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2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好
方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是
（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB= b，
则角A等于（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件 ，则x+2y的最大值是（ ）
A． B．0 C． D．
5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（
）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（5分）（2013•湖南）已知 ， 是单位向量， ，若向量 满足 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体
的正视图的面积不可能是（ ）
A．1 B． C． D．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一
点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，
则AP等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生
在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）
9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l： ，（t为参数）过椭圆C：
（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 ________ _ ．
10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为 ________ _ ．
∈
11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为 的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，
PD=1，则圆心O到弦CD的距离为 ________ _ ．
12．（5分）（2013•湖南）若 ，则常数T的值为 ________ _ ．
13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为
_________ ．14．（5分）（2013•湖南）设F ，F 是双曲线C： （a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C
1 2
上一点，若|PF |+|PF |=6a，且△PF F =30°的最小内角为30°，则C的离心率为 ________ _ ．
1 2 1 2
15．（5分）（2013•湖南）设S 为数列{a }的前n项和， ，n N*，则
n n
（1）a = ________ _ ； ∈
3
（2）S +S +…+S = ________ _ ．
1 2 100
16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）
∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为 ________ _ ．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是 ________ _ ．（写出所有正确结
论的序号）
① x （﹣∞，1），f（x）＞0；
② x R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
∀ ∈
③若△ABC为钝角三角形，则∃x （1，2），使f（x）=0．
∃ ∈
∈
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2013•湖南）已知函数 ，
．
（I）若α是第一象限角，且 ，求g（α）的值；
（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、
横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该
种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AD∥BC，∠BAD=90°，
AC⊥BD，BC=1，AD=AA
1
=3．
（I）证明：AC⊥B
1
D；
（II）求直线B C 与平面ACD 所成的角的正弦值．
1 1 1
20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的
任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM M M N与路径MN N都是M到N
1 2 3 1
的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），
C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点
P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k ，k 的两条
1 2
不同直线l ，l ，且k +k =2．l 与E交于点A，B，l 与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，
1 2 1 2 1 2
圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（I）若k ＞0，k ＞0，证明： ；
1 2
（II）若点M到直线l的距离的最小值为 ，求抛物线E的方程．
22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数 ．
（I）记f（x）在区间[0，4 上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂
]
直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.复数 在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】 B
【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B
选B
2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在
显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
【答案】 D
【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。
选D
3.在锐角中 ，角 所对的边长分别为 .若
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】
选D
4.若变量 满足约束条件 ，
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点
选C
5.函数 的图像与函数 的图像的交点个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】 B
【解析】 二次函数 的图像开口向上，在x轴上方，对称轴为x=2，g(2)= 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2
选B
6. 已知 是单位向量， .若向量 满足
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】
的模为1，可以在单位圆中解得 。
选A
7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的
面积不可能等于
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 由题知，正方体的棱长为1，
选C
8.在等腰三角形 中， 点 是边 上异于 的
一点，光线从点 出发，经 发射后又回到原点 （如图 ）.
若光线 经过 的中心，则 等
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 使用解析法。选D
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.
（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题
计分）
9.在平面直角坐标系 中，若
右顶点，则常数 3 .
【答案】 3
【解析】
10.已知 12 .
【答案】 12
【解析】
.
11.如图2，在半径为 的 中,弦
.
【答案】
【解析】（一） 必做题（12-16题）
12.若 3 .
【答案】 3
【解析】
13.执行如图3所示的程序框图，如果输入
9 .
【答案】 9
【解析】
14．设 是双曲线 的两个焦点，P是C上一点，若
且 的最小内角为 ，则C的离心率为___。
【答案】
【解析】 设P点在右支上，
15．设 为数列 的前n项和， 则
（1） _____；
（2） ___________。
【答案】【解析】 设P点在右支上，
16．设函数
（1）记集合 ，则
所对应的 的零点的取值集合为__ __。
【答案】
【解析】
。
所以f(x)的零点集合为
（2）若 ①②③ .（写出所有正确
结论的序号）
①
②
③若
【答案】 ①②③
【解析】
1
所以①正确。
所以②正确。
。所以③正确。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知函数 。
（I）若 是第一象限角，且 。求 的值；
（II）求使 成立的x的取值集合。
【答案】 （I） （II）
【解析】 （I）
.
（II）
.(完)
18．（本小题满分12分）
某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶
点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：
kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。
【答案】 （Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】 (Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.
从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点，共8对格点
恰好“相近”。
所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率
（Ⅱ）三角形共有15个格点。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),
(0,4)。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3),
(2,2),(3,1)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0),
(3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1),
(1,2), (2,1)。
如下表所示：
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
频数 2 4 6 3
概率P
. (完)
19．（本小题满分12分）如图5，在直棱柱
（I）证明： ；
（II）求直线 所成角的正弦值。
【答案】 （Ⅰ） 见下 （Ⅱ）
【解析】 (Ⅰ). (证毕)
（Ⅱ）
。(完)
20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L
路径”。如图6所示的路径 都是M到N的“L路径”。某地有三个新
建的居民区，分别位于平面xOy内三点 处。现计划在x轴上方区域
（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P
的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。
【答案】 （Ⅰ）d= |x – 3| + |y – 20|，
（Ⅱ）当点P(x,y)满足P(3,1)时, 其到三个居民区的“L路径”长度值和最小为45
【解析】
(Ⅰ) ,，其中
（Ⅱ）本问考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的基本知识。
点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的
最小值v。且h和v互不影响。显然当y=1时，v = 20+1=21； ，水平距
离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| ,且当x=3时，h=24.因此,当P(3,1)时，d=21+24=45.
所以，当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.
21．（本小题满分13分）
过抛物线 的焦点F作斜率分别为 的两条不同的直线 ，且 ，
相交于点A，B， 相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的
公共弦所在的直线记为 。
（I）若 ，证明； ；
（II）若点M到直线 的距离的最小值为 ，求抛物线E的方程。
【答案】 （Ⅰ） 见下 （Ⅱ）
【解析】 (Ⅰ)
.
所以， 成立. (证毕)
（Ⅱ）
则 ，.
.(完)
22．（本小题满分13分）
已知 ，函数 。
（I）；记 求 的表达式；
（II）是否存在 ，使函数 在区间 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互
垂直？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由。
【答案】 （Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
(Ⅰ)
（II）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点满足题目要求，则P,Q分别在两个图像上，且 。
不妨设
所以，当 时，函数 在区间 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相
互垂直.(完)
