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2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）
数学（理科）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
x
x x
1.若集合A={ -2＜ ＜1}，B={ 0＜ ＜2}则集合A ∩ B=
x x
x x
A. { -1＜ ＜1} B. { -2＜ ＜1}
x x
x x
C. { -2＜ ＜2} D. { 0＜ ＜1}
2.若复数z=1+i，z=3-i，则z·z=
1 2 1 2
A．4 B. 2+ i C. 2+2 i D.3
3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
A．f（x）与g（x）均为奇函数 B. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
5
{a } a a 2a a a
4
4. 4.已知 n 为等比数列，S是它的前n项和。若 2 3 1， 且 4与2 7的等差中项为 ，
n
S
则 5=
A．35 B.33 C.31 D.29
1
m
4 x2 xm0
5. “ ”是“一元二次方程 ”有实数解“的
A．充分非必要条件 B.充分必要条件
C．必要非充分条件 D.非充分必要条件
3
6.如图1，△ ABC为三角形，AA//BB // CC , CC ⊥平面ABC 且3 AA = 2 BB =
CC ABC
=AB,则多面体△ABC - 的正视图（也称主视图）是
A B C D
7已知随机变量X服从正态分 w_w 布w.k*s_5 u.c o_m N(3.1)，且p(2 ≤X ≤4)=0.6826，则p（X>4）=
A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585
8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同
。记这这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，
而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是
A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（9-13题）
w_w w.k*s_5 u.c o_m
f(x) x
9. 函数 =lg( -2)的定义域是 .
r r r r r r
a b c (ca)(2b) x
10.若向量 =（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件 =-2,则 = .
3
11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b= , A+C=2B,则sinC= .
2
12.已知圆心在x轴上，半径为 的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
w_w w.k*s_5 u.c o_m
13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了
抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x…x(单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若
1 n
n=2,且x x 分别为1,2，则输出地结果s为 .
1， 2 w_w w.k*s_5 u.c o_m
14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交
2a
于AB的中点P，PD= 3 ，∠OAP=30°，则CP＝______.
w_w w.k*s_5 u.c o_m
15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线
ρ=2sin 与 pcos1 的交点的极坐标为______。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算
步骤。
16、（本小题满分14分）
x
已知函数 f(x) Asin(3x)(A0,x(,),0 在 12时取得最大值4
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 求f(x)的解析式；
2 12
(3) 若f(3 α +12)= 5 ,求sinα
w_w w.k*s_5 u.c o_m
17.(本小题满分12分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算
495 500 515
出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490, ，（495, ，……（510, ，
由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。
（1） 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。
（2） 在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列。
（3） 从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。
18.（本小题满分14分）
w_w w.k*s_5 u.c o_m
� �
ABC AC
如图5， 是半径为a的半圆，AC为直径，点E为 的中点，点B和点C为线段AD的三等分
5 6
点。平面AEC外一点F满足FB=FD= a，FE= a图5
（1） 证明：EB⊥FD；
2 2
3 3
（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ= FE,FR= FB,求平面BED与平面RQD所成
二面角的正弦值。
19.（本小题满分12分）
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个
单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质
和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个
单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且
花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
w_w w.k*s_5 u.c o_m
20．（本小题满分为14分）
x2
y2 1
p(x ,y ) Q(x ,y )
2
一直双曲线 的左、右顶点分别为A,A ，点 1 1 ， 1 1 是双曲线上
1 2
不同的两个动点
（1） 求直线A与AQ交点的轨迹E的方程式；
2
l l
（2） 若点H(O, h)（h>1）的两条直线l和l与轨迹E都只有一个交点，且 1 2 求h的值。
1 2 ,
21．（本小题满分14分）
x ,y x ,y
设A( 1 1),B( 2 2)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离
p(A,B)为
w_w w.k*s_5 u.c o_mx x y y
P(A,B)= 2 1 + 2 1 .
xOy x ,y x ,y
对于平面 上给定的不同的两点A( 1 1),B( 2 2)
xOy (A,C) (C,B) (A,B)
(1) 若点C（x, y）是平面 上的点，试证明P +P P ;
xOy
(2) 在平面 上是否存在点C(x, y),同时满足
(A,C) (C,B) (A,B) (A,C) (C,B)
1. ①P +P = P ②P = P
若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。
2010 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1．D．【解析】 ．
2．A．【解析】
3．B．【解析】 ．4．C．【解析】设{ }的公比为 ，则由等比数列的性质知， ，即
。
由 与2 的等差中项为 知， ， ．
∴ ，即 ． ， ， .
5．A．【解析】由 知， ．
（或由 得 ， 。） ， 反之不成立，故选A。
6．D．
7．B．【解析】
8．C．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个
闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120—1）=595秒。那么需要的时间至少是600＋595=1195秒。
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9． ．【解析】由 ，得 ，所以函数的定义域为 ．
10．2．【解析】 ， ，解
得 ．
11． ．【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知， ，
即 ．由 知， ，则 ，
于是 ．
12． ．【解析】设圆心为 ，则 ，解得
．
13． ． 14． ．【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知， .
在 中， . A
O D
由相交弦定理知， ，
P
即 ，所以 ． C
B15． ．【解法1】两条曲线的普通方程分别为 ．解得
由 得点 的极坐标为 ．
【解法2】由 得 ， ，
或 ， 或 （舍），从而 ，交点坐标为 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
， ， ， ， ．
17．（1）重量超过505克的产品数量是
件；
（2）Y的所有可能取值为0，1，2；
， ， ，
Y的分布列为
（3）从流水线 上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量
超过505克的概率为。
18．（1）证明： 连结 ，因为 是半径为 的半圆， 为直径，点 为 的中点，
所以 。
在 中， 。
在 中， ， 为等腰三角形，且点 是底边 的中点，故
。
在 中， ，所以 为 ，且
。
因为 ， ，且 ，所以 平面 ，
而 平面 ， 。
因为 ， ，且 ，所以 平面 ，
而 平面 ， 。
（2）设平面 与平面RQD的交线为 .
由 ， ，知 .
而 平面 ，∴ 平面 ，
而平面 平面 = ，∴ .
由（1）知， 平面 ，∴ 平面 ，
而 平面 ，∴ ， ，
∴ 是平面 与平面 所成二面角的平面角．
在 中， ，
， ．
在 中，由 知， ，
由余弦定理得，由 正 弦 定 理 得 ， ， 即 ，
。
故平面 与平面 所成二面角的正弦值为 。
19．解：设为该儿童分别预订 个单位的午餐和晚餐，共花费 元，则 ，且
满足以下条件
y
即
3x+2y=1
作直线 ，平移直线 至 ，
6
x+y=7
当 经过C点时，可使 达到最小值。
由 即 ， x
此时 ，
3x+5y=27
A
答: 午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费
最少z=22元。
20．（1）解：由 为双曲线的左右顶点知， C
2.5x+4y=0 B
O
，
， 两 式 相 乘
，
因为点 在双曲线上，所以 ，即 ，故 ，
所以 ，即直线 与 交点的轨迹 的方程为 .
（2）解法1：设 ，则由 知， 。将 代入
得，即 ，
由 与E只有一个交点知， ，即 。
同理，由 与E只有一个交点知， ，消去 得 ，即 ，
从而 ，又 ， 。
[来
解法2：由题意知直线 和 都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为
和 ，设其方程为 ，代入椭圆E的方程 得 ，
即
由 得 ，即 ， ，
21．（1）证明：由绝对值不等式知，
当且仅当 且 时等号成立。
（2）解：由 得
且 （Ⅰ）
由 得 （Ⅱ）
因为 ， 是不同的两点，则：
若 且 ，不妨设 ，
由（Ⅰ）得 且 ，由（Ⅱ）得 ，
此时，点 是线段 的中点，即只有点 满足条件；
若 且 ，同理可得：只有 的中点 满足条件；
若 且 ，不妨设 且 ，
由（Ⅰ）得 且 ，
由（Ⅱ）得 ，
此时，所有符合条件的点 的轨迹是一条线段，即：过 的中点 ，斜率为 的直线 夹在矩形 之间的部分，其中 ，
， ， 。
