文档内容
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.
1．若集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i是虚数单位 )，则 =
A．3-2i B．3+2i C．2+3i D．2-3i
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A． B． C． D．
4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2
个球，所
取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为
A．1 B. C. D.
5．平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是
A． 或 B. 或
C. 或 D. 或
6．若变量x，y满足约束条件 则 的最小值为
A． B. 6 C. D. 4
7．已知双曲线C： 的离心率e= ，且其右焦点F ( 5 , 0 )，则双曲线C的方
2
程为 （ ）
A． B. C. D.
8．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值
A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3
二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9-13题）
9．在 的展开式中，x的系数为 。10．在等差数列{ }中，若 ，则 = 。
11．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c.若 a = ，sinB= ，C= ，则 b =
。
12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了
条毕业留言。（用数字作答）
13．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写
了 条毕业留言。（用数字做答）
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为 ，点A的
极坐标为 A( , )，则点A到直线l的距离为 。
15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切
点为C，
BC=1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD= 。
C B
D
O
P
E
三、解答题：本大题共 6小题，满分80分．解答须写出
A
文字说明、证明过程和演算步骤．
图1
16．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 xOy中，已知向量m=（ ， ），n=（sin x，cos x），x∈
（0， ）。
（1）若m⊥n，求tan x的值 （2）若m与n的夹角为 ，求x的值。
17．（本小题满分12分）
某工厂36名工人的年龄数据如下表。
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
1 40 1036 1927 2834
2 44 1131 2043 2939
3 40 1238 2141 3043
4 41 1339 2237 31385 33 1443 2334 3242
6 40 1545 2442 3353
7 45 1639 2537 3437
8 42 1738 2644 3549
9 43 1836 2742 3639
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽
到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值 和方差 ；
（3）36 名工人中年龄在 与 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到
0.01％）？
18．（本小题满分14分）
如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直， ，
， .点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且 ，
.
（1）证明： ；
（2）求二面角 的正切值；
H
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.
D E
C
G
A F B
图2
19．（本小题满分14分）
设a>1，函数 。
(1) 求 的单调区间 ；
(2) 证明： 在（ ，+∞）上仅有一个零点；
(3) 若曲线 在点P处的切线与 轴平行，且在点 处的切线与直线OP平
行（O是坐标原点）,证明：20．（本小题满分14分）
已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点A，B.
（1）求圆 的圆心坐标；
（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线C只有一个交点：若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）
数列 满足 , .
(1) 求 的值；
(2) 求数列 前n项和Tn；
(3) 令 ， （ ），证明：数列{ }的前n项
和
满足
2015 广东高考数学（理）试题（参考答
案）
1、A 2、D 3、A 4、C 5、D 6、C 7、B 8、C
9、6 10、10 11、1 12、1560 13、 15、8
16、以下为选择填空解析！
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的。
1.若集合 ，则
【答案】D
【解析】 ，2.若复数 （ 是虚数单位），则
【答案】A
【解析】 ，
3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
【答案】D
【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数， D选项为非奇非偶函数
4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2
个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为
【答案】B
【解析】
5. 平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是
【答案】A
【解析】设所求直线为 ，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可得
，解得 ，所求直线方程为
6. 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为
【答案】B
【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标
函数 ，则当目标函数过点（1， ），
取最小值为7. 已知双曲线 的离心率 ，且其右焦点为 ，则双曲线 的方程为
【答案】C
【解析】由双曲线右焦点为 ，则c=5，
，所以双曲线方程为
8. 若空间中 个不同的点两两距离都相等，则正整数 的取值
【答案】B
【解析】当 时，正三角形的三个顶点符合条件；当 时，正四面体的四个顶点符
合条件
故可排除A，C，D四个选项，故答案选B
二、填空题：本大题 共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9-13题）
9. 在 的展开式中， 的系数为 .
【答案】6
【解析】 ，则当 时， 的系数为
10. 在等差数列 中，若 ，则 .
【答案】10
【解析】由等差数列性质得， ，解得
，所以
11. 设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则b=
.
【答案】1
【解析】 ，又 ，故 ，所以
由正弦定理得， ，所以
12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了
条毕业留言。（用数字作答）
【答案】1560
13. 已知随机变量X服从二项分布 ， ， ，则 .
【答案】
【解析】 ， ，解得
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题），14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 的极坐标方程为 ，点 的极坐
标为 ，则点 到直线 的距离为 .
【答案】
【解析】
即直线 的直角坐标方程为 ，点A的直角坐标为（2，-2）
A到直线的距离为
15. (几何证明选讲选做题)如图1，已知 是圆 的直径， , 是圆 的切线，切
点为 ， ，过圆心 作 的平行线，分别交 和 于点 和点 ，则 =
.
【答案】8
【解析】
图1
如图所示，连结O，C两点，则 ,
,
则，所以 ,所以
