文档内容
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝(
)．
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．
A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i
3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a}的前n项和为S.已知S＝a＋10a，a＝9，则a＝( )．
n n 3 2 1 5 1
A． B． C． D．
4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l
α，l β，则( )．
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(
)．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S
＝( )．
A．
B．
C．
D．
7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，
(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图
可以为( )．
8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log6，b＝log10，c＝log14，则( )．
3 5 7
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件 若z＝2x＋y的最小值为1，则
a＝( )．
A． B． C．1 D．2
10．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．
A． x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
11．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为
直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为
面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．
A．(0,1) B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第
24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013 课标全国Ⅱ，理 13)已知正方形 ABCD的边长为 2，E为 CD的中点，则 ＝
__________.
14．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之
和等于5的概率为 ，则n＝__________.
15．(2013 课标全国Ⅱ，理 15)设θ为第二象限角，若 ，则 sin θ＋cos θ＝
__________.
16．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{a}的前n项和为S，已知S ＝0，S ＝25，则nS的最小值
n n 10 15 n
为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝
bcos C＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－ABC中，D，E分别是AB，BB的
1 1 1 1
中点，AA＝AC＝CB＝ .
1
(1)证明：BC∥平面ACD；
1 1
(2)求二面角D－AC－E的正弦值．
1
19．(2013课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1
t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量
的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品．以 X(单位：
t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品
的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作
为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需
求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．20．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： (a＞b
＞0)右焦点的直线 交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 .
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
21．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且
BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C： (t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，
M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤ ；
(2) .2013年普通高等学校招生全国统一考试数学
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．
答案：A
解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝
{0,1,2}，故选A.
2．
答案：A
解析： ＝ ＝－1＋i.
3．
答案：C
解析：设数列{a}的公比为q，若q＝1，则由a＝9，得a＝9，此时S＝27，而a＋10a＝99，不满足题
n 5 1 3 2 1
意，因此q≠1.
∵q≠1时，S＝ ＝a·q＋10a，
3 1 1
∴ ＝q＋10，整理得q2＝9.
∵a＝a·q4＝9，即81a＝9，∴a＝ .
5 1 1 1
4．
答案：D
解析：因为m⊥α，l⊥m，l α，所以l∥α.同理可得l∥β.
又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.
5．
答案：D
解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为 (0≤r≤5，r∈Z)，则含x2的项为 ＋ax· ＝(10
＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.
6．
答案：B
解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；
当k＝2时， ， ；
当k＝3时， ， ；
当k＝4时， ， ；…；
当k＝10时， ， ，k增加1变为11，满足k＞N，输出S，
所以B正确．
7．
答案：A
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：则它在平面zOx上的投影即正视图为 ，故选A.
8．
答案：D
解析：根据公式变形， ， ， ，因为lg 7＞lg 5
＞lg 3，所以 ，即c＜b＜a.故选D.
9．
答案：B
解析：由题意作出 所表示的区域如图阴影部分所示，
作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为
(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得
，所以 .
10．
答案：C
解析：∵x是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则
0
在(－∞，x)上不单调，故C不正确．
0
11．
答案：C
解析：设点M的坐标为(x，y)，由抛物线的定义，得|MF|＝x＋ ＝
0 0 0
5，则x＝5－ .
0
又点F的坐标为 ，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x) ＋(y－y)y＝0.
0 0
将x＝0，y＝2代入得px＋8－4y＝0，即 －4y＋8＝0，所以y＝4.
0 0 0 0
由 ＝2px，得 ，解之得p＝2，或p＝8.
0
所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.
12．
答案：B
第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第
24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．答案：2
解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为
(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则 ＝(1,2)， ＝(－2,2)，所以
.
14．答案：8
解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有 种取法，两数之和为
5的有(1,4)，(2,3)2种，所以 ，即 ，
解得n＝8.
15．答案：
解析：由 ，得tan θ＝ ，即sin θ＝ cos θ.
将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得 .
因为θ为第二象限角，所以cos θ＝ ，sin θ＝ ，sin θ＋cos θ＝ .
16．答案：－49
解析：设数列{a}的首项为a，公差为d，则S＝ ＝10a＋45d＝0，①
n 1 10 1
S＝ ＝15a＋105d＝25.②
15 1
联立①②，得a＝－3， ，
1
所以S＝ .
n
令f(n)＝nS，则 ， .
n
令f′(n)＝0，得n＝0或 .
当 时，f′(n)＞0, 时，f′(n)＜0，所以当 时，f(n)取最小值，而n∈N ，则
＋
f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)由已知及正弦定理得
sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①
又A＝π－(B＋C)，故
sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，
又B∈(0，π)，所以 .(2)△ABC的面积 .
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－ .
又a2＋c2≥2ac，故 ，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为 .
18．
解：(1)连结AC交AC于点F，则F为AC中点．
1 1 1
又D是AB中点，连结DF，则BC∥DF.
1
因为DF⊂平面A
1
CD，BC
1
平面A
1
CD，
所以BC∥平面ACD.
1 1
(2)由AC＝CB＝ 得，AC⊥BC.
以C为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A(2,0,2)， ＝(1,1,0)， ＝(0,2,1)， ＝(2,0,2)．
1
设n＝(x，y，z)是平面ACD的法向量，
1 1 1 1
则 即
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m是平面ACE的法向量，
1
则 可取m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝ ，
故sin〈n，m〉＝ .
即二面角D－AC－E的正弦值为 .
1
19．
解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率
的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T 45 000 53 000 61 000 65 000
P 0.1 0.2 0.3 0.4
所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
20．
解：(1)设A(x，y)，B(x，y)，P(x，y)，
1 1 2 2 0 0
则 ， ， ，由此可得 .
因为x＋x＝2x，y＋y＝2y， ，
1 2 0 1 2 0
所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为( ，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为 .
(2)由
解得 或
因此|AB|＝ .
由题意可设直线CD的方程为
y＝ ，
设C(x，y)，D(x，y)．
3 3 4 4
由 得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x ＝ .
3,4
因为直线CD的斜率为1，
所以|CD|＝ .
由已知，四边形ACBD的面积 .
当n＝0时，S取得最大值，最大值为 .
所以四边形ACBD面积的最大值为 .
21．
解：(1)f′(x)＝ .
由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.
于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ .
函数f′(x)＝ 在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.
当m＝2时，函数f′(x)＝ 在(－2，＋∞)单调递增．
又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，
故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x，且x∈(－1,0)．
0 0
当x∈(－2，x)时，f′(x)＜0；
0
当x∈(x，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x时，f(x)取得最小值．
0 0
由f′(x)＝0得 ＝ ，ln(x＋2)＝－x，
0 0 0
故f(x)≥f(x)＝ ＋x＝ ＞0.
0 0
综上，当m≤2时，f(x)＞0.
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．
解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，
所以∠DCB＝∠A，由题设知 ，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C四点共圆，
所以∠CFE＝∠DBC，
故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2
＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为 .
23．
解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为 (α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
24．
解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤ .
(2)因为 ， ， ，故 ≥2(a＋b＋c)，
即 ≥a＋b＋c.
所以 ≥1.
