2012年湖南高考理科数学试题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_湖南高考文科和理科数学08-22

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．设集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．命题“若 ，则 ”的逆否命题是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 A B C D 4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组 样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ， 则下列结论中不正确的是 A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心 C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加 kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为 kg 5．已知双曲线 的焦距为10 ，点 在C的渐近线上，则C的方程为A． B． C． D． 6．函数 的值域为 A． B． C． D． 7．在 中， ， ， ，则 A． 3 B． 7 C．2 2 D． 23 8．已知两条直线 和 ， 与函数 的图像从左至右相 交于点 ， 与函数 的图像从左至右相交于点 ．记线段AC和BD在 b 轴上的投影长度分别为 ．当m变化时， 的最小值为 a A．16 2 B．8 2 C． D． 二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题 卡中对应题号后的横线上． （一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9 ． 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 曲 线 （ t 为 参 数 ） 与 曲 线 （ 为参数， ）有一个公共点在 轴上，则 ． 10．不等式 的解集为 ． 11．如图2，过点 的直线与⊙ 相交于 两点．若 ， ， ，则⊙ 的半径等于 ． （二）必做题（12～16题） 12．已知复数 （ 为虚数单位)，则 ． 13． 的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）14．如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 ，则输出的数 ． 15．函数 的导函数 的部分图象如图4所示，其中， 为图象与 轴的交点， 为图象与 轴的两个交点， 为图象的最低点． （1）若 ，点 的坐标为 ，则 ； （2）若在曲线段ABC与 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 内的概率为 ． 16．设 ，将 个数 依次放入编号为 的 个位 置，得到排列 ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺 N N 序依次放入对应的前 和后 个位置，得到排列 ，将此操作 2 2N 称为 变换．将 分成两段，每段 个数，并对每段作 变换，得到 ；当 2 时，将 分成 段，每段 个数，并对每段作 变换，得到 ．例如， 当 时， ，此时 位于 中的第4个位置． （1）当 时， 位于 中的第 个位置； （2）当 时， 位于 中的第 个位置． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物 的100位顾客的相关数据，如下表所示． 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％． （Ⅰ）确定 的值，并求顾客一次购物的结算时间 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求 该顾客结算前的等候时间不超过 分钟的概率．（注：将频率视为概率） 18．（本小题满分12分） 如图 5，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，， 是 的中点． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）若直线 与平面 所成的角和 与平面 所成的角相等，求四棱锥 的体积． 19．（本小题满分12分） 已知数列 的各项均为正数，记 ， ， ， （Ⅰ）若 ，且对任意 ，三个数 组成等差数列，求数 列 的通项公式. （Ⅱ）证明：数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意 ，三个 数 组成公比为 的等比数列. 20．（本小题满分13分） 某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件 的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为 （ 为正整数）． （Ⅰ）设生产A部件的人数为 ，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间； （Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 的值，使完成订单任务的时间最 短，并给出时间最短时具体的人数分组方案． 21．（本小题满分13分） 在直角坐标系xOy中，曲线 上的点均在圆 外，且对 上任意一 点 ， 到直线 的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线 的方程； （Ⅱ）设 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，分别与曲线 相 交于点 和 .证明：当 在直线 上运动时，四点 的纵坐 标之积为定值. 22．（本小题满分13分） 已知函数 ，其中 .（Ⅰ）若对一切 ， 恒成立，求 的取值集合. （Ⅱ）在函数 的图像上取定两点 ，记直线 的 斜率为 .问：是否存在 ，使 成立？若存在，求 的取值范 围；若不存在，请说明理由. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B 【解析】 N 0,1 M={-1,0,1} M∩N={0,1}.  【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出 N 0,1,再利用交集定义得出M∩N.  2.命题“若α= ，则tanα=1”的逆否命题是 4   A.若α≠ ，则tanα≠1 B. 若α= ，则tanα≠1 4 4   C. 若tanα≠1，则α≠ D. 若tanα≠1，则α= 4 4 【答案】C  【解析】因为“若 p，则q”的逆否命题为“若p，则q”，所以 “若 α= ，则 4  tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠ ”. 4 【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题 的能力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下 面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能 是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样 本数据（x，y）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 y=0.85x-85.71，则下 i i 列结论中不正确的是 A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x，y） C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D 【解析】【解析】由回归方程为y=0.85x-85.71知 y 随x的增大而增大，所以y与x具有正的 线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知 yˆ bxa bx y bx(a  y bx)， 所以回归直线过样本点的中心（x，y），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是 找不正确的答案，易错. x2 y2 5. 已知双曲线C ： - =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为 a2 b2x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A． - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 20 5 5 20 80 20 20 80 [w~#ww.zz&st^ep.com@] 【答案】A x2 y2 【解析】设双曲线C ： - =1的半焦距为c，则2c10,c5. a2 b2 b b 又C 的渐近线为y  x，点P （2,1）在C 的渐近线上，1  2，即a2b. a a x2 y2 又c2 a2 b2，a 2 5,b 5 ，C的方程为 - =1. 20 5 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想 和基本运算能力，是近年来常考题型.  6. 函数f（x）=sinx-cos(x+ )的值域为 6 3 3 A． [ -2 ,2] B.[- 3, 3] C.[-1,1 ] D.[- , ] 2 2 【答案】B  3 1  【 解 析 】 f （ x ） =sinx-cos(x+ )sinx cosx sinx 3sin(x )， 6 2 2 6   sin(x )1,1 ， f(x)值域为[- 3, 3]. 6 【点评】利用三角恒等变换把 f(x)化成Asin(x)的形式，利用sin(x)1,1 ， 求得 f(x)的值域.   7. 在△ABC中，AB=2，AC=3，AB BC= 1则BC  ___.  [中&%国教*^育出版~网] A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23 【答案】A      【解析】由下图知AB BC = AB BC cos(B)2 BC (cosB)1 .  1 AB2 BC2 AC2 cosB .又由余弦定理知cosB ，解得BC  3 . 2BC 2ABBCA B C 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思   想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意AB,BC的夹角为B的外角. 8 8．已知两条直线l ：y=m 和l ： y= (m＞0)，l 与函数 y  log x 的图像从左至右 1 2 2m1 1 2 相交于点A，B ，l 与函数y  log x 的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上 2 2 b 的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时， 的最小值为 a [来源%&:中国~*教育#出版网] A．16 2 B.8 2 C.8 4 D.4 4 【答案】B 8 【解析】在同一坐标系中作出y=m，y= (m＞0)，y  log x 图像如下图， 2m1 2 8 8 8 由 log 2 x = m，得x 1 2m,x 2 2m， log 2 x = 2m1 ，得 x 3 2  2m1,x 4 22m1 . 8 2m 22m1 依照题意得a 2m 2  2m 8 1 ,b 2m 22m 8 1 , b a  8 2m22m 8 1 2 m 2m 8 1 .  2m 2 2m1 8 1 4 1 1 1 m m   4 3 b  2m1 2 1 2 2 2 ，( ) 8 2 . m a min 2 y  log x 2 8 D y C 2m1 A B y m O 1 x8 【点评】在同一坐标系中作出y=m，y= (m＞0)，y  log x 图像，结合图像可解得. 2m1 2 二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答 题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在第 9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记 分 ） xt1, xasin, 9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线 C ：  (t为参数)与曲线 C ：  1 y 12t 2 y 3cos (为参数，a0) 有一个公共点在X轴上，则a __ . 3 【答案】 2 xt1, 3 【解析】曲线 ： 直角坐标方程为 ，与 轴交点为 ； C  y 32x x ( ,0) 1 y 12t 2 曲线 ： xasin, 直角坐标方程为 x2 y2 ，其与 轴交点为 ， C   1 x (a,0),(a,0) 2 y 3cos a2 9 3 由a0，曲线C 与曲线C 有一个公共点在X轴上，知a . 1 2 2 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线 C 1 与曲线 C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与 x 轴交点，即可求得. 2 10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.  1 【答案】 x x   4  1 3,(x )  2   1 【解析】令 ，则由 得 的解集 f(x) 2x12 x1 f(x) 4x1,(  x1) f(x) 0 2   3,(x1)    1 为 x x  .  4 【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）. 11.如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于 _______.O P B A 【答案】 6 【解析】设PO交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知 PAPB  PCPD,即1(12)(3-r)(3r),r  6. D  O C P B A 【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知 PAPB PCPD， 从而求得圆的半径. (二)必做题（12~16题） 12.已知复数 (i为虚数单位)，则|z|=_____. z (3i)2 【答案】10 【解析】 z (3i)2= 96ii2 86i ， z  82 62 10. 【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的 形式，利用 abi(a,bR) z  a2 b2 求得. 13.( - 1 )6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 2 x x 【答案】-160 【解析】( 2 x - 1 )6的展开式项公式是 T Cr(2 x)6r( 1 )r Cr26r(1)rx3r .由题 r1 6 6 x x 意知 3r 0,r 3 ，所以二项展开式中的常数项为 T C323(1)3 160 . 4 6 【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图3所示的程序框图，输入x1,n=3,则输出的数S= .【答案】4 【 解 析 】 输 入 x1,n=3, ， 执 行 过 程 如 下 ： i 2:S 6233； ； ，所以输出的是 . i 1:S 3(1)115 i 0:S 5(1)014 4 【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将 执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错. 15.函数f（x）=sin ( )的导函数 的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y x y  f(x) 轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点. （1）若 ，点P的坐标为（0，3 3 ），则 ;   6 2 （2）若在曲线段 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 ABC . 【答案】（1）3；（2） （lbylfx） 4 【解析】（1） ，当 ，点P的坐标为（0，3 3 ）时 y  f(x) cos(x)  6 2  3 3 ； cos  ,3 6 2 2 1  （2）由图知 T  ，S  AC ，设A,B的横坐标分别为a,b. AC    ABC 2 2 2 2  设 曲 线 段 与 x 轴 所 围 成 的 区 域 的 面 积 为 则 ABC S b S   f(x)dx  f(x) b  sin(a)sin(b) 2，由几何概型知该点在△ABC内 a a  的概率为 S 2 . P ABC   S 2 4 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P在图像上求， （2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得. 16.设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x ,x ,…，x 依次放入编号为1,2，…，N的N个位置， 1 2 N 得到排列P =x x …x .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对 0 1 2 N N N 应的前 和后 个位置，得到排列P =x x …x x x …x ，将此操作称为C变换，将P 分成 2 2 1 1 3 N-1 2 4 N 1 N 两段，每段 个数，并对每段作C变换，得到 p ；当2≤i≤n-2时，将P分成2i段，每段 2 2 i N 个数，并对每段C变换，得到P ，例如，当N=8时，P =x x x x x x x x ，此时x 位于P 中 2i i+1 2 1 5 3 7 2 6 4 8 7 2 的第4个位置. （1）当N=16时，x 位于P 中的第___个位置； 7 2 （2）当N=2n（n≥8）时，x 位于P 中的第___个位置. 173 4 【答案】（1）6；（2） 32n4 11 【解析】（1）当N=16时, ,可设为 , P  x x x x x x x (1,2,3,4,5,6, ,16) 0 1 2 3 4 5 6 16  ,即为 , P  x x x x x x x x x (1,3,5,7,9, 2,4,6,8, ,16) 1 1 3 5 7 15 2 4 6 16   ,即 , x 位于P 中的第6个 P  x x x x x x x x x x x (1,5,9,13,3,7,11,15,2,6, ,16) 7 2 2 1 5 9 13 3 7 11 15 2 6 16  位置,； （2）方法同（1）,归纳推理知x 位于P 中的第 个位置. 173 4 32n4 11【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结 算 时 间 （ 分 1 1.5 2 2.5 3 钟/人） 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％. （Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望； [&%中国教育出~版网*#] （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾 客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率） [中%#国教*育^出版网~] 【解析】（1）由已知,得 所以 25 y1055,x y 35, x15,y 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算 时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 15 3 30 3 25 1 p(X 1)  ,p(X 1.5)  , p(X 2)  , 100 20 100 10 100 4 20 1 10 1 p(X 2.5)  ,p(X 3)  . 100 5 100 10 X 的分布为 X 1 1.5 2 2.5 3 P 3 3 1 1 1 20 10 4 5 10 X的数学期望为 3 3 1 1 1 E(X)1 1.5 2 2.5 3 1.9. 20 10 4 5 10 （Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”， 为该顾客前面 X (i 1,2) i 第i位顾客的结算时间，则 P(A) P(X 1且X 1)P(X 1且X 1.5)P(X 1.5且X 1) . 1 2 1 2 1 2 由于顾客的结算相互独立，且 的分布列都与X的分布列相同，所以 X ,X 1 2 P(A) P(X 1)P(X 1)P(X 1)P(X 1.5)P(X 1.5)P(X 1) 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 9        . 20 20 20 10 10 20 80 9 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为 . 80 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分 析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知从而解得 ，计算每一个变量对应的概率，从而求得 25 y1010055%,x y 35, x,y 分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率. 18.（本小题满分12分） 如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°， E是CD的中点. [来源%:*中#国教~育出@版网] （Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE； （Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的 体积. 【解析】 解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4， ， BC 3 ABC 90, 得AC 5. Ｅ是ＣＤ的中点，所以 又AD5, CD AE. 所以 PA平面ABCD,CD平面ABCD, PACD.  而 内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. PA,AE是平面PAE （Ⅱ）过点Ｂ作 BGCD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF. 由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF 为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG  AE. 由 知， 为直线 与平面 所成的角. PA平面ABCD PBA PB ABCD 由题意，知 AB 4,AG 2,BG  AF, PBABPF, PA BF 因为sinPBA ,sinBPF  ,所以PA BF. PB PB 由 所以四边形 是平行四边形，故 DAB ABC 90知，AD//BC,又BG//CD, BCDGGD BC 3.于是AG 2. 在 中， 所以 RtΔBAG AB 4,AG 2,BG  AF, AB2 16 8 5 BG  AB2  AG2 2 5,BF    . BG 2 5 5 于是 8 5 PA BF  . 5 1 又梯形ABCD的面积为S  (53)416,所以四棱锥PABCD的体积为 2 1 1 8 5 128 5 V  SPA 16  . 3 3 5 15 解法2：如图（2），以A为坐标原点， 所在直线分别为 建立 AB,AD,AP x轴，y轴，z轴 空间直角坐标系.设 则相关的各点坐标为： PAh, A(4,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h). （Ⅰ）易知   因为 CD (4,2,0),AE (2,4,0),AP (0,0,h).     所以 而 是平面 内 CDAE 8800,CDAP 0, CD AE,CD  AP. AP,AE PAE 的两条相交直线，所以 CD平面PAE. (Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知， 分别是 ， 的法向量，而PB与 CD,AP 平面PAE 平面ABCD 所成的角和PB与 所成的角相等，所以 平面PAE 平面ABCD        CDPB PAPB cosCD,PB  cos PA,PB , 即  .     CD  PB PA  PB 由（Ⅰ）知，  由 故 CD (4,2,0),AP (0,0,h), PB (4,0,h), 1600 00h2  . 2 5 16h2 h 16h2 解得 8 5 . h 5 1 又梯形ABCD的面积为S  (53)416，所以四棱锥PABCD的体积为 2 1 1 8 5 128 5 . V  SPA 16  3 3 5 15 【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问 1 只要证明PACD即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由V  SPA算得体积， 3 或者建立空间直角坐标系，求得高几体积. 19.（本小题满分12分） 已知数列{a }的各项均为正数，记A（n）=a +a +……+a ，B（n）=a +a +……+a ，C（n） n 1 2 n 2 3 n+1 =a +a +……+a ，n=1,2，…… [来^&源:中教网@~%] 3 4 n+2 （1） 若a =1，a =5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列， 1 2 求数列{ a }的通项公式. n （2） 证明：数列{ a }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意 ，三个数 n nN A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列. 【解析】（l bylfx） 解（１）对任意 ,三个数 是等差数列，所以 nN A(n),B(n),C(n) B(n)A(n)C(n)B(n), 即 亦即 a a a , a a a a 4. n1 1 n2 n2 n1 2 1 故数列a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是 a 1(n1)44n3. n n （Ⅱ）（１）必要性：若数列a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意 nN ，有 n 由 知， 均大于０，于是 a a . a 0 A(n),B(n),C(n) n1 nq nB(n) a a ...a q(a a ...a  2 3 n1  1 2 n) q, A(n) a a ...a a a ...a 1 2 n 1 2 n C(n) a a ...a q(a a ...a  3 4 n2  2 3 n1) q, B(n) a a ...a a a ...a 2 3 n1 2 3 n1 B(n) C(n) 即 ＝ ＝ q ，所以三个数 A(n),B(n),C(n) 组成公比为 q 的等比数列. A(n) B(n) （２）充分性：若对于任意 ，三个数 组成公比为 的等比数列， nN A(n),B(n),C(n) q 则 ， B(n)qA(n),C(n)qB(n) 于是 C(n)B(n)qB(n)A(n), 得 a a q(a a ), 即 n2 2 n1 1 a qa a a. n2 n1 2 1 由 有 即 ，从而 . n1 B(1)qA(1), a qa a qa 0 2 1 n2 n1 a a 因为 a 0 ，所以 n2  2 q ，故数列a 是首项为 a ，公比为 q 的等比数列， n a a n 1 n1 1 综上所述，数列a 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数 n A(n),B(n),C(n) 组成公比为 q 的等比数列. 【点评】本题考查 等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明 . 第一问由等差数列定 义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证 . 20.（本小题满分13分） [来#源:中教%&*网~] 某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数 量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ 部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与 生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）. （１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间； （２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短， 并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】 解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为 由题设有 T(x),T (x),T (x), 1 2 323000 1000 2000 1500 T(x)  ,T (x) ,T (x) , 1 6x x 2 kx 3 200(1k)x 期中 均为1到200之间的正整数. x,kx,200(1k)x （Ⅱ）完成订单任务的时间为 f(x)maxT(x),T (x),T (x), 其定义域为 1 2 3  200  x 0 x ,xN . 易知， T(x),T (x) 为减函数， T (x) 为增函数.注意到  1k  1 2 3 2 T (x) T(x),于是 2 k 1 （1）当 时， 此时 k 2 T(x)T (x), 1 2 f(x)maxT(x),T (x)max   1000 , 1500   ， 1 3  x 2003x 1000 1500 由函数T(x),T (x)的单调性知，当  时 f(x)取得最小值，解得 1 3 x 2003x 400 x .由于 9 400 250 300 44 45,而f(44)T(44) , f(45)T (45) , f(44) f(45). 9 1 11 3 13 250 故当x44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为 f(44) . 11 （ 2 ） 当 时 ， 由 于 为 正 整 数 ， 故 ， 此 时 k 2 T(x)T (x), k k 3 1 2 375 T(x) ,(x)maxT(x),T(x) 易知T(x)为增函数，则 50x 1 f(x)maxT(x),T (x) 1 3 maxT(x),T(x) 1 1000 375 . (x)max ,   x 50x 1000 375 400 由函数T(x),T(x)的单调性知，当  时(x)取得最小值，解得 x .由于 1 x 50x 11 400 250 250 375 250 36 37,而(36)T(36)  ,(37)T(37)  , 11 1 9 11 13 11 250 此时完成订单任务的最短时间大于 . 11 （ 3 ） 当 时 ， 由 于 为 正 整 数 ， 故 ， 此 时 k 2 T(x)T (x), k k 1 1 2f(x)maxT (x),T (x)max   2000 , 750  . 由函数 T (x),T (x) 的单调性知， 2 3  x 100x 2 3 2000 750 800 当  时 f(x)取得最小值，解得x .类似（1）的讨论.此时 x 100x 11 250 250 完成订单任务的最短时间为 ，大于 . 9 11 综上所述，当k 2时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数 学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决， 体现分类讨论思想. 21.（本小题满分13分） [www.z%zstep.co*~&m^] 在直角坐标系xOy中，曲线C 的点均在C ：（x-5）2＋y2=9外，且对C 上任意一点M，M到 1 2 1 直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 上点的距离的最小值. 2 （Ⅰ）求曲线C 的方程； 1 （Ⅱ）设P(x ,y )（y ≠±3）为圆C 外一点，过P作圆C 的两条切线，分别与曲线C 相交于点 0 0 0 2 2 1 A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值. 【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为 ，由已知得 (x,y) x2  (x5)2  y2 3 ， 易知圆 上的点位于直线 的右侧.于是 ，所以 C x2 x20 2 (x5)2  y2  x5 . 化简得曲线 C 的方程为 y2 20x . 1 解法2 ：由题设知，曲线 上任意一点M到圆心 的距离等于它到直线 的距 C C (5,0) x5 1 2 离，因此，曲线 C 是以 (5,0) 为焦点，直线 x5 为准线的抛物线，故其方程为 y2 20x . 1 （Ⅱ）当点P在直线 上运动时，P的坐标为 ，又 ，则过P且与圆 x4 (4,y ) y 3 0 0 相切得直线的斜率 存在且不为 0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 C k 2 y y k(x4),即kx-y+y +4k=0 .于是 0 0 5k y 4k 0 3. k2 1整理得 ① 72k2 18y k y2 90. 0 0 设过P所作的两条切线 的斜率分别为 ，则 是方程①的两个实根，故 PA,PC k ,k k ,k 1 2 1 2 18y y k k  0  0 . ② 1 2 72 4 k x y y 4k 0, 由  1 0 1 得 k y2 20y20(y 4k )0. ③  y2 20x, 1 0 1 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为 ，则是方程③的两个实根，所以 y ,y ,y ,y 1 2 3 4 20(y 4k ) y y  0 1 . ④ 1 2 k 1 同理可得 20(y 4k ) y y  0 2 . ⑤ 3 4 k 2 于是由②，④，⑤三式得 400(y 4k )(y 4k ) y y y y  0 1 0 2 1 2 3 4 k k 1 2 400y2 4(k k )y 16k k   0 1 2 0 1 2  k k 1 2 400y2  y2 16k k    0 0 1 2 6400 . k k 1 2 所以，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、 函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线 方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到 四点纵坐标 A,B,C,D 之积为定值，体现“设而不求”思想. 22.（本小题满分13分） 已知函数 = ，其中a≠0. f(x) eax x [来源^:zz#~s&tep.@com] （1） 若对一切x∈R， ≥1恒成立，求a的取值集合. f(x) （2）在函数 的图像上取定两点 ， ，记直线 f(x) A(x , f(x )) B(x , f(x )) (x  x ) 1 1 2 2 1 2AB的斜率为K，问：是否存在x ∈（x ，x ），使 成立？若存在，求 的 0 1 2 f(x )k x 0 0 取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（Ⅰ）若 ，则对一切 ， ，这与题设矛盾，又 ， a0 x0 f(x) eax x1 a0 故a0. 1 1 而 f(x)aeax 1,令 f(x)0,得x ln . a a 1 1 1 1 当x ln 时， f(x)0, f(x)单调递减；当x ln 时， f(x)0, f(x)单调递增， a a a a 1 1 1 1 1 1 1 故当x ln 时， f(x)取最小值 f( ln )  ln . a a a a a a a 于是对一切 恒成立，当且仅当 xR, f(x)1 1 1 1  ln 1. ① a a a 令 则 g(t)ttlnt, g(t)lnt. 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减. 0t 1 g(t)0,g(t) t 1 g(t)0,g(t) 1 故当t 1时，g(t)取最大值g(1)1.因此，当且仅当 1即a1时，①式成立. a 综上所述， a 的取值集合为1. （Ⅱ）由题意知， k  f(x 2 ) f(x 1 )  eax 2 eax 1 1. x x x x 2 1 2 1 令 (x) f(x)k aeax  eax 2 eax 1 , 则 x x 2 1 eax 1 (x 1 ) x x   ea(x 2 x 1 ) a(x 2 x 1 )1  , 2 1 eax 2 (x 2 ) x x   ea(x 1 x 2 ) a(x 1 x 2 )1  . 2 1 令 F(t)et t1 ，则 F(t)et 1 . 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增. t 0 F(t)0,F(t) t 0 F(t)0,F(t) 故当 ， 即 t 0 F(t) F(0)0, et t10.从而 ea(x 2 x 1 ) a(x x )10 ， ea(x 1 x 2 ) a(x x )10, 又 eax 1 0, eax 2 0, 2 1 1 2 x x x x 2 1 2 1 所以 (x )0,(x )0. 1 2 因为函数 y (x) 在区间x ,x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 x (x ,x ) 使 1 2 0 1 2 (x )0,(x)a2eax 0,(x) 单调递增，故这样的c是唯一的，且 c 1 ln eax 2 eax 1 . 0 a a(x x ) 2 1 故当且仅当 x( 1 ln eax 2 eax 1 ,x ) 时， f(x )k . a a(x x ) 2 0 2 1 综上所述，存在 使 成立.且 的取值范围为 x (x ,x ) f(x )k x 0 1 2 0 0 ( 1 ln eax 2 eax 1 ,x ).（lbyl fx） a a(x x ) 2 2 1 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力， 考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法 1 1 1 1 1 求出 f(x)取最小值 f( ln )  ln .对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为 f(x) 1， a a a a a min 从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函 数的单调性及最值来进行分析判断.