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专题 14 正多边形和圆、弧长和扇形的面积
考点一 正多边形和圆 考点二 求正多边形的中心角
考点三 已知正多边形的中心角求边数 考点四 求弧长
考点五 求扇形的半径 考点六 求圆心角
考点七 求某点的弧形运动路径的长度 考点八 求扇形的马面积
考点九 求图形旋转后扫过的面积 考点十 求不规则图形的面积
考点一 正多边形和圆
例题：（2022·江苏·九年级课时练习）如图，已知 的半径为1，则它的内接正方形 的边长为
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形 的边长．
【详解】连接OB、OC，如图所示，
∵ 的半径为1，四边形 正方形，
∴OB=OC=1，∠BOC=90°，∴ ,
故选C．
【点睛】此题考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正方形的性质是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·九年级课时练习）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【分析】画出图形（见解析），先求出正六边形的中心角的度数，再根据等边三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：如图，正六边形的中心角 ，边长 ，
，
是等边三角形，
，
即这个正六边形的外接圆的半径为4，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，正确求出正六边形的中心角的度数是解题
关键．
2．（2022·河南新乡·九年级期末）如图， 的外切正六边形 的边心距的长度为 ，那么正六
边形 的周长为（ ）A．2 B．6 C．12 D．
【答案】C
【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，根据边心距得到OG= ，证明△OAB是等边三角形，利用勾股定
理求出AB，从而可得周长．
【详解】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
由题意可得：OG= ，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA= =2，
∴正六边形ABCDEF的周长为2×6=12，
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．
考点二 求正多边形的中心角
例题：（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．76° B．72° C．60° D．36°
【答案】B
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式： 计算即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为 =72°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图．点O是正五边形 的中心， 是正五边形的外接圆，
的度数为____．
【答案】 ##36度
【分析】连接 ，先求出中心角 的度数，再根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接 ，点 是正五边形 的中心， 是正五边形的外接圆，
中心角 ，
由圆周角定理得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆内接正五边形和圆周角定理，熟练掌握圆内接正五边形的中心角的求法是解题关键．
2．（2021·吉林·九年级阶段练习）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接
FA，则∠OFA＝_____°．
【答案】36
【分析】连接OA，OB，OB交AF于J．由正多边形中心角、垂径定理、圆周角定理得出∠AOB＝72°，
∠BOF＝36°，再由等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接OA，OB，OB交AF于J．
∵五边形ABCDE是正五边形，OF⊥BC，
∴ ，
∴∠AOB＝ 72°，∠BOF= ∠AOB＝36°，
∴∠AOF＝∠AOB +∠BOF=108°，
∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝ ＝36°
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查了园内正多边形中心角度数、垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧，垂径定理常与勾股定理以及圆周角定理相结合来解题．正n边形的每个中心角
都等于 ．
考点三 已知正多边形的中心角求边数
例题：（2022·江苏·九年级专题练习）正n边形的中心角为72°，则 ______．
【答案】5
【分析】根据正多边形的中心角之和为360°计算即可．
【详解】根据题意有： ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和为360°是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·九年级专题练习）一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．
【答案】十二
【分析】根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得．
【详解】解：∵一个正多边形的中心角是30°，
∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形，
故答案为：十二．【点睛】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的中心角与边数的关系．
2．（2021·江苏·泰兴市济川初级中学九年级阶段练习）如图，四边形 为 的内接正四边形，
为 的内接正三角形，若 恰好是同圆的一个内接正 边形的一边，则 的值为_________．
【答案】12
【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的
中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算 即可得到n的值．
【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD= =90°，∠AOF= =120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n= =12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的
多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．考点四 求弧长
例题：（2022·河北唐山·九年级期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠， 恰好经过圆心O，若⊙O的半径为
3，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC= OA，根据等腰三角形的性质、
三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC= OA，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴劣 的长= =2π，
故选：C．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·四川乐山·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则 的长为（ ）
A． π B． π C． π D． π
【答案】B
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长
公式求出答案．
【详解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴ 的长为： π．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
2．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，在扇形OAB中， ， 则 的长为
______cm．
【答案】 ##
【分析】利用弧长公式，代入数值计算即可．
【详解】解：由题意得 的长＝ ＝ (cm)，
故答案为：
【点睛】此题考查了弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．考点五 求扇形的半径
例题：（2022·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的弧长是3π，面积是12π，则此扇形的半径是___________．
【答案】8
【分析】根据扇形的面积公式S = lR即可得出答案．
扇形
【详解】解：∵S = lR，
扇形
∴R= =8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）已知扇形的弧长 ，圆心角是 ，则
该扇形的半径为______ （结果保留 ）．
【答案】30
【分析】根据弧长公式 代入数据计算即可．
【详解】解：∵扇形的弧长 ，圆心角是 ，代入弧长公式 中：
∴ ，
解得： cm，
∴该扇形的半径为30cm，
故答案为：30．
【点睛】本题考察了扇形弧长公式，属于基础题，熟练掌握扇形弧长公式是解题的关键．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆弧的度数为 ，弧长为 ，则圆弧的半径为______
【答案】18
【分析】利用弧长公式进行计算即可．
【详解】∵圆弧的度数为 ，弧长为 ，
又∵ ，∴ ，
解得 ，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了圆弧的弧长公式，熟练应用弧长公式进行计算是解答本题的关键．
考点六 求圆心角
例题：（2022·天津市静海区第二中学九年级阶段练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这
个扇形的圆心角是（ ）
A．120° B．150° C．60° D．100°
【答案】B
【分析】利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可．
【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l，
由题意得： ，即240π＝ ×20πr，
解得：r＝24，
又由 可得： ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算，熟练掌握各自的公式是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东烟台·期中）将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为 ，则这三个扇形中
最大的圆心角度数为____________．
【答案】160°
【分析】利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘360°，从而可求得各个扇形的圆心角的度数．
【详解】由题意可知，三个圆心角的和为360°，
又∵三个圆心角的度数比为 ，
∴最大的圆心角度数为： ．
故答案为：160°．
【点睛】本题考查了扇形圆心角的度数问题，掌握周角的度数即三个扇形圆心角的和是360°是解题关键．2．（2022·辽宁鞍山·九年级开学考试）如果一个扇形的半径是2，弧长是 ，则此扇形的图心角的度数为
____．
【答案】45°##45度
【分析】直接利用扇形弧长公式代入求出即可．
【详解】解：∵扇形的弧长是 ，半径为2，
∴ ，
解得：n＝45，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
考点七 求某点的弧形运动路径的长度
例题：（2022·山东枣庄·中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，
∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到 AB′C′，使点C′落在AB边上，以
此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．△（结果保留π）
【答案】
【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知
AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟
练地掌握相关内容是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，点 ， ， 都在方格纸的格点上， 绕点 顺时针方向旋转
后得到 ，则点 运动的路径 的长为______．
【答案】
【分析】先求出AB的长，再根据弧长公式计算即可．
【详解】由题意得，AC=4，BC=3，
∴ ,
∵ 绕点 顺时针方向旋转 后得到 ，
∴ ,
∴ 的长为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理和弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．
2．（2022·广东·红岭中学九年级阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC 中，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为
直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是______．【答案】
【分析】取 的中点 、 的中点 、 的中点 ，连接 、 、 、 、 、 ，可得四
边形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，则可得点M的运动路径，从而求得路径的长．
【详解】取 的中点 、 的中点 、 的中点 ，连接 、 、 、 、 、 ，如图，
则OE∥BC，且 ，OF∥AC， ，
∴四边形CEOF为平行四边形，
∵AC=BC，∠ACB=90 ，
∴四边形 为正方° 形，
∴CE=CF=2，EF=OC，
由勾股定理得： ，
∵在等腰 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，∴ ，
∴ ，
∴点 在以 为直径的圆上，
当点 点在点 时， 点在 点；点 点在点 时， 点在 点，
∴ 点的路径为以 为直径的半圆，
∴点 运动的路径长 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及
正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点．
考点八 求扇形的面积
例题：（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的
部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若
， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据S =S AOD-S BOC求解即可．
阴影 扇形 扇形
【详解】解：S =S AOD-S BOC
阴影 扇形 扇形
=
==
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点
A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2 ，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根据等腰
三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后说明∠OBC=90°即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2 ，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，然后再
说明△AOM是等边三角形，即∠AOM＝60°；最后根据扇形的面积公式求解即可．（1）证明：连接OB ∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠D=60°∴∠ABE=120°∵AB=EB∴∠E=∠BAE=30°∵OA=OB∴∠ABO=∠OAB=30°∴∠OBC=30°+60°=
90°∴OB⊥CE∵OB是半径 ∴EC是⊙O的切线．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=2 过O作OH⊥AM于H
则四边形OBCH是矩形∴OH=BC=2 ，
OH∥EC∴∠AOH=∠E=30°∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°∵OA=OM，∠OAH=60°∴△AOM是等边三角形
∴∠AOM＝60°∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、扇形面积
计算等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB
的延长线于点P，连接CA，CO，CB．(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【答案】(1)见解析
(2)30°
(3)2π﹣2
【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝
∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝ AB＝2，AC＝ BC，即得S ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去
△
S ABC即可解题．
△
（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝
∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝
∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝ AB＝2，AC＝ BC＝2 ，∴S ABC＝ BC•AC＝
△
×2×2 ＝2 ，∴阴影部分的面积是 ﹣2 ＝2π﹣2 ，答：阴影部分的面积是2π﹣2 ．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
考点九 求图形旋转后扫过的面积
例题：（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中， ， ， ，将 绕
点B顺时针旋转90°得到 ．在此旋转过程中 所扫过的面积为( )A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【答案】A
【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 所扫过的面积为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的
关键．
【变式训练】
1．（2022·河北邯郸·九年级期末）如图，将 ABC绕点C顺时针旋转120°得到 A'B'C，已知AC=3，
△ △
BC=2，则 =__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
【答案】 ##
【分析】根据弧长公式可求得 的长；根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S ACA+S ABC-S
扇形 ′ 扇形
△
BCB-S ABC，由旋转的性质就可以得出S ABC=S ABC就可以得出AB扫过的图形的面积=S ACA-S
′ ′ ′ ′ ′ 扇形 ′ 扇
BCB求△出其值即可． △ △
形 ′
【详解】解：∵△ABC绕点C旋转120°得到 A′B′C，
△∴△ABC≌△A′B′C，
∴S ABC=S ABC，∠BCB′=∠ACA′=120°．
′ ′
△ △
∴ 的长为: 2π；
∵AB扫过的图形的面积=S ACA+S ABC-S BCB-S ABC，
扇形 ′ 扇形 ′ ′ ′
∴AB扫过的图形的面积=S ACA-S△ BCB， △
扇形 ′ 扇形 ′
∴AB扫过的图形的面积= ．
故答案为：2π； ．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，弧长公式以及扇形的面积公式的运用，
解答时根据旋转的性质求解是关键．
2．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，等边 ABC的顶点A在y轴的正半
轴上，B(﹣5，0)，C(5，0)，点D(11，0)，将 ACD绕点A顺时针旋转60°得△到 ABE，则线段CD转过区
域的面积为________． △ △
【答案】
【分析】先判断出OB＝OC＝5，根据勾股定理可得OA和AD的长，根据 ACD绕点A顺时针旋转60°得
到 ABE，可得∠DAE＝60°，AE＝AD；再利用扇形面积公式即可求出结果△．
【△详解】解：∵B（−5，0），C（5，0），
∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，
∴ ，
∵D（11，0），
∴OD＝11，
∴AD2＝AO2＋OD2＝75＋121＝196，
∵△ACD绕点A顺时针旋转60°得到 ABE，
△∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝ ，
∴图中阴影部分面积＝S DAE−S BAC
扇形 扇形
故答案为：16π
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形变化−旋
转，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
考点十 求不规则图形的面积
例题：（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线， ，
，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接BM，过M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等边三角形，得到
∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接BM，过M作MH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵AB=1，∠ACB=30°，∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC= ，
∵BA=BM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠ABM=60°，
∴∠MBN=30°，
∴MH= BM= ，
∴S =S BCM-S BMN= = ，
阴 扇形
△
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确S =S BCM-
阴
△
S BMN是解题的关键．
扇形
【变式训练】
1．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆
沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
【答案】
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，则可判断点O是弧AOP的中点，由折叠的性质可得
OD=DE= R= ，在Rt OBD中求出∠OAD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部
△
分的面积．【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，连接OP，
则点E是弧AEP的中点，由折叠的性质可得点O为弧AOP的中点，
∴S AO=S PO，
弓形 弓形
在Rt AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE= R= ，
△
∴∠OAD=30°，
∴∠BOP=60°，
∴S =S BOP= = π．
阴影 扇形
故答案为： π．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是弧AOP的中点，将阴
影部分的面积转化为扇形的面积．
2．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在 中， ， ， ，将 绕
点 顺时针旋转 ，点 的对应点 落在 边上， 交 于点 ，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】根据旋转的性质，可得 ， ，再由勾股定理可得
，再证得 为等边三角形，可得 ， ，进而得到 ， ，再根据阴影部分的面积等于 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ， ，
在 中， ， ， ，
∴AB=2BC=4， ，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴阴影部分的面积等于 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，根据题意得到阴影部
分的面积等于 是解题的关键．
一、选择题
1．（2022秋·福建泉州·九年级校考期末）若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据正多边形的中心角 ，求出n即可．【详解】由题意， ，
解得 .
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正多边形的中心角问题，熟记基本公式是解题关键．
2．（2023秋·山东临沂·九年级临沂实验中学校考期末）已知一个圆锥的底面半径是 ，侧面积是
，则圆锥的母线长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥侧面积公式 ，其中r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线长，将数据直接代入求
出即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径是 ，侧面积为 ，圆锥侧面积公式 ，
∴ ，
解得： ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积公式的有关计算，解决问题的关键是正确记忆圆锥的侧面积公式，以
及各字母所代表的意义．
3．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）如图，正六边形 内接于 ，正六边形的周长
是12，则正六边形的边心距是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】连接 、 ，求出 ，可得 是等边三角形，即可求出正六边形的边长和
的半径，再解直角三角形即可求得边心距．
【详解】解：连接 、 ，如图所示：∵六边形 为正六边形，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵正六边形的周长是12，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即边心距为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、解直角三角形等边三角形的判定与性质；熟练掌握
正六边形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．
4．（2022春·广东江门·九年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的弦，
连接 ， ，若直径 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ， ，根据 ，计算即可．
【详解】解：连接 ， ，如图，∵ 是直径， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
5．（2022秋·重庆大渡口·九年级重庆市第三十七中学校校考期末）如图，菱形 的边长为2，
，以 为圆心的弧与边 、 相切，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出菱形与扇形的面积，再相减即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，边长为2，
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴ ， ，
∵以 为圆心的弧与边 、 相切，
设其中与边 的切点为E，
如图，连接 ，则 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴菱形 的面积为 ，扇形面积为
∴阴影部分的面积为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、扇形的面积、切线的性质等内容，解题关键是正确求出菱形的面积与扇
形的面积，要求学生牢记扇形面积公式，即扇形面积为 ．
6．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在 中， ， ，分别以点B，
C为圆心，线段 长的一半为半径作圆弧，交 ， ， 于点 ， ， ，则图中阴影部分的面积
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】阴影部分的面积等于 的面积减去空白处的面积即可得出答案．
【详解】解：等腰直角三角形 中， ， ，
， ，
为 中点，，
阴影部分的面积 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键，
题目比较好，难度适中．
二、填空题
7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图，正五边形 内接于 ，点F在劣弧 上，则
的度数为 _____°．
【答案】72
【分析】先求得正五边形的内角的度数，再根据圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵正五边形 内接于 ，
∴ ，
∵四边形 是 内接四边形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：72．
【点睛】此题考查了正多边形与圆，涉及了正多边形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练
掌握相关基本性质．
8．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）半径为3cm的圆内接正方形的对角线长为______cm，面积为
______ ．
【答案】 6 18
【分析】由正方形的性质得出 、 是直径，求出对角线的长，即可得出正方形的面积．
【详解】解：如图所示，四边形 是 的内接正方形，
， ，
、 是直径，
，
正方形 的面积 ，
故答案为6，18．
【点睛】该题主要考查了圆内接正方形的性质及其应用问题；由正方形的性质得出对角线为直径是解决问
题的关键．
9．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知圆锥的底面直径为 ，母线长为 ，则圆锥的表面积是
__________ ．（结果保留 ）
【答案】
【分析】根据圆锥表面积＝侧面积＋底面积＝ 底面周长×母线长＋底面积计算．
【详解】解：圆锥的表面积 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键记准圆锥的侧面面积和底面面积公式．
10．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长为2．以
点 为圆心，8为半径画弧，交图中网格线于点A、B，则 的长为______．【答案】 ##
【分析】根据题意，得 ，在 中，结合 ，计算得到 ，利
用弧长公式计算即可．
【详解】如图，根据题意，得 ，在 中，
因为 ，
所以 ，
所以 的长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，弧长公式，熟练掌握三角函数值，弧长公式是解题的关键．
11．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，将半径为4，圆心角为 的扇形 绕点 逆时针旋
转 ，点 ， 的对应点分别为 ， ，连接 ，则图中阴影部分的面积是___________．
【答案】
【分析】连接 ，根据旋转的性质得到 ，推出 是等边三角形，得到 ，推出 是等边三角形，得到 ，得到 ，根据扇形和三角形的面积公式
即可得到结论．
【详解】解：连接 ，
∵将半径为4，圆心角为 的扇形 绕点A逆时针旋转 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴点O′在 上，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
图中阴影部分的面积为
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题
的关键．
12．（2022秋·上海·六年级专题练习）如图，扇形 的半径 ， ，分别以 、
的中点C、D为圆心， 、 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_________平方厘米．【答案】
【分析】如图，设 与 交于点 ，连接 、 ，则
，求解即可．
【详解】解：设 与 交于点 ，连接 、 ，如图所示，
由题意可得：四边形 为正方形，且 ，
= 平方厘米，
故答案为：
【点睛】此题考查了不规则图形的面积计算，涉及扇形面积的计算，解题的关键是正确表示出阴影部分的
面积．
13．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，正 的边长为2， 为坐标原点， 在 轴上，
在第二象限． 沿 轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得 ，则翻滚3次后点 的对应
点的坐标是________；翻滚2023次后 中点 经过的路径长为________．【答案】
【分析】如图作 轴于 ，易知 ， ，观察图象可求点 的运动路径．
【详解】解：如图作 轴于 ，易知 ， ，
，
观察图象可知三次一个循环，一个循环点 的运动路径为 ，
翻滚2023次后 中点 经过的路径长为： ，
故答案为 ， ．
【点睛】本题考查轨迹、规律题、弧长公式、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，循环从特殊到一般的探究方法．
三、解答题
14．（2022秋·陕西渭南·九年级校考阶段练习）如图，已知正六边形 的中心为 ，半径 ．(1)求正六边形 的边长；
(2)以 为圆心， 为半径画 ，求 的长．（结果保留 ）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正六边形的边长与半径相等即可解决问题；
（2）由正六边形的性质和弧长公式即可得出结果；
【详解】（1）连接 ，
∵六边形 为正六边形
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
即正六边形 的边长为 ．
（2）∵六边形 为正六边形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，弧长公式，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图，在 中， ，以 为直径的 与线段
交于点 ，作 ，垂足为 ， 的延长线与 的延长线交于点 ．(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求劣弧 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质可证得 ，根据平行线的判定与性质可证得
，然后根据切线的判定即可证得结论；
（2）根据切线的性质，含 角的直角三角形的性质求出圆的半径，以及劣弧 所对的圆心角即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴直线 是 的切线；（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴劣弧 的长为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、求
弧长，难度适中，熟练掌握切线的判定和弧长公式是解答的关键．
16．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）如图，在 中， ，以 为直径的 分
别交线段 ， 于点 ， ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，线段 ， 的延长线相交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 、 ，由 为直径可得出点 为 的中点，由此得出 为 的中位线，再根据中位线的性质即可得出 ⊥ ，从而证出 是 的切线；
（2） ， ，通过解直角三角形得出 、 ，从而得出 为等边三角形，
再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接 、 ，如图所示．
为直径，
，
， ，
点 为线段 的中点．
点 为 的中点，
为 的中位线，
，
，
，
是 的切线．
（2）解：在 中， ， ，
， ，
，
，
为等边三角形，
点 为线段 的中点．
．
，
，，
∴
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关
键是证出 利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．
17．（2022秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考阶段练习）如图， 为 的直径， 为 上一
点， 垂直于过点 的直线，垂足为 ，且 平分 ．
(1)判断： 是否是 的切线；
(2)若 的半径为2， ，求线段 的长；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) 是 的切线，见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接 ，由 可以得到 ，然后利用角平分线的性质可以证明
，接着利用平行线的判定即可得到 ，然后就得到 ，由此即可证明直线
与 相切于 点；
（2）连接 ，根据圆周角定理的推理得到 ，又 ，由此可以得到
，然后利用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）设 交 于点E，连接 ，根据 计算即可.【详解】（1） 是 的切线，
理由：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为 上一点，
∴ 是 的切线；
（2）连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的半径为2， ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在Rt 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 交 于点E，连接 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，角平分线性质，以及扇形面积求法，熟练掌握切线的判定
是解本题的关键．
18．（2022秋·湖北黄石·九年级黄石十四中校考期中）如图，已知平行四边形 的三个顶点A、B、C
在以O为圆心的半圆上，过点C作 ，分别交 、 的延长线于点D、E， 交半圆O于点
F，连接 ．(1)判断直线 与半圆O的位置关系，并说明理由；
(2)①求证： ；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积．
【答案】(1) 是半圆O的切线，理由见解析；
(2)①见解析；②阴影部分的面积为 ．
【分析】（1）根据平行四边形 的性质以及 证明 即可；
（2）①只要证明 是等边三角形即可解决问题；
②求出 ，阴影部分的面积即可求解．
【详解】（1）解：结论： 是半圆O的切线．
理由：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是半圆O的半径，
∴ 是半圆O的切线；
（2）①证明：连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ， 都是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 都是等边三角形，
∴ ；
②解：在 中，半圆O的半径为12， ， ，∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查切线的判定、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、扇形面积公式，解题的关
键是证明三角形是等边三角形以及 ．
