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2011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
参考公式：（1） ，其中 为两个事件，且 ，
（2）柱体体积公式 ，其中 为底面面积， 为高。
（3）球的体积公式 ，其中 为求的半径。
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）（2011•湖南）若a，b R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（ ）
A a=1，b=1 B a=﹣1，b=1 C a=﹣1，b=﹣1 D a=1，b=﹣1
． ． ∈ ． ．
2．（5分）（2011•湖南）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N M”的（ ）
A 充分不必要条 B 必要不充分条
． 件 ． 件 ⊆
C 充分必要条件 D 既不充分又不
． ． 必要条件
3．（5分）（2011•湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A 9π+42 B 36π+18 C D
． ． ． ．
4．（5分）（2011•湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到
如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110由 算得，
．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A 在犯错误的概
． 率不超过0.1%
的前提下，认
为“爱好该项
运动与性别有
关”
B 在犯错误的概
． 率不超过0.1%
的前提下，认
为“爱好该项
运动与性别无
关”
C 有99%以上的
． 把握认为“爱
好该项运动与
性别有关”
D 有99%以上的
． 把握认为“爱
好该项运动与
性别无关”
5．（5分）（2011•湖南）设双曲线 的渐近线方程为3x±2y=0，则a
的值为（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
． ． ． ．
6．（5分）（2011•湖南）由直线 与曲线y=cosx所围成的封闭图形
的面积为（ ）
A B 1 C D
． ． ． ．
7．（5分）（2011•湖南）设m＞1，在约束条件 下，目标函数Z=X+my的最大值
小于2，则m 的取值范围为（ ）A （1， ） B （ ， C （1，3） D （3，+∞）
． ． +∞） ． ．
8．（5分）（2011•湖南）设直线x=t 与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点
M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A 1 B C D
． ． ． ．
二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）
9．（5分）（2011•湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （α
1
为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴
正半轴为极轴）中，曲线C 的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C 与C 的交点个数为
2 1 2
_________ ．
10．（5分）（2011•湖南）设x，y R，且xy≠0，则 的最小值
∈
为 ________ _ ．
11．（2011•湖南）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足
为D，BE与AD相交与点F，则AF的长为 ________ _ ．
12．（5分）（2011•湖南）设S 是等差数列{a }（n N*）的前n项和，且a =1，a =7，则
n n 1 4
S = ________ _ ．
9
∈
13．（5分）（2011•湖南）若执行如图所示的框图，输入x =1， ，
1
则输出的数等于 ________ _ ．14．（5分）（2011•湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设 ， 则
= ________ _ ．
15．（5分）（2011•湖南）如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将
一颗豆子随机地扔到该院内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件
“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）= ________ _ ； （2）P（B|A）= ________ _ ．
16．（5分）（2011•湖南）对于n N+，将n 表示n=a ×2k+a ×2k﹣1+a ×2k﹣2+…+a
0 1 2 k﹣
×21+a ×20，当i=0时，a=1，当1≤i≤k时，a 为0或1．记I（n）为上述表示中a 为0的个
1 k i 1 i
∈
数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），则
（1）I（12）= ________ _ ；（2） = ________ _ ．
三、解答题（共6小题，满分75分）
17．（12分）（2011•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
csinA=acosC．
（1）求角C的大小；
（2）求 sinA﹣cos （B+ ）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．
18．（12分）（2011•湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件） 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，
当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，
将频率视为概率．
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．
19．（12分）（2011•湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO= ，⊙O的直径AB=2，C是
的中点，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．20．（13分）（2011•湖南）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作
匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c R）．E移动时单位时
间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值
∈
与|v﹣c|×S成正比，比例系数为 ；（2）其它面的淋雨量之和，其值为 ，记y为E移动
过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S= 时．
（Ⅰ）写出y的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最
少．
21．（13分）（2011•湖南）如图，椭圆C ： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，x轴
1
被曲线C ：y=x2﹣b截得的线段长等于C 的长半轴长．
2 1
（Ⅰ）求C ，C 的方程；
1 2
（Ⅱ）设C 与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C 相交于点A、B，直线MA，
2 2
MB分别与C 相交与D，E．
1
（i）证明：MD⊥ME；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S ，S ．问：是否存在直线l，使得 = ？请说
1 2
明理由．
22．（13分）（2011•湖南）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+ ．
（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ a }（n N*）满足a =a（a＞0），f（a ）=g（a ），证明：存在常数M，
n 1 n+1 n
使得对于任意的n N*，都有a ≤M．
n
∈
∈一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的。
1.若 ， 为虚数单位，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
2.设 ， ，则“ ”是“ ”则（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要
条件
答案：A
解 析 ： 因 “ ” ， 即 ， 满 足 “ ” ， 反 之 “ ” ， 则
，或 ，不一定有“ ”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球 构成的组合体，其体积
4 3 9
V （ ）3+332= 18。
3 2 2
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由 算得
附表：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
答案：C解析：由 ，而 ，故由独立性检验的意义可知选
K 2 7.86.635 P(K2 6.635)0.010
C.
5.设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 ，故可知 。
6. 由直线 与曲线 所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
答案：D
解析：由定积分知识可得 ，故选D。
7. 设 ，在约束条件 下，目标函数 的最大值小于2，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：画出可行域，可知 在点 取最大值，由 解
得 。
8.设直线 与函数 的图像分别交于点 ，则当 达到最
小时 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
答案：D
解析：由题 ， 不妨令 ，则 ，令解得 ，因 时， ，当 时， ，
所以当 时， 达到最小。即 。
二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在
答题卡中对应题号的横线上。
一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记
分）
9.在直角坐标系 中，曲线C 的参数方程为 （ 为参数）在极坐
1
标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以 轴正半轴
为极轴）中，曲线 的方程为 ，则 与 的交点个数为
。
答案：2
解析：曲线 ， ，由圆心到直线的距离
，故 与 的交点个数为2.
10.设 ,则 的最小值为 。
答案：9
解析：由柯西不等式可知 。
11.如图2， 是半圆周上的两个三等分点，直径 ，
,垂足为D, 与 相交与点F，则 的长为 。
答案：解析：由题可知， ， ,得 , ，
又 ，所以 .
二、必做题（12~16题）
12、设 是等差数列 的前 项和，且 ，则
答案：25
解析：由 可得 ，所以 。
13、若执行如图3所示的框图，输入 ，
则输出的数等于 。
答案：
解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则 。
14 、 在 边 长 为 1 的 正 三 角 形 中 ， 设
，则 。
答案：
解析：由题 ， ，
所以 。
15、如图4， 是以 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，
将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形
内”，B表示事件“豆子落在扇形 （阴影部分）内”，
则
（1） ；（2）
答案：（1） ；（2）
解析：（1）由几何概型概率计算公式可得 ；（2）由条件概率的计算公式可得 。
16、对于 ，将 表示为 ，
当 时， ，当 时， 为0或1.记 为上述表示中 为0的个数，
（例如 ， ：故 ）则
（1） （2）
答案：（1）2；（2）
解析：（1）因 ，故 ；
（2）在2进制的 位数中，没有0的有1个，有1个0的有 个，有2个0的
有 个，……有 个0的有 个，……有 个0的有 个。故对所有2进
制为 位数的数 ，在所求式中的 的和为：
。
又 恰为2进制的最大7位数，所以 。
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足
.
（I）求角 的大小；
（II）求 的最大值，并求取得最大值时角 的大小．
解析：（I）由正弦定理得
因为 所以
（II）由（I）知 于是取最大值2．
综上所述， 的最大值为2，此时
18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日 销 售 量 0 1 2 3
（件）
频数 1 5 9 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有
该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2件，则当天进货补
充至3件，否则不进货，将频率视为概率。
(Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。
解析：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P
（“当天商品销售量1件”）= 。
（II）由题意知， 的可能取值为2，3.
；
故 的分布列为
2 3的数学期望为 。
19. （ 本 题 满 分 12 分 ） 如 图 5 ， 在 圆 锥 中 ， 已 知 的 直 径
的中点．
（I）证明：
（II）求二面角 的余弦值．
解：（I）连接 ，因为 , 为的 中点，
所以 .
又
因为 内的两条相交直线，所以
而 ，所以
。
（II）在平面 中，过 作 于 ，由（I）知， ,所
以 又 所以 .
在平面 中，过 作 连接 ,则有 ，
从而 ，所以 是二面角 的平面角．
在
在
在
在 ,所以 。故二面角 的余弦值为 。
20. 如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速
度为 ，雨速沿E移动方向的分速度为 。E移动时单位时间内的淋
雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其
值与 ×S成正比，比例系数为 ；（2）其它面的淋雨量之和，其值为 ，
记 为 E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 d=100，面积 S= 时。
（Ⅰ）写出 的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度 ，使总
淋雨量 最少。
解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为 ，
故 .
（II）由(I)知，当 时，当 时，
故 。
(1)当 时， 是关于 的减函数.故当 时， 。
(2) 当 时，在 上， 是关于 的减函数；在 上， 是关于
的增函数；故当 时， 。
A.(本小题满分13分）
如图7，椭圆 的离心
率为 ， 轴被曲线C : y x2 b 截得的线段
2
C
长等于 1的长半轴长。
C C
（Ⅰ）求 1， 2的方程；
C
（Ⅱ）设 2与 轴的交点为M，过坐标原点O的
C C
直线 与 2相交于点A,B,直线MA,MB分别与 1相
交与D,E.（i）证明： ；
S 17
1
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是 .问：是否存在直线 ,使得S =32 ?
2
请说明理由。
解析：（I）由题意知 ，从而 ，又 ，解得 。
C C
故 1， 2的方程分别为 。
（II）（i）由题意知，直线 的斜率存在，设为 ，则直线 的方程为 .
由 得 ，
设 ，则 是上述方程的两个实根，于是 。
又点 的坐标为 ，所以
故 ，即 。
（ii）设直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，由 解得
或 ，则点的坐标为
又直线 的斜率为 ，同理可得点B的坐标为 .
于是由 得 ，
解得 或 ，则点 的坐标为 ；
又直线的斜率为 ，同理可得点 的坐标
于是
因此
由题意知， 解得 或 。
又由点 的坐标可知， ，所以
故满足条件的直线 存在，且有两条，其方程分别为 和 。
22.（本小题满分13分）
已知函数 ( ) = ，g ( )= + 。
（Ⅰ）求函数h ( )= ( )-g ( )的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列 满足 ， ，证明：存在常
数M,使得对于任意的 ，都有 ≤ .解 析 ： （ I ） 由 知 ， ， 而 ， 且
，则 为 的一个零点，且 在 内有
零点，因此 至少有两个零点
解法1： ，记 ，则 。
当 时， ，因此 在 上单调递增，则 在 内
至多只有一个零点。又因为 ，则 在 内有零点，所
以 在 内有且只有一个零点。记此零点为 ，则当 时，
；当 时， ；
所以，
当 时， 单调递减，而 ，则 在 内无零点；
当 时， 单调递增，则 在 内至多只有一个零点；
从而 在 内至多只有一个零点。综上所述， 有且只有两个零点。
解法2： ，记 ，则 。
当 时， ，因此 在 上单调递增，则 在 内
至多只有一个零点。因此 在 内也至多只有一个零点，
综上所述， 有且只有两个零点。
（II）记 的正零点为 ，即 。
（1）当 时，由 ，即 .而 ，因此 ，
由此猜测： 。下面用数学归纳法证明：
①当 时， 显然成立；
②假设当 时，有 成立，则当 时，由知， ，因此，当 时， 成立。
故对任意的 ， 成立。
（2）当 时，由（1）知， 在 上单调递增。则 ，即
。从而 ，即 ，由此猜测： 。下面
用数学归纳法证明：
①当 时， 显然成立；
②假设当 时，有 成立，则当 时，由
知， ，因此，当 时， 成立。
故对任意的 ， 成立。
综上所述，存在常数 ，使得对于任意的 ，都有 .
