文档内容
2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
（湖南卷）
参考公式（1）柱体体积公式V Sh，其中S 为底面面积，h为高．
4
（2）球的体积公式V R3，其中R为球的半径．
3
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩C N=﹛2,4﹜,则N=
u
A．{1,2,3} B． {1,3,5} C． {1,4,5} D． {2,3,4}
2．若 ， 为虚数单位，且 则
3
A． ， B．
C． D．
2
3
3．“ ”是“ ” 的
正视图 侧视图
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
俯视图
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下图的1列联表：
女 总计
男
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由 算 得 ，
附表：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”6．设双曲线 的渐近线方程为 ，则a的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
7．曲线 在点M（ ，0）处的切线的斜路为
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若有 ，则b的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题
卡中对应题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）
9．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （ 为参数）.在极坐标系
1
（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）
中，曲线C 的方程为 ，则C 与C 的交点个数为
2 1 2
10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是
（二）必做题（11～16题）
11．若执行如图2所示的框图，输入 ， 则输出的数等于
12．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（-2）=3，则f（2）=_________．
13．设向量a，b满足|a|=2 ，b=（2，1），且a与b的方向相反，则a的坐标为
________．
y x
14．设m1,在约束条件 ymx 下，目标函数z x5y的最大值为4，则m的值为
x y1
．
15．已知圆C:x2 y2 12,直线l:4x3y 25.
（1）圆C的圆心到直线l的距离为 ．
（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 ．
16．给定kN*，设函数 f :N* N*满足：对于任意大于k的正整数n， f(n)nk
（1）设k 1，则其中一个函数 f 在n1处的函数值为 ；（2）设k 4，且当n4时，2 f(n)3，则不同的函数 f 的个数为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且满足c sinA=acosC．
（I）求角C的大小；
（II）求 sinA-cos（B+ ）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小.
18．（本小题满分12分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y（单位：万千瓦时）与该河
上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每
增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220,
200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.
（Ⅰ）完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是
为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过530
（万千瓦时）的概率．
19．（本小题满分12分）
如图 3，在圆锥 中，已知 的直径
PO PO 2, O
AB 2,点C在AB上, 且CAB=30,D为AC
的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ;
（Ⅱ）求直线 和平面 所成角的正弦值.20．（本小题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备 ， 的价值在使用过程中
逐年减少．从第2年到第6年，每年初 的价值比上年初减少10万元；从第7年开
始，每年初 的价值为上年初的75%．
（Ⅰ）求第 年初 的价值 的表达式；
（Ⅱ）设 ，若 大于80万元，则 继续使用，否则须在第
年初对 更新，证明：须在第9年初对 更新．
21．（本小题满分13分）
已知平面内一动点 到点 的距离与点 到 轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 作两条斜率存在且互相垂直的直线 ，设 与轨迹 相交于点 ，
与轨迹 相交于点 ，求 的最小值.
22．（本小题满分13分）
设函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性.
（Ⅱ）若 有两个极值点 ，记过点 的直线斜率为 .
问：是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学试题卷（文史类）参考答案
一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分)
1、(2011•湖南)设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C N=﹛2，4﹜，则N=( )
u
A、{1，2，3} B、{1，3，5}
C、{1，4，5} D、{2，3，4}
考点：交、并、补集的混合运算。
分析：利用集合间的故选，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合N．
解答：解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C N=﹛2，4﹜，
u
∴集合M，N对应的韦恩图为
所以N={1，3，5}
故选B
点评：本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具．考查数形结合的数学思
想方法．
2、(2011•湖南)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a+i)i=b+i则( )
A、a=1，b=1 B、a=﹣1，b=1
C、a=1，b=﹣1 D、a=﹣1，b=﹣1
考点：复数相等的充要条件。
专题：计算题。
分析：根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充
要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值．
解答：解：∵(a+i)i=b+i，
∴ai﹣1=b+i，
∴a=1，b=﹣1，
故选C．点评：本题考查复数的乘法运算，考查复数相等的条件，是一个基础题，这种题目一般出
现在试卷的前几个题目中．
3、(2011•湖南)“x＞1”是“|x|＞1”的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件
考点：充要条件。
分析：解绝对值不等式，进而判断“x＞1”⇒“|x|＞1”与“|x|＞1”⇒“x＞1”的真假，再
根据充要条件的定义即可得到答案．
解答：解：当“x＞1”时，“|x|＞1”成立
即“x＞1”⇒“|x|＞1”为真命题
而当“|x|＞1”时，x＜﹣1或x＞1，即“x＞1”不一定成立
即“|x|＞1”⇒“x＞1”为假命题
∴“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件
故选A
点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“x＞1”⇒“|x|＞1”
与“|x|＞1”⇒“x＞1”的真假，是解答本题的关键．
4、(2011•湖南)设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A、9π+42 B、36π+18 C、 D、
考点：由三视图求面积、体积。
专题：计算题。
分析：由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是
一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相
加．
解答：解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是 3的正方
形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，
四棱柱的体积3×3×2=18，
球的体积是 ，
∴几何体的体积是18+ ，
故选D．
点评：本题考查由三视图求面积和体积，考查球体的体积公式，考查四棱柱的体积公式，
本题解题的关键是由三视图看出几何图形，是一个基础题．
5、(2011•湖南)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联
表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由 算得，
附表：
p(k2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别五关”
考点：独立性检验的应用。
专题：计算题。
分析：根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的
结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
解答：解：由题意知本题所给的观测值，
∵7.8＞6.635，∴这个结论有0.01=1%的机会说错，
即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
故选A．
点评：本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较
大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一
个基础题．
6、(2011•湖南)设双曲线 的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为( )
A、4 B、3
C、2 D、1
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
分析：先求出双曲线 的渐近线方程，再求a的值．
解答：解： 的渐近线为y= ，
∵y= 与3x±2y=0重合，
∴a=2．
故选C．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
7、(2011•湖南)曲线 在点M( ，0)处的切线的斜率为( )
A、 B、
C、 D、
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。
专题：计算题。
分析：先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x= 处的导数，从而求出切线的斜率．
解答：解：∵
∴y'=
=
y'| = | =
x= x=
故选B．
点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基
础题．
8、(2011•湖南)已知函数f(x)=ex﹣1，g(x)=﹣x2+4x﹣3，若有f(a)=g(b)，则b的取值范围为(
)
A、 B、(2﹣ ，2+ ]
C、[1，3] D、(1，3)
考点：函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题。
分析：利用f(a)=g(b)，整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．
解答：解：∵f(a)=g(b)，
∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3
∴﹣b2+4b﹣2=ea＞0
即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣ ＜b＜2+
故选B
点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．
二、填空题(共8小题，每小题5分，满分35分)
9、(2011•湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 (α为参数)在极坐
1
标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中曲线C 的方程为p(cosθ﹣sinθ)+1=0，则C 与C 的交点个数为 2 ．
2 1 2
考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程。
专题：计算题。
分析：先根据同角三角函数的关系消去参数α可求出曲线C 的普通方程，然后利用极坐标
1
公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ进行化简即可求出曲线C 普通方程，最后利用直角坐标方
2
程判断C 与C 的交点个数即可．
1 2
解答：解：由曲线C 的方程为p(cosθ﹣sinθ)+1=0，∴x﹣y+1=0．即y=x+1；
2
将曲线C 的参数方程化为普通方程为 ．
1
∴消去y整理得：7x2+8x﹣8=0．
△＞0，∴此方程有两个不同的实根，
故C 与C 的交点个数为2．
1 2
故答案为2．
点评：本题主要考查椭圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程，求直线与椭圆的交点个数
考查运算求解能力及转化的思想，属于基础题．
10、(2011•湖南)【选做】已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第
二次试点可以是 4 0 或 60 ( 只写出其中一个也正确 ) ．
考点：分数法的最优性。
分析：由题知试验范围为[10，90]，区间长度为80，故可把该区间等分成8段，利用分数
法选取试点进行计算．
解答：解：由已知试验范围为[10，90]，可得区间长度为80，将其等分8段，
利用分数法选取试点：x=10+ ×(90﹣10)=60，x=10+90﹣60=40，
1 2
由对称性可知，第二次试点可以是40或60．
故答案为：40或60．
点评：本题考查的是分数法的简单应用．一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况
考虑：(1)可能的试点总数正好是某一个(F﹣1)．(2)所有可能的试点总数大于某一(Fn﹣
n
1)，而小于(F ﹣1)．
n+1
11、(2011•湖南)若执行如图所示的框图，输入x=1，x=2，x=4，x=8则输出的数等于 ．
1 2 3 4考点：循环结构。
专题：计算题；阅读型。
分析：先根据流程图分析出该算法的功能，然后求出所求即可．
解答：解：该算法的功能是求出四个数的平均数
故输出的数= =
故答案为：
点评：根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流
程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根
据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．
12、(2011•湖南)已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9，g(﹣2)=3，则f(2)= 6 ．
考点：函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g(﹣2)=3，求出f(2)的值．
解答：解：∵g(﹣2)=f(﹣2)+9
∵f(x)为奇函数
∴f(﹣2)=﹣f(2)
∴g(﹣2)=﹣f(2)+9
∵g(﹣2)=3所以f(2)=6
故答案为6
点评：本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意x都有f(﹣x)=﹣f(x)
13、(2011•湖南)设向量 ， 满足| |=2 ， =(2，1)，且 与 的方向相反，则 的坐
标为 ( ﹣ 4 ，﹣ 2 ) ．
考点：平面向量共线(平行)的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：要求向量 的坐标，我们可以高设出向量 的坐标，然后根据 与 的方向相反，
及| |=2 ，我们构造方程，解方程得到向量 的坐标．
解答：解：设 =(x，y)
∵ 与 的方向相反，
故 =λ =(2λ，λ)(λ＜0)
又∵| |=2 ，
则x2+y2=20
∴5λ2=20
解得λ=﹣2
则设 =(﹣4，﹣2)
故答案为(﹣4，﹣2)
点评：本题考察的知识点是平面向量共线(平行)的坐标表示，平面向量模的计算，其中根
据 与 的方向相反，给出向量 的横坐标与纵坐标之间的关系是解答本题的关键．
14、(2011•湖南)设m＞1，在约束条件 下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m
的值为 3 ．
考点：简单线性规划的应用。
专题：计算题；数形结合。分析：根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间( ， )上，由此我们不难
判断出满足约束条件 的平面区域的形状，再根据目标函数 Z=X+5y在直线y=mx
与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m 的取值范
围．
解答：解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：
当x= ，y= 时，
目标函数z=x+5y取最大值为4，即 ；
解得m=3
故答案为3
点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中判断出目标函数 Z=X+my 在
点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键．
15、(2011•湖南)已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25．
(1)圆C的圆心到直线l的距离为 5 ；
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 ．考点：点到直线的距离公式；几何概型；直线与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：(1)根据所给的圆的标准方程，看出圆心，根据点到直线的距离公式，代入有关数据
做出点到直线的距离．
(2)本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上
整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率
公式得到结果．
解答：解：(1)由题意知圆x2+y2=12的圆心是(0，0)，
圆心到直线的距离是d= =5，
(2)由题意知本题是一个几何概型，
试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，
满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，
根据上一问可知圆心到直线的距离是5，
在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，
根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°
根据几何概型的概率公式得到P= =
故答案为：5；
点评：本题考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，考查几何概型的概率公式，
本题是一个基础题，运算量不大．
16、(2011•湖南)给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f(n)=n﹣k
(1)设k=1，则其中一个函数f(x)在n=1处的函数值为 a ( a 为正整数 ) ；
(2)设k=4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为 1 6 ．
考点：函数的概念及其构成要素；分步乘法计数原理。
专题：计算题；探究型。
分析：题中隐含了对于小于或等于K的正整数n，其函数值也应该是一个正整数，但是对
应法则由题意而定
(1)n=k=1，题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故
f(1)的值是一个常数(正整数)；(2)k=4，且n≤4，与条件“大于k的正整数n”不适合，故f(n)的值在2、3中任选其一，再
由乘法原理可得不同函数的个数．
解答：解：(1)∵n=1，k=1且f(1)为正整数
∴f(1)=a(a为正整数)
即f(x)在n=1处的函数值为 a(a为正整数)
(2)∵n≤4，k=4f(n)为正整数且2≤f(n)≤3
∴f(1)=2或3 且 f(2)=2或3 且 f(3)=2或3 且f(4)=2或3
根据分步计数原理，可得共24=16个不同的函数
故答案为(1)a(a为正整数)
(2)16
点评：本题题意有点含蓄，发现题中的隐含条件，是解决本题的关键，掌握映射与函数的
概念是本题的难点．
三、解答题(共6小题，满分75分)
17、(2011•湖南)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．
(1)求角C的大小；
(2)求 sinA﹣cos (B+ )的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．
考点：三角函数的恒等变换及化简求值。
专题：计算题。
分析：(1)利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C= ．
(2)B= ﹣ A ， 化 简 sinA﹣ cos (B+ )=2sin(A+ ) ． 因 为 0 ＜ A ＜ ， 推 出
求出2sin(A+ )取得最大值2．得到A= ，B=
解答：解：(1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC，
因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，
又cosC≠0，所以tanC=1，C= ．
(2)有(1)知，B= ﹣A，于是= sinA+cosA
=2sin(A+ )．
因为0＜A＜ ，所以
从而当A+ ，即A= 时
2sin(A+ )取得最大值2．
综上所述， cos (B+ )的最大值为2，此时A= ，B=
点评：本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考
题型．
18、(2011•湖南)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时)与该
河上游在六月份的降雨量 X(单位：毫米)有关，据统计，当 X=70时，Y=460；X每增加
10，Y增加5．已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，
200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
(Ⅰ)完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，
求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
考点：频率分布表；互斥事件的概率加法公式。
专题：应用题；综合题。
分析：(I)从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数，求出频率，完成频率分布图．
(II)将发电量转化为降雨量，利用频率分布表，求出发电量低于 490(万千瓦时)或超过
530(万千瓦时)的概率．
解答：解：(I)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫
米的有3个，
故近20年六月份降雨量频率分布表为(II)P(“发电量低于490万千瓦时“)
=P(Y＜490或Y＞530)=P(X＜130或＞210)
=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=
故今年六月份该水利发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为：
点评：本题考查频率公式：频率= ；考查将问题等价转化的能力．
19、(2011•湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO= ，⊙OD的直径AB=2，点C在 上，
且∠CAB=30°，D为AC的中点．
(Ⅰ)证明：AC⊥平面POD；
(Ⅱ)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．
考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法。
专题：计算题；证明题。
分析：(I)由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，根据直线与平面垂直的判定定理可证
(II)由(I)可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于
H，则OH⊥平面PAC，∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即
可
解答：解(I)因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O，AC 底面⊙O
⊂所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD
(II)由(I)知，AC⊥平面POD，又AC 平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC ⊂
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC
连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角
在Rt△ODA中，OD=OA．sin30°=
在Rt△POD中，OH=
在Rt△OHC中，
故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解
考查了运算推理的能力及空间想象的能力
20、(2011•湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过
程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，
每年初M的价值为上年初的75%．
(Ⅰ)求第n年初M的价值a 的表达式；
n
(Ⅱ)设 ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对
M更新．证明：须在第9年初对M更新．
考点：分段函数的应用；数列与函数的综合。
专题：综合题。
分析：(I)通过对n的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项
公式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值a 的表达式；
n
(II)利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出A ，判断出其两段的单调性，求出两段的
n
最小值，与80比较，判断出须在第9年初对M更新．解答：解：(I)当n＜6时，数列{a}是首项为120，公差为﹣10的等差数列
n
a=120﹣10(n﹣1)=130﹣10n
n
当n≥6时，数列{a}是以a 为首项，公比为 的等比数列，又a=70
n 6 6
所以
因此，第n年初，M的价值a 的表达式为
n
(II)设S 表示数列{a}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得
n n
当1≤n≤6时，S=120n﹣5n(n﹣1)，A=120﹣5(n﹣1)=125﹣5n
n n
当n≥7时，由于S=570故
6
S=S+(a+a+…+a)= =
n 6 7 8 n
因为{a}是递减数列，
n
所以{A}是递减数列，
n
又
所以须在第9年初对M更新．
点评：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项
和公式、考查分段函数的问题要分到研究．
21、(2011•湖南)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l ，l ，设l 与轨迹C相交于点A，B，l 与轨
1 2 1 2
迹C相交于点D，E，求 的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；抛物线的定义。
专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论；函数思想；方程思想。
分析：(Ⅰ)设动点P的坐标为(x，y)，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)设出直线l 的方程，理想直线和抛物线的方程，消去 y，得到关于x的一元二次方程，
1
利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线 l 的方程与抛物线的交点坐标，
2
代入 利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．
解答：解：(Ⅰ)设动点P的坐标为(x，y)，由题意得 ，
化简得y2=2x+2|x|．
当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0，
所以动点P的轨迹C的方程为y2=4(x≥0)和y=0(x＜0)．
(Ⅱ)由题意知，直线l 的斜率存在且不为零，设为k，则l 的的方程为y=k(x﹣1)．
1 1
由 ，得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0．
设A，B的坐标分别为(x，y)，(x，y)，则x+x=2+ ，xx=1．
1 1 2 2 1 2 1 2
∵l⊥l，∴直线l 的斜率为﹣ ．
1 2 2
设D(x，y)，E(x，y)，则同理可得x+x=2+4k2，xx=1．
3 3 4 4 3 4 3 4
故 = =
= =(x+1)(x+1)+(x+1)(x+1)
1 2 3 4
=xx+(x+x)+1+xx+x+x+1
1 2 1 2 3 4 3 4
1+2+ +1+1+2+4k2+1=8+4(k2+ )≥8+4×2=16，
当且仅当k2= ，即k=±1时， 的最小值为16．
点评：此题是个难题．考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时
也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
22、(2011•湖南)设函数 ．
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性．(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x ，x ，记过点A(x ，f(x))，B(x ，f(x))的直线斜率为k．问：是否
1 2 1 1 2 2
存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件。
专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论。
分析：(Ⅰ)求导，令导数等于零，解方程，跟据f′(x)f(x)随x的变化情况即可求出函数的单
调区间；
(Ⅱ)假设存在a，使得k=2﹣a，根据(I)利用韦达定理求出直线斜率为k，根据(I)函数的单调
性，推出矛盾，即可解决问题．
解答：解：(I)f(x)定义域为(0，+∞)，
f′(x)=1+ ，
令g(x)=x2﹣ax+1，△=a2﹣4，
①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，
②当a＜﹣2时，△＞0，g(x)=0的两根都小于零，在(0，+∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在
(0，+∞)上单调递增，
③当a＞2时，△＞0，g(x)=0的两根为x= ，x= ，
1 2
当0＜x＜x 时，f′(x)＞0；当x＜x＜x 时，f′(x)＜0；当x＞x 时，f′(x)＞0；
1 1 2 2
故f(x)分别在(0，x)，(x，+∞)上单调递增，在(x，x)上单调递减．
1 2 1 2
(Ⅱ)由(I)知，a＞2．
因为f(x)﹣f(x)=(x﹣x)+ ﹣a(lnx﹣lnx)，
1 2 1 2 1 2
所以k= =1+ ﹣a ，
又由(I)知，xx=1．于是
1 2
k=2﹣a ，
若存在a，使得k=2﹣a，则 =1，即lnx﹣lnx=x﹣x，
1 2 1 2亦即 (*)
再由(I)知，，函数 在(0，+∞)上单调递增，
而x＞1，
2
所以 ＞1﹣1﹣2ln1=0，这与(*)式矛盾，
故不存在a，使得k=2﹣a．
点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'(x)=0有无实
根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中
问题(II)是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的
能力．
