  1 C3 6 10 a 12．在ABC中，角 A,B,C 所对应的边分别为a,b,c，已知bcosC ccosB  2b，则  b 2 。 13．若等比数列 a 的各项均为正数，且 a a a a  2e5 ， n 10 11 9 12 则 5 0 。 lna lna  lna  1 2  2n （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题） 14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 C 和C 的方程分别为 和 1 2 sin2cos ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲 sin 线C 和C 的交点的直角坐标为 (1,1) . 1 2 15、（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与 DE交于点F，则CDF的面积 ＝ 9 . AEF的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．  5 3 16、（12分）已知函数 f(x)  Asin(x ),xR，且 f( )  ， 4 12 2 （1）求A的值； 3  3 （2）若 f() f()  ，(0, )，求 f( )。 2 2 4 5 5  3 16.解：（1） f( ) Asin(  ) ， 12 12 4 2 3 3 A  ，A 3； f() f() 2 2   3 （2） f() f() 3sin( ) 3sin( ) ， 4 4 2 2 2 3  3[ (sincos) (sincos)] ， 2 2 2 3 6   6cos ，cos ，又(0, )， 2 4 2 10 sin 1cos2 ， 4 3 30 f( )  3sin() 3sin ． 4 4 17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据 如下： 根据上述数据得到样本的频率分布表如下： （1）确定样本频率分布表中 和 的值； n ,n , f f 1 2 1 2 （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间 （30,50］ 的概率。 17. 解：（1）n 7,n 2， f 0.28, f 0.08； 1 2 1 2 （2）样本频率分布直方图为频率 组距 0.064 0.056 0.04 0.024 0.016 0 25 30 35 40 45 50 日加工零件数 （3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2， 设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为，则~ B(4,0.2)， P(1)1P(0)1(10.2)4 10.40960.5904， 所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904． 18、（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于点F， FE∥CD，交PD于点E。 （1）证明：CF⊥平面ADF； （2）求二面角D－AF－E的余弦值。 18.（１） PD平面ABCD，  PD AD，又CD AD，PD  CD D， AD平面PCD， AD PC，又AF  PC， 平面 ，即 ； PC  ADF CF 平面ADF （２）设AB1，则RtPDC中，CD1，又DPC 300， z PC 2，PD 3，由（１）知CF  DF A B 3 7 DF  ，AF  AD2 DF2  ， 2 2 1 CF  AC2 AF2  ，又FE//CD， 2 DE CF 1 3 3 3 D C    ，DE  ，同理EF  CD ， PD PC 4 4 4 4 E y F 如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)， P 3 3 3 E( ,0,0)，F( , ,0)，P( 3,0,0)，C(0,1,0)， 4 4 4 x   3 m   AE AE ( ,0,0) 设m  (x,y,z)是平面AEF 的法向量，则 ，又 4 ， m   EF   E  F  (0, 3 ,0)  4    3 mAE  xz 0 所以 4 ，令x4，得z  3，m  (4,0, 3)，   3 mEF  y 0  4  由（１）知平面ADF 的一个法向量PC ( 3,1,0)， 设二面角DAF E的平面角为，可知为锐角，    |mPC| 4 3 2 57 cos|cosm, PC |    ，即所求． |m  ||PC| 192 19 19. （14分）设数列 a  的前 n 和为 S ,满足 S 2na 3n2 4n,nN* ，且 S 15 。 n n n n1 3 (1)求 的值; a ,a ,a 1 2 3 (2)求数列 的通项公式; a  n 19.解：S 4a 20，S S a 5a 20，又S 15， 2 3 3 2 3 3 3 a 7，S 4a 208，又S S a (2a 7)a 3a 7， 3 2 3 2 1 2 2 2 2 a 5，a S 2a 73， 2 1 1 2 综上知a 3，a 5，a 7； 1 2 3 （２）由（１）猜想a 2n1，下面用数学归纳法证明． n ①当n1时，结论显然成立； ②假设当nk（k 1）时，a 2k1， k 3(2k1) 则S 357(2k1) k k(k2)，又S 2ka 3k2 4k ， k 2 k k1 k(k 2)2ka 3k2 4k ，解得2a 4k 6， k1 k1 a 2(k 1)1，即当nk1时，结论成立； k1 由①②知，nN*, a 2n1． n 20. （14分）已知椭圆 x2 y2 的一个焦点为 ，离心率为 5 ， C:  1(ab0) ( 5,0) a2 b2 3 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若动点 为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。 P(x ,y ) 0 0 c 5 20.解：（１）可知c 5 ，又  ，a3，b2 a2 c2 4， a 3 x2 y2 椭圆C的标准方程为  1； 9 4 （２）设两切线为l ,l ， 1 2 ①当l  x轴或l //x轴时，对应l //x轴或l  x轴，可知P(3,2)； 1 1 2 2 1 ②当l 与x轴不垂直且不平行时，x 3，设l 的斜率为k，则k 0，l 的斜率为 ， 1 0 1 2 k x2 y2 l 的方程为y y k(xx )，联立  1， 1 0 0 9 4 得(9k2 4)x2 18(y kx )kx9(y kx )2 360， 0 0 0 0 因为直线与椭圆相切，所以0，得9(y kx )2k2 (9k2 4)[(y kx )2 4]0， 0 0 0 0 36k2 4[(y kx )2 4]0， 0 0 (x 2 9)k2 2x y k y 2 40 0 0 0 0 所以k是方程(x 2 9)x2 2x y x y 2 40的一个根， 0 0 0 01 同理 是方程(x 2 9)x2 2x y x y 2 40的另一个根， k 0 0 0 0 1 y 2 4 k( ) 0 ，得x 2  y 2 13，其中x 3， k x 2 9 0 0 0 0 所以点P的轨迹方程为x2  y2 13（x3）， 因为P(3,2)满足上式，综上知：点P的轨迹方程为x2  y2 13． 1 21.（本题14分）设函数 f(x) ，其中 ， k 2 (x2 2xk)2 2(x2 2xk)3 （1）求函数 的定义域D；（用区间表示） f(x) （2）讨论 在区间D上的单调性； f(x) （3）若 ，求D上满足条件 的 的集合。 k 6 f(x) f(1) x 21.解：（１）可知(x2 2xk)2 2(x2 2xk)30， [(x2 2xk)3][(x2 2xk)1]0， x2 2xk 3或x2 2xk 1， (x1)2 2k (2k 0)或(x1)2 2k (2k 0)， |x1| 2k 或|x1| 2k ， 1 2k  x1 2k 或x1 2k 或x1 2k ， 所以函数 f(x)的定义域D为 (,1 2k)  (1 2k, 1 2k)  (1 2k,)； 2(x2 2xk)(2x2)2(2x2) f '(x) （ ２ ） 3 2 (x2 2xk)2 2(x2 2xk)3 (x2 2xk1)(2x2)  ， 3 (x2 2xk)2 2(x2 2xk)3 由 f '(x)0得(x2 2xk1)(2x2)0，即(x1 k)(x1 k)(x1)0， x1 k 或1 x1 k ，结合定义域知x1 2k 或1 x1 2k ， 所以函数 f(x)的单调递增区间为(,1 2k)，(1,1 2k)， 同理递减区间为(1 2k,1)，(1 2k,)； （３）由 f(x) f(1)得(x2 2xk)2 2(x2 2xk)3(3k)2 2(3k)3， [(x2 2xk)2 (3k)2]2[(x2 2xk)(3k)]0， (x2 2x2k5)(x2 2x3)0， (x1 2k4)(x1 2k4)(x3)(x1)0， x1 2k4或x1 2k4 或x3或x1，  k 6，1(1,1 2k)，3(1 2k,1)， 1 2k4 1 2k ，1 2k4 1 2k ， 结合函数 f(x)的单调性知 f(x) f(1)的解集为(1 2k4,1 2k)  (1 2k,3)  (1,1 2k)  (1 2k,1 2k4)．