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2015年高考天津市文科数学真题
一、选择题
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
2．设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．14
3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知双曲线 的一个焦点为 ，且双曲线的渐近线与圆
相切，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，
CN=3，则线段NE的长为（ ）A． B．3 C． D．
7．已知定义在R上的函数 为偶函数，
记 ，则 ,的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，函数 ，则函数 的零点的个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．i是虚数单位，计算 的结果为 ．
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 ．
11．已知函数 ，其中a为实数， 为 的导函数，若 ，则
a的值为 ．
12．已知 则当a的值为 时 取得最大值。13．在等腰梯形ABCD中，已知 ， 点E和点F分别在线段BC和
CD上，且 则 的值为 ．
14．已知函数 若函数 在区间 内单调递增，且函数
的图像关于直线 对称，则 的值为 ．
三、解答题
15．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽
取6名运动员参加比赛。
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为 ，从这6名运动员中随机抽取2名
参加双打比赛。
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件“编号为 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率。
16 ． △ ABC 中 ， 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 △ ABC 的 面 积 为 ，
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求 的值。
17．如图，已知 平面ABC， AB=AC=3， ,， 点E，
F分别是BC， 的中点，
（Ⅰ）求证：EF 平面 ；（Ⅱ）求证：平面 平面 。
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的大小。18．已知 是各项均为正数的等比数列， 是等差数列，且 ,
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列 的前n项和.
19．已知椭圆 的上顶点为B，左焦点为 ,离心率为 .
（Ⅰ）求直线BF的斜率；
（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），故点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q（Q异于点
B）直线PQ与x轴交于点M， .
（i）求 的值；
（ii）若 ，求椭圆的方程.
20．已知函数 其中 ，且 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为 ，求证：对于任意
的实数 ，都有 ;（Ⅲ）若方程 有两个正实数根 且 ，求证： .
2015年高考天津市文科数学真题
一、选择题
1．答案：B
解析过程：
， ，则 ，选B
2．答案： C
解析过程：
当 时取得最大值 ，选C
3．答案：C
解析过程：
由程序框图可知： ； ； ，选C
4．答案：A
解析过程：
由 ,
可知“ ”是“ ”的充分而不必要条件,选A.
5．答案：D
解析过程：双曲线的渐近线为 ，由题意得 ，
又 ，解得 ， ，选D
6．答案：A
解析过程：
由相交弦定理可得
选A.
7．答案：B
解析过程：
由 为偶函数得 ,所以 ,选B.
8．答案：A
解析过程：
当 时， ，
此时方程 的小于零的零点为 ；
当 时， ，
方程 无零点；
当 时， ，
方程 大于 的零点有一个
选A
二、填空题
9．答案：-i
解析过程：
10．答案：
解析过程：
该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为
11．答案：3
解析过程：
因为 ,所以 .
12．答案：4
解析过程：
当 时取等号,结合
可得
13．答案：
解析过程：
在等腰梯形ABCD中,由 ,
得 , , ,
所以
14．答案：
解析过程：
由 在区间 内单调递增,且 的图像关于直线 对称,可得 ,且 ,
所以
15．答案：见解析
解析过程：
（I）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；
（II）（i）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为
, , , , ,
, , , , ,
, , , , ,共15种.
（ii）编号为 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为
, , , , ,
, , , ,共9种,
所以事件A发生的概率
16 ． △ ABC 中 ， 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 △ ABC 的 面 积 为 ，
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求 的值。
答案：见解析
解析过程：
（Ⅰ） 中，由 ，得 ，
由 ，得 ，
又由 ，解得 。由 ，可得 .
由 ，得
（Ⅱ）
17．答案：见解析
解析过程：
（I）证明：如图,连接 ,
在△ 中,因为E和F分别是BC, 的中点,
所以 ,又因为EF 平面 ,
所以EF 平面 .
（II）因为AB=AC,E为BC中点,所以 ,
因为 平面ABC,
所以 平面ABC,从而 ,
又 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以平面 平面 .（Ⅲ）取 中点 和 中点 ，连接 ， ，
因为 和 分别为 ， 中点，
所以 ， ，
故 ， ，
所以 ， ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
从而 就是直线 与平面 所成角，
在 中，可得 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
又由 ，有 ，
在 中，可得 ，
在 中， ，
因此 ，所以，直线 与平面 所成角为 .
18．答案：见解析
解析过程：
（I）设 的公比为q, 的公差为d,
由题意 ,由已知,有
消去d得 解得 ,
所以 的通项公式为 ,
的通项公式为 .
（II）由（I）有 ,设 的前n项和为 ,则
两式相减得
所以 .
19．答案：见解析
解析过程：
（I） ,由已知 及
可得 ,又因为 ,
故直线BF的斜率 .
（II）设点 ,
（i）由（I）可得椭圆方程为
直线BF的方程为 ,
两方程联立消去y得 解得 .
因为 ,所以直线BQ方程为 ,
与椭圆方程联立消去y得 ,
解得 .又因为 ,
及 得
（ii）由（i）得 ,所以 ,即 ,
又因为 ,
所以 = .
又因为 ,
所以 ,
因此 所以椭圆方程为
20．答案：见解析
解析过程：
（I）由 ,可得 ,
当 ,即 时,函数 单调递增；
当 ,即 时,函数 单调递减.
所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
（II）设 ,则 ,
曲线 在点P处的切线方程为 ,
即 ,令
即 则 .
由于 在 单调递减,
故 在 单调递减,又因为 ,
所以当 时, ,当 时, ,
所以 在 单调递增,在 单调递减,所以对任意的实数x, ,
对于任意的正实数 ,都有 .
（Ⅲ）由（II）知 ，
设方程 的根为 ，可得 ，
因为 在 单调递减，
又由（II）知 ，所以 。
类似的，设曲线 在原点处的切线为 ，可得 ，
对任意的 ，有 即 。
设方程 的根为 ，可得 ，
因为 在 单调递增，且 ，
因此， ，所以
