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2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷）
文科数学能力测试
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知 ， ， ，则( )
A．
C． D.
2．“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已条变量 满足 则 的最小值是( )
A．4 B.3 C.2 D.1
4.函数 的反函数是( )
y
x-y=0
y=2 (1,2)
(2,2)
O (1,1)
x
1
5.已知直线m,n和平面 满足 ,则( )
或
x=1
或
6．下面不等式成立的是( )
A． B．
C． D．
7．在 中，AB=3，AC=2，BC= ，则 ( )
A． B． C． D．
8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )
A．15 B．45 C．60 D．75
9．长方体 的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD= ，
，则顶点A、B间的球面距离是( )
D C
1 1
A． B． C． D．2
A 1 B 1
D O
C
A
B
10．若双曲线 的右支上存在 一点，它
到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分，把答案填在
横线上。
11．已知向量 ， ，则| |=_____________________.
12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
性别 男 女
人数
生活能
否自理
能 178 278
不能 23 21
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。
13．记 的展开式中第m项的系数为 ，若 ，则 =__________.
14．将圆 沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若
过点（3，0）的直线 和圆C相切，则直线 的斜率为_____________.
15．设 表示不超过x的最大整数，（如 ）。 对于给定的 ,
y
A
P
X
O
B定义 则 ________;
当 时，函数 的值域是_________________________。
三．解答题：本大题共 6小题，共 75分，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格
就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合
格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响。求：
（I）至少一人面试合格的概率；
（II）没有人签约的概率。
17．（本小题满分12分）
已知函数 .
（I）求函数 的最小正周期；
（II）当 且 时，求 的值。
18．（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥 的底面 是边长为1的菱形， ，E是
CD的中点，PA 底面ABCD， 。
（I）证明：平面PBE 平面PAB； P
（II）求二面角A—BE—P的大小。
D E C
A B
19（本小题满分13分）
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 ，且两条准线间的距离为 。
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点A（1，0）的直线 ，使点F关于直线 的对称点在椭圆上，求 的取
值范围。20．（本小题满分13分）
数列 满足
（I）求 ，并求数列 的通项公式；
（II）设 ， ， ，
求使 的所有k的值，并说明理由。
21．（本小题满分13分）
已知函数 有三个极值点。
（I）证明： ；
（II）若存在实数c，使函数 在区间 上单调递减，求 的取值范围。
2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷）
文科数学能力测试
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知 ， ， ，则( )
A．
C． D.
【答案】B
【解析】由 ， ， ，易知B正确.2．“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 得 ，所以易知选A.
3．已条变量 满足 则 的最小值是( )
A．4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
y
【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点
x-y=0
分别为 代入验证知在点
y=2 (1,2)
时, 最小值是 故选C. (2,2)
O (1,1)
x
4.函数 的反函数是( ) 1
x=1
【答案】B
【解析】用特殊点法,取原函数过点 则其反函数过点 验证知只有答案B满足.
也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。
5.已知直线m,n和平面 满足 ,则( )
或 或
【答案】D
【解析】易知D正确.
6．下面不等式成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 , 故选A.
7．在 中，AB=3，AC=2，BC= ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由余弦定理得 所以 选Ｄ.
8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，
则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )
A．15 B．45 C．60 D．75
【答案】C
【解析】用直接法：
或用间接法： 故选Ｃ.
9．长方体 的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD= ，
，则顶点A、B间的球面距离是( )
D C
1 1
A． B． C． D．2
【答案】B A 1 B 1
【解析】 设 D O
C
则
A
B
故 选
Ｂ.
10．若双曲线 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相
等，则双曲线离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
而双曲线的离心率 故选Ｃ.
二．填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分，把答案填在
横线上。11．已知向量 ， ，则| |=_____________________.
【答案】２
【解析】由
12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：
性别 男 女
人数
生活能
否自理
能 178 278
不能 23 21
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。
【答案】60
【解析】由上表得
13．记 的展开式中第m项的系数为 ，若 ，则 =__________.
【答案】5
【解析】由 得
所以解得
14．将圆 沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若
过点（3，0）的直线 和圆C相切，则直线 的斜率为_____________.
【答案】 ,
y
【解析】易得圆C的方程是 ,
A
P
直线 的倾斜角为 ,
X
O
所以直线 的斜率为 B
15．设 表示不超过 x 的最大整数，（如
）。对于给定的 ,
定义 则 ________;当 时，函数 的值域是_________________________。
【答案】
【解析】 当 时， 当 时，
所以 故函数 的值域是 .
三．解答题：本大题共 6小题，共 75分，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格
就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合
格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响。求：
（I）至少一人面试合格的概率；
（II）没有人签约的概率。
解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立，
且
（I）至少有一人面试合格的概率是
（II）没有人签约的概率为
17．（本小题满分12分）
已知函数 .
（I）求函数 的最小正周期；
（II）当 且 时，求 的值。解：由题设有 ．
（I）函数 的最小正周期是
（II）由 得 即
因为 ,所以
从而
于是
18．（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥 的底面 是边长为1的菱形， ，E是
CD的中点，PA 底面ABCD， 。
（I）证明：平面PBE 平面PAB； P
（II）求二面角A—BE—P的大小。
D E C
解：解法一（I）如图所示, 连结 由 是菱形且
A B
知，
是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以
又 所以
又因为PA 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 而 因此 平面PAB.
又 平面PBE，所以平面PBE 平面PAB.
（II）由（I）知， 平面PAB, 平面PAB,
所以又 所以 是二面角 的平面角．
在 中, ．
故二面角 的大小为
解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的
坐标分别是
（I）因为 平面PAB的一个法向量是 所以 和 共线.从而
平面PAB.
又因为 平面PBE，所以平面PBE 平面PAB.
（II）易知 设 是平面PBE的一个法向
量,
则由 得 所以
故可取 而平面ABE的一个法向量是
于是, ．
故二面角 的大小为
19（本小题满分13分）
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 ，且两条准线间的距离为 。
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点A（1，0）的直线 ，使点F关于直线 的对称点在椭圆上，求 的取
值范围。
解：（I）设椭圆的方程为由条件知 且 所以
故椭圆的方程是
（II）依题意, 直线 的斜率存在且不为0,记为 ,则直线 的方程是
设点 关于直线 的对称点为 则
解得
因为点 在椭圆上，所以 即
设 则
因为 所以 于是,
当且仅当
上述方程存在正实根,即直线 存在.
解 得 所以
即 的取值范围是
20．（本小题满分13分）
数列 满足
（I）求 ，并求数列 的通项公式；（II）设 ， ， ，
求使 的所有k的值，并说明理由。
解：（I）因为 所以
一般地, 当 时，
即 所以数列 是首项为0、公差为4的等差数列，
因此
当 时，
所以数列 是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列 的通项公式为
（II）由（I）知，
于是 .
下面证明: 当 时， 事实上, 当 时，
即
又 所以当 时，
故满足 的所有k的值为3,4,5.
21．（本小题满分13分）已知函数 有三个极值点。
（I）证明： ；
（II）若存在实数c，使函数 在区间 上单调递减，求 的取值范围。
解：（I）因为函数 有三个极值点,
所以 有三个互异的实根.
设 则
当 时， 在 上为增函数;
当 时， 在 上为减函数;
当 时， 在 上为增函数;
所以函数 在 时取极大值,在 时取极小值.
当 或 时, 最多只有两个不同实根.
因为 有三个不同实根, 所以 且 .
即 ,且 ,
解得 且 故 .
（II）由（I）的证明可知，当 时, 有三个极值点.
不妨设为 （ ），则
所以 的单调递减区间是 ,
若 在区间 上单调递减，
则 , 或 ,
若 ,则 .由（I）知， ,于是
若 ,则 且 .由（I）知，
又 当 时， ;当 时， .
因此, 当 时， 所以 且
即 故 或 反之, 当 或 时，
总可找到 使函数 在区间 上单调递减.
综上所述, 的取值范围是 .
