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专题 14 正多边形和圆、弧长和扇形的面积
考点一 正多边形和圆 考点二 求正多边形的中心角
考点三 已知正多边形的中心角求边数 考点四 求弧长
考点五 求扇形的半径 考点六 求圆心角
考点七 求某点的弧形运动路径的长度 考点八 求扇形的马面积
考点九 求图形旋转后扫过的面积 考点十 求不规则图形的面积
考点一 正多边形和圆
例题：（2022·江苏·九年级课时练习）如图，已知 的半径为1，则它的内接正方形 的边长为
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式训练】
1．（2022·江苏·九年级课时练习）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（ ）
A． B．4 C． D．2
2．（2022·河南新乡·九年级期末）如图， 的外切正六边形 的边心距的长度为 ，那么正六
边形 的周长为（ ）A．2 B．6 C．12 D．
考点二 求正多边形的中心角
例题：（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度
数是（ ）
A．76° B．72° C．60° D．36°
【变式训练】
1．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图．点O是正五边形 的中心， 是正五边形的外接圆，
的度数为____．
2．（2021·吉林·九年级阶段练习）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接
FA，则∠OFA＝_____°．考点三 已知正多边形的中心角求边数
例题：（2022·江苏·九年级专题练习）正n边形的中心角为72°，则 ______．
【变式训练】
1．（2022·江苏·九年级专题练习）一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．
2．（2021·江苏·泰兴市济川初级中学九年级阶段练习）如图，四边形 为 的内接正四边形，
为 的内接正三角形，若 恰好是同圆的一个内接正 边形的一边，则 的值为_________．
考点四 求弧长
例题：（2022·河北唐山·九年级期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠， 恰好经过圆心O，若⊙O的半径为
3，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2021·四川乐山·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则 的长
为（ ）
A． π B． π C． π D． π2．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，在扇形OAB中， ， 则 的长为
______cm．
考点五 求扇形的半径
例题：（2022·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的弧长是3π，面积是12π，则此扇形的半径是___________．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）已知扇形的弧长 ，圆心角是 ，则
该扇形的半径为______ （结果保留 ）．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆弧的度数为 ，弧长为 ，则圆弧的半径为______
考点六 求圆心角
例题：（2022·天津市静海区第二中学九年级阶段练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这
个扇形的圆心角是（ ）
A．120° B．150° C．60° D．100°
【变式训练】
1．（2021·山东烟台·期中）将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为 ，则这三个扇形中
最大的圆心角度数为____________．
2．（2022·辽宁鞍山·九年级开学考试）如果一个扇形的半径是2，弧长是 ，则此扇形的图心角的度数为
____．
考点七 求某点的弧形运动路径的长度
例题：（2022·山东枣庄·中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，
∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到 AB′C′，使点C′落在AB边上，以
此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．△（结果保留π）【变式训练】
1．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，点 ， ， 都在方格纸的格点上， 绕点 顺时针方向旋转
后得到 ，则点 运动的路径 的长为______．
2．（2022·广东·红岭中学九年级阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC 中，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为
直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是______．
考点八 求扇形的面积
例题：（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的
部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若
， ，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点
A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2 ，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB
的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
考点九 求图形旋转后扫过的面积
例题：（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中， ， ， ，将 绕
点B顺时针旋转90°得到 ．在此旋转过程中 所扫过的面积为( )A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【变式训练】
1．（2022·河北邯郸·九年级期末）如图，将 ABC绕点C顺时针旋转120°得到 A'B'C，已知AC=3，
△ △
BC=2，则 =__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
2．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，等边 ABC的顶点A在y轴的正半
轴上，B(﹣5，0)，C(5，0)，点D(11，0)，将 ACD绕点A顺时针旋转60°得△到 ABE，则线段CD转过区
域的面积为________． △ △
考点十 求不规则图形的面积
例题：（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线， ，
，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（
）A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆
沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
2．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在 中， ， ， ，将 绕
点 顺时针旋转 ，点 的对应点 落在 边上， 交 于点 ，则图中阴影部分的面积为______．
一、选择题
1．（2022秋·福建泉州·九年级校考期末）若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023秋·山东临沂·九年级临沂实验中学校考期末）已知一个圆锥的底面半径是 ，侧面积是
，则圆锥的母线长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）如图，正六边形 内接于 ，正六边形的周长
是12，则正六边形的边心距是（ ）A． B．2 C． D．4
4．（2022春·广东江门·九年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的弦，
连接 ， ，若直径 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·重庆大渡口·九年级重庆市第三十七中学校校考期末）如图，菱形 的边长为2，
，以 为圆心的弧与边 、 相切，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在 中， ， ，分别以点B，
C为圆心，线段 长的一半为半径作圆弧，交 ， ， 于点 ， ， ，则图中阴影部分的面积
是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图，正五边形 内接于 ，点F在劣弧 上，则
的度数为 _____°．
8．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）半径为3cm的圆内接正方形的对角线长为______cm，面积为
______ ．
9．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知圆锥的底面直径为 ，母线长为 ，则圆锥的表面积是
__________ ．（结果保留 ）
10．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长为2．以
点 为圆心，8为半径画弧，交图中网格线于点A、B，则 的长为______．
11．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，将半径为4，圆心角为 的扇形 绕点 逆时针旋
转 ，点 ， 的对应点分别为 ， ，连接 ，则图中阴影部分的面积是___________．12．（2022秋·上海·六年级专题练习）如图，扇形 的半径 ， ，分别以 、
的中点C、D为圆心， 、 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_________平方厘米．
13．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，正 的边长为2， 为坐标原点， 在 轴上，
在第二象限． 沿 轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得 ，则翻滚3次后点 的对应
点的坐标是________；翻滚2023次后 中点 经过的路径长为________．
三、解答题
14．（2022秋·陕西渭南·九年级校考阶段练习）如图，已知正六边形 的中心为 ，半径 ．
(1)求正六边形 的边长；(2)以 为圆心， 为半径画 ，求 的长．（结果保留 ）
15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图，在 中， ，以 为直径的 与线段
交于点 ，作 ，垂足为 ， 的延长线与 的延长线交于点 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求劣弧 的长．
16．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）如图，在 中， ，以 为直径的 分
别交线段 ， 于点 ， ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，线段 ， 的延长线相交于点 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
17．（2022秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考阶段练习）如图， 为 的直径， 为 上一
点， 垂直于过点 的直线，垂足为 ，且 平分 ．
(1)判断： 是否是 的切线；
(2)若 的半径为2， ，求线段 的长；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
18．（2022秋·湖北黄石·九年级黄石十四中校考期中）如图，已知平行四边形 的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作 ，分别交 、 的延长线于点D、E， 交半圆O于点
F，连接 ．
(1)判断直线 与半圆O的位置关系，并说明理由；
(2)①求证： ；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积．
