文档内容
2013 年湖南省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（
）
A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
． ． ． ．
2．（5分）（2013•湖南）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ）
A充分不必要条件 B 必要不充分条件
． ．
C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
． ．
3．（5分）（2013•湖南）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120
件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个
容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（ ）
A9 B 10 C 12 D 13
． ． ． ．
4．（5分）（2013•湖南）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）
=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）等于（ ）
A4 B 3 C 2 D 1
． ． ． ．
5．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=
b，则角A等于（ ）
A B C D
． ． ． ．
6．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个
数为（ ）
A0 B 1 C 2 D 3
． ． ． ．
7．（5分）（2013•湖南）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧
视图是一个面积为 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）A B 1 C D
． ． ． ．
8．（5分）（2013•湖南）已知 ， 是单位向量， • =0．若向量 满足| ﹣ ﹣ |=1，则|
|的最大值为（ ）
A B C D
． ． ． ．
9．（5分）（2013•湖南）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的
最大边是AB”发生的概率为 ，则 =（ ）
A B C D
． ． ． ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10．（5分）（2013•湖南）已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则
（
∁U
A）∩B= ．
11．（5分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线 （s为参
数）和直线 （t为参数）平行，则常数a的值为 ．
12．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的
值为 ．13．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件 ，则x+y的最大值为 ．
14．（5分）（2013•湖南）设F ，F 是双曲线C： （a＞0，b＞0）的两个焦点．
1 2
若在C上存在一点P．使PF 1⊥PF
2
，且∠PF
1
F
2
=30°，则C的离心率为 ．
15．（5分）（2013•湖南）对于E={a ，a ，…．a }的子集X={a ，a ，…，a }，定义
1 2 100 i1 i2 ik
X的“特征数列”为x ，x …，x ，其中x =x =…x =1．其余项均为0，例如子集{a ，
1 2 100 i1 i2 ik 2
a }的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0
3
（1）子集{a ，a ，a }的“特征数列”的前3项和等于 ；
1 3 5
（2）若E的子集P的“特征数列”P ，P ，…，P 满足p =1，p+p =1，1≤i≤99；E的子
1 2 100 1 i i+1
集Q的“特征数列”q ，q ，q 满足q =1，q+q +q =1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为
1 2 100 1 j j+1 j+2
．
三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2013•湖南）已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣ ）．
（1）求f（ ）的值．
（2）求使f（x）＜ 成立的x的取值集合．
17．（12分）（2013•湖南）如图．在直棱柱ABC﹣A B C 中，∠BAC=90°，AB=AC=
1 1 1
，AA =3，D是BC的中点，点E在棱BB 上运动．
1 1
（1）证明：AD⊥C
1
E；
（2）当异面直线AC，C E 所成的角为60°时，求三棱锥C ﹣A B E的体积．
1 1 1 1
18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点
（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关
系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y 51 48 45 42
频数 4
（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．
19．（13分）（2013•湖南）设S 为数列{a }的前n项和，已知a ≠0，2a ﹣a =S •S ，n N*
n n 1 n 1 1 n
（Ⅰ）求a ，a ，并求数列{a }的通项公式；
1 2 n
∈
（Ⅱ）求数列{na }的前n项和．
n
20．（13分）（2013•湖南）已知F ，F 分别是椭圆 的左、右焦点F ，F 关
1 2 1 2
于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F 的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线
2
l的方程．
21．（13分）（2013•湖南）已知函数f（x）= ．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当f（x ）=f（x ）（x ≠x ）时，x +x ＜0．
1 2 1 2 1 22013 年湖南省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（
）
A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
． ． ． ．
考 复数的代数表示法及其几何意义．
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点：
专 计算题．
题：
分 化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．
析：
解 解：z=i•（1+i）=﹣1+i，
答： 故复数z对应的点为（﹣1，1），
在复平面的第二象限，
故选B．
点 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．
评：
2．（5分）（2013•湖南）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ）
A充分不必要条件 B 必要不充分条件
． ．
C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
． ．
考 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
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点：
专 不等式的解法及应用．
题：
分 设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，
析： 谁大谁必要”的原则，即可得到答案．
解 解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，
答： ∵A B，
故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．
故选⊊A．
点 本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判
评： 断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．
3．（5分）（2013•湖南）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120
件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个
容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（ ）
A9 B 10 C 12 D 13
． ． ． ．
考 分层抽样方法．
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点：专 概率与统计．
题：
分 甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占
析： 的比例，从而求出n的值．
解 解：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，
答： ∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，
丙车间生产产品所占的比例 ，
因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的 ，
所以样本容量n=3÷ =13．
故选D．
点 本题主要考查了分层抽样方法，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键
评： 是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大
小．
4．（5分）（2013•湖南）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）
=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）等于（ ）
A4 B 3 C 2 D 1
． ． ． ．
考 奇偶性与单调性的综合．
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点：
专 函数的性质及应用．
题：
分 由f（x）、g（x）的奇偶性可得关于f（1）、g（1）的方程组，消掉f（1）即可求
析： 得g（1）．
解 解：由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数得，﹣f（1）+g（1）=2①，f（1）+g（1）
答： =4②，
由①②消掉f（1）得g（1）=3，
故选B．
点 本题考查函数奇偶性及其应用，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．
评：
5．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=
b，则角A等于（ ）
A B C D
． ． ． ．
考 正弦定理．
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点：
专 计算题；解三角形．
题：
分 利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．
析：
解 解：∵在△ABC中，2asinB= b，
答：
∴由正弦定理 = =2R得：2sinAsinB= sinB，
∴sinA= ，又△ABC为锐角三角形，∴A= ．
故选D．
点 本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．
评：
6．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个
数为（ ）
A0 B 1 C 2 D 3
． ． ． ．
考 根的存在性及根的个数判断；函数的图象．
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点：
专 函数的性质及应用．
题：
分 在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2 的图
析： 象，数形结合可得结论．
解 解：在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2
答： 的图象，如图所示：
故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象
的交点个数为2，
故选C．
点 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中
评： 档题．
7．（5分）（2013•湖南）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧
视图是一个面积为 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）
A B 1 C D
． ． ． ．
考 简单空间图形的三视图．
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点：
专 计算题．
题：
分 通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可．
析：
解 解：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为
答： 的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：
那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为： ．
故选D．
点 本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题
评： 的关键，考查空间想象能力．
8．（5分）（2013•湖南）已知 ， 是单位向量， • =0．若向量 满足| ﹣ ﹣ |=1，则|
|的最大值为（ ）
A B C D
． ． ． ．
考 平面向量数量积的运算；向量的模．
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点：
专 压轴题；平面向量及应用．
题：
分 通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．
析：
解 解：∵| |=| |=1，且 ，
答：
∴可设 ， ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．
∴ 的最大值= = ．
故选C．
点 熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．
评：9．（5分）（2013•湖南）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的
最大边是AB”发生的概率为 ，则 =（ ）
A B C D
． ． ． ．
考 简单线性规划．
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点：
专 压轴题；不等式的解法及应用．
题：
分 先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随
析： 机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发
生的概率 ，从而求出 ．
解 解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件
答： M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，
构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD= CD时，AB=PB，如
图．
设CD=4x，则AF=DP=x，BF=3x，再设AD=y，
则PB= = ，
于是 =4x，解得 ，从而 ．
故选D．
点 本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域长度和试验的全
评： 部结果所构成的区域长度，两者求比值，即为概率．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10．（5分）（2013•湖南）已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则
（ ∁U A）∩B= { 6 ， 8 } ．
考 交、并、补集的混合运算．
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点：
专 集合．
题：
分 先求出集合A的补集，再利用交集的定义求（C A）∩B
U
析：
解 解：由题意∵U={2，3，6，8}，集合A={2，3}，
答： ∴C A={6，8}，
U
又B={2，6，8}，
故（C A）∩B={6，8}
U
故答案为：{6，8}．点 本题考查交、并、补集的混合运算，正确解答本题关键是掌握并理解补集与交集的
评： 定义，并能根据所给的规则进行正确运算．
11．（5分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线 （s为参
数）和直线 （t为参数）平行，则常数a的值为 4 ．
考 直线的一般式方程与直线的平行关系．
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点：
专 直线与圆．
题：
分 先将直线的参数方程化为普通方程，再利用两条直线平行，直接求出a的值即可．
析：
解
答：
解：直线l
1
的参数方程为 （s为参数），消去s得普通方程为x﹣2y﹣
1=0，
直线l 的参数方程为 （t为参数），消去t得普通方程为2x﹣ay﹣a=0，
2
∵l ∥l ，x﹣2y﹣1=0的斜率为k = ，
1 2 1
∴2x﹣ay﹣a=0的斜率k = = ，
2
解得：a=4．
故答案为：4．
点 本题是基础题，考查直线的平行条件的应用，注意直线的斜率是否存在是解题关
评： 键，考查计算能力．
12．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的
值为 9 ．
考 程序框图．
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点：
专 图表型；算法和程序框图．
题：
分 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作
析： 用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．
解 解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：答： 是否继续循环 a b
循环前/1 2
第一圈 是 3 2
第二圈 是 5 2
第三圈 是 7 2
第四圈 是 9 2
第五圈 否
故最终输出的a值为9．
故答案为：9．
点 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处
评： 理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算
的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格
对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数
学模型③解模．
13．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件 ，则x+y的最大值为 6
．
考 简单线性规划．
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点：
专 不等式的解法及应用．
题：
分 先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结
析： 合即可得目标函数的最值．
解 解：画出可行域如图阴影部分，
答：
由 得A（4，2）
目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，
由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=4+2=6
故答案为：6．
点 本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合
评： 的思想方法，属于基础题．
14．（5分）（2013•湖南）设F ，F 是双曲线C： （a＞0，b＞0）的两个焦点．
1 2
若在C上存在一点P．使PF 1⊥PF
2
，且∠PF
1
F
2
=30°，则C的离心率为 ．考 双曲线的简单性质．
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点：
专 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分 根据题意可知∠F PF =90°，∠PF F =60°，|F F |=2c，求得|PF |和|PF |，进而利用双
1 2 2 1 1 2 1 2
析： 曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得．
解 解：依题意可知∠F PF =90°|F F |=2c，
1 2 1 2
答：
∴|PF |= |F F |= c，|PF |= |F F |=c，
1 1 2 2 1 2
由双曲线定义可知|PF |﹣|PF |=2a=（ ﹣1）c
1 2
∴e= = ．
故答案为： ．
点 本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．
评：
15．（5分）（2013•湖南）对于E={a ，a ，…．a }的子集X={a ，a ，…，a }，定义
1 2 100 i1 i2 ik
X的“特征数列”为x ，x …，x ，其中x =x =…x =1．其余项均为0，例如子集{a ，
1 2 100 i1 i2 ik 2
a }的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0
3
（1）子集{a ，a ，a }的“特征数列”的前3项和等于 2 ；
1 3 5
（2）若E的子集P的“特征数列”P ，P ，…，P 满足p =1，p+p =1，1≤i≤99；E的子
1 2 100 1 i i+1
集Q的“特征数列”q ，q ，q 满足q =1，q+q +q =1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为
1 2 100 1 j j+1 j+2
17 ．
考 数列的求和；交集及其运算．
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点：
专 压轴题；新定义．
题：
分 （1）利用“特征数列”的定义即可得出；
析： （2）利用“特征数列”的定义分别求出子集P，Q的“特征数列”，再找出相同
“1”的个数即可．
解 解：（1）子集{a ，a ，a }的“特征数列”为：1，0，1，0，1，0，…，0．故前三
1 3 5
答： 项和等于1+0+1=2；
（2）∵E的子集P的“特征数列”P ，P ，…，P 满足P+P =1，1≤i≤99，
1 2 100 i i+1
∴P的特征数列为1，0，1，0，…，1，0．其中奇数项为1，偶数项为0．
则P={a ，a ，a ，…，a }有50个元素，
1 3 5 99
又E的子集Q的“特征数列”q ，q ，…，q 满足q =1，q+q +q =1，1≤j≤98，
1 2 100 1 j j+1 j+2
可知：j=1时，q +q +q =1，∵q =1，∴q =q =0；同理q =1=q =…=q ．
1 2 3 1 2 3 4 7 3n﹣2
∴子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1．
则Q={a ，a ，a ，…，a }
1 4 7 100
则P∩Q的元素为a ，a ，a ，…，a ，a ．
1 7 13 91 97
∵97=1+（17﹣1）×6，∴共有17相同的元素．
故答案分别为2，17．
点 正确理解“特征数列”的定义是解题的关键．
评：
三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2013•湖南）已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣ ）．（1）求f（ ）的值．
（2）求使f（x）＜ 成立的x的取值集合．
考 两角和与差的余弦函数；余弦函数的单调性．
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点：
专 三角函数的图像与性质．
题：
分
（1）将x= 代入f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角
析：
函数值化简即可得到结果；
（2）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个
角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意x的集合．
解
解：（1）f（ ）=cos cos（ ﹣ ）=cos cos =﹣cos2 =﹣ ；
答：
（2）f（x）=cosxcos（x﹣ ）=cosx（ cosx+ sinx）
= cos2x+ sinxcosx= （1+cos2x）+ sin2x= cos（2x﹣ ）+ ，
∴f（x）＜ ，化为 cos（2x﹣ ）+ ＜ ，即cos（2x﹣ ）＜0，
∴2kπ+ ＜2x﹣ ＜2kπ+ （k Z），
解得：kπ+ ＜x＜kπ+ （k ∈ Z），
则使f（x）＜ 成立的x取值集合∈为{x|kπ+ ，kπ+ （k Z）}．
点 此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握公式是
∈
评： 解本题的关键．
17．（12分）（2013•湖南）如图．在直棱柱ABC﹣A B C 中，∠BAC=90°，AB=AC=
1 1 1
，AA =3，D是BC的中点，点E在棱BB 上运动．
1 1
（1）证明：AD⊥C
1
E；
（2）当异面直线AC，C E 所成的角为60°时，求三棱锥C ﹣A B E的体积．
1 1 1 1
考 直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．
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点：
专 计算题；证明题；空间位置关系与距离．
题：
分 （1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB
1
，等腰△ABC中利用“三线合一”证出
析： AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB
1
C
1
C，从而可得AD⊥C
1
E；
（2）根据AC∥A
1
C
1
，得到∠EC
1
A
1
（或其补角）即为异面直线AC、C
1
E 所成的角．由A
1
C 1⊥A
1
B
1
且A
1
C 1⊥AA
1
，证出A
1
C 1⊥平面AA
1
B
1
B，从而在Rt△A
1
C
1
E中得
到∠EC A =60°，利用余弦的定义算出C E=2A C =2 ，进而得到△A B E面积为
1 1 1 1 1 1 1
，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C ﹣A B E的体积．
1 1 1
解 解：（1）∵直棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，BB 1⊥平面ABC，AD 平面ABC，∴AD⊥BB
1
答： ∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC
又∵BC、BB 平面BB C C，BC∩BB =B ⊂
1 1 1 1
∴AD⊥平面BB
1
C
1
C，结合C
1
E 平面BB
1
C
1
C，可得AD⊥C
1
E；
⊂
（2）∵直棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AC∥A
1
C
1
，
⊂
∴∠EC
1
A
1
（或其补角）即为异面直线AC、C
1
E 所成的角
∵∠BAC=∠B
1
A
1
C
1
=90°，∴A
1
C 1⊥A
1
B
1
，
又∵AA 1⊥平面A
1
B
1
C
1
，可得A
1
C 1⊥AA
1
，
∴结合A
1
B
1
∩AA
1
=A
1
，可得A
1
C 1⊥平面AA
1
B
1
B，
∵A
1
E 平面AA
1
B
1
B，∴A
1
C 1⊥A
1
E
因此，⊂Rt△A
1
C
1
E中，∠EC
1
A
1
=60°，可得cos∠EC
1
A
1
= = ，得C
1
E=2A
1
C
1
=2
又∵B C = =2，∴B E= =2
1 1 1
由此可得V = S ×A C = × =
△ 1 1
点 本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证
评： 明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性
质等知识，属于中档题．
18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点
（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的
种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关
系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y 51 48 45 42
频数 4
（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．
考 众数、中位数、平均数；互斥事件的概率加法公式．
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点：
专 概率与统计．
题：分 （Ⅰ）根据题意可知所种作物的总株数为1+2+3+4+5，其中“相近”作物株数为1
析： 的有2株，“相近”作物株数为2的有4株，“相近”作物株数为3的有6株，“相
近”作物株数为4的有3株，据此列表，且可得出所种作物的平均所收获量．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（Y=51）= ，P（Y=48）= ，从而根据互斥事件的概率加
法公式得出在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．
解 解：（Ⅰ）所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，建立如图所示直角坐标系，
答： 其中“相近”作物株数为1的植株有2株，植株坐标分别为（4，0），（0，4），
“相近”作物株数为2的植株有4株，植株坐标分别为（0，0），（1，3），（2，
2），（3，1），
“相近”作物株数为3的植株有6株，植株坐标分别为（1，0），（2，0），（3，
0），（0，1），（0，2），（0，3），
“相近”作物株数为4的植株有3株，植株坐标分别为（1，1），（1，2），（2，
1）．
列表如下：
Y 51 48 45 42
频数 2 4 6 3
所种作物的平均所收获量为： （51×2+48×4+45×6+42×3）= =46；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（Y=51）= ，P（Y=48）= ，
故在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率为
P（Y≥48）=P（Y=51）+P（Y=48）= + = ．
点 本题考查互斥事件的概率加法公式，众数、中位数、平均数和利用图表获取信息的
评： 能力．利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判
断和解决问题．
19．（13分）（2013•湖南）设S 为数列{a }的前n项和，已知a ≠0，2a ﹣a =S •S ，n N*
n n 1 n 1 1 n
（Ⅰ）求a ，a ，并求数列{a }的通项公式；
1 2 n
∈
（Ⅱ）求数列{na }的前n项和．
n
考 等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
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点：
专 等差数列与等比数列．
题：
分 （Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a 和a ，当n≥2时再令n=n﹣1得到2a ﹣
1 2 n﹣1
析： 1=S ，两个式子相减得a =2a ，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；
n﹣1 n n﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出na =n•2n﹣1，再由错位相减法求出此数列的前n项和．
n
解
解：（Ⅰ）令n=1，得2a ﹣a = ，即 ，
1 1答： ∵a ≠0，∴a =1，
1 1
令n=2，得2a ﹣1=1•（1+a ），解得a =2，
2 2 2
当n≥2时，由2a ﹣1=S 得，2a ﹣1=S ，
n n n﹣1 n﹣1
两式相减得2a ﹣2a =a ，即a =2a ，
n n﹣1 n n n﹣1
∴数列{a }是首项为1，公比为2的等比数列，
n
∴a =2n﹣1，即数列{a }的通项公式a =2n﹣1；
n n n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，na =n•2n﹣1，设数列{na }的前n项和为T ，
n n n
则T =1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①
n
2T =1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②
n
①﹣②得，﹣T =1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n
n
=2n﹣1﹣n•2n，
∴T =1+（n﹣1）2n．
n
点 本题考查了数列a 与S 之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应
n n
评： 用．
20．（13分）（2013•湖南）已知F ，F 分别是椭圆 的左、右焦点F ，F 关
1 2 1 2
于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F 的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线
2
l的方程．
考 圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程．
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点：
专 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分 （I）由题意可知：F （﹣2，0），F （2，0），可得⊙C的半径为2，圆心为原点O
1 2
析： 关于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．利用线段的垂直平行的
性质可得 ，解出即可得到圆的方程；
（II））由题意，可设直线l的方程为x=my+2，利用点到直线的距离公式可得圆心
到直线l的距离d= ，再利用弦长公式即可得到b= ．把直线l的方
程为x=my+2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进
而得到ab，利用基本不等式的性质即可得出结论．
解 解：（I）由题意可知：F （﹣2，0），F （2，0）．故⊙C的半径为2，圆心为原点
1 2
答：
O关于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．则 ，解得
．
∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；
（II）由题意，可设直线l的方程为x=my+2，则圆心到直线l的距离d= ，∴b= ．
由 得（5+m2）y2+4my﹣1=0．
设l与E的两个交点分别为（x ，y ），（x ，y ）．
1 1 2 2
则 ， ．
∴a= = =
，
∴ab= = = ．
当且仅当 ，即 时等号成立．
故当 时，ab最大，此时，直线l的方程为 ，即
．
点 本题综合考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、圆的弦长公式b=
评：
、直线与椭圆相交的弦长公式a= 、基本不等式
的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力、计算能力、分析问题和解决问题
的能力．．
21．（13分）（2013•湖南）已知函数f（x）= ．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当f（x ）=f（x ）（x ≠x ）时，x +x ＜0．
1 2 1 2 1 2
考 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
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点：
专 压轴题；导数的综合应用．
题：
分 （Ⅰ）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0的x取
析： 值范围即可得到单调区间；
（Ⅱ）当f（x ）=f（x ）（x ≠x ）时，不妨设x ＜x ．由（I）可知：x （﹣∞，
1 2 1 2 1 2 1
0），x
2
（0，1）．利用导数先证明：∀x （0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x
2
∈
（0，1），可得f（x ）＜f（﹣x ）．即f（x ）＜f（﹣x ）．由于x ，﹣x （﹣
2 2 1 2 1 2
∞，0）∈，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增∈，因此得证． ∈
解 解：（Ⅰ）易知函数的定义域为R． ∈
答：
= =
，当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为
（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．
（Ⅱ）当x＜1时，由于 ，ex＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f
（x）＜0．
当f（x ）=f（x ）（x ≠x ）时，不妨设x ＜x ．
1 2 1 2 1 2
由（Ⅰ）可知：x （﹣∞，0），x （0，1）．
1 2
下面证明：∀x （∈0，1），f（x）＜∈f（﹣x），即证 ＜ ．此不等
∈
式等价于 ．
令g（x）= ，则g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．
当x （0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．
即 ∈ ．
∴ x （0，1），f（x）＜f（﹣x）．
而x （0，1），∴f（x ）＜f（﹣x ）．
2 2 2
从∀而∈，f（x ）＜f（﹣x ）．
1 2
∈
由于x ，﹣x （﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
1 2
∴x ＜﹣x ，即x +x ＜0．
1 2 1 2
∈
点 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技
评： 能，需要较强的推理能力和计算能力．
