文档内容
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考
试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、
县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再
写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案
无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合 ，则 =
（A） （B） （C） （D）
（2）若复数 ，其中i为虚数单位，则 =
（A）1+i （B）1−i （C）−1+i （D）−1−i
（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中
自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，
30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
（A）56 （B）60 （C）120 （D）140
（4）若变量x，y满足 则x2+y2的最大值是
（A）4（B）9（C）10（D）12
（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A） （B）
（C） （D）
（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α， 内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面 相交”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）已知圆 M： 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 M 与圆 N：
的位置关系是
（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离
（8） 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ,则A=
（A） （B） （C） （D）
(9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= —f(x)；当x＞ 时，f(x+ )=f(x
— ).则f(6)=
（A）-2 （B）-1
（C）0 （D）2（10）若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 具
有T性质.下列函数中具有T性质的是学科&网
（A） （B） （C） （D）
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为_______．
（12）观察下列等式：
；
；
；
；……
照此规律， _________．
（13）已知向量a=(1,–1)，b=(6,–4)．若a⊥(ta+b)，则实数t的值为________．
（14）已知双曲线E： – =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的
两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．
（15）已知函数f(x)= 其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不
同的根，则m的取值范围是_______．
三、解答题：本大题共6小题，共75分
（16）（本小题满分12分）
某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，
待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若 ，则奖励玩具一个；学科&网
②若 ，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
（I）求小亮获得玩具的概率；
（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.（17）（本小题满分12分）
设 .
（I）求 得单调递增区间；
（II）把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移
个单位，得到函数 的图象，求 的值.
（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；
（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
（19）（本小题满分12分）
已知数列 的前n项和 ， 是等差数列，且 .（I）求数列 的通项公式；学科&网
（II）令 .求数列 的前n项和 .
(20)(本小题满分13分)
设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
(21)(本小题满分14分)
已知椭圆C: （a>b>0）的长轴长为4，焦距为2 .（I）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过
点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.
(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明 为定值.
(ii)求直线AB的斜率的最小值.
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（文科）
第I卷（共50分）
一、选择题
（1）【答案】A
（2）【答案】B
（3）【答案】D
（4）【答案】C
（5）【答案】C（6）【答案】A
（7）【答案】B
（8）【答案】C
(9) 【答案】D
（10）【答案】A
第II卷（共100分）
二、填空题
（11）【答案】
（12）【答案】
（13）【答案】
（14）【答案】
（15）【答案】
三、解答题：本大题共6小题，共75分
（16）
【答案】（ ） .（ ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
【解析】
试题分析：用数对 表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间 与点集
一一对应.得到基本事件总数为
（ ）事件 包含的基本事件共有 个，即 计算即得.
（ ）记“ ”为事件 ，“ ”为事件 .
知事件 包含的基本事件共有 个，得到
事件 包含的基本事件共有 个，得到
比较即知.试题解析：用数对 表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 与点集
一一对应.因为 中元素个数是 所以基本事件总
数为
（ ）记“ ”为事件 .
则事件 包含的基本事件共有 个，即
所以， 即小亮获得玩具的概率为 .
（ ）记“ ”为事件 ，“ ”为事件 .
则事件 包含的基本事件共有 个，即
所以，
则事件 包含的基本事件共有 个，即
所以，
因为
所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
考点：古典概型
（17）
【答案】（ ） 的单调递增区间是 （或 ）
（ ）
【解析】
试题分析：（ ）化简 得由 即得
写出 的单调递增区间
（ ）由 平移后得 进一步可得
试题解析：（ ）由
由 得
所以， 的单调递增区间是
（或 ）
（ ）由（ ）知
把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），
得到 的图象，再把得到的图象向左平移 个单位，得到 的图象，
即
所以
考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数的图象和性质.
（18）【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ））根据 ，知 与 确定一个平面，连接 ，得到 ， ，从而
平面 ，证得 .
（Ⅱ）设 的中点为 ，连 ，在 ， 中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面
平面 ，进一步得到 平面 .
试题解析：（Ⅰ））证明：因 ，所以 与 确定一个平面，连接 ，因为 为 的
中点，所以 ；同理可得 ，又因为 ，所以 平面 ，因为 平
面 ， 。
（Ⅱ）设 的中点为 ，连 ，在 中， 是 的中点，所以 ，又 ，所以
；在 中， 是 的中点，所以 ，又 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 。
F
E
H
G
I
B
A
D
C
考点：1.平行关系；2.垂直关系.
（19）【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意得 ，解得 ，得到 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，从而
利用“错位相减法”即得
试题解析：（Ⅰ）由题意当 时， ，当 时， ；所以 ；
设数列的公差为 ，由 ，即 ，解之得 ，所以 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，又 ，即
，所以 ，以上两式两边相减得
。
所以
考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.
(20)
【答案】(Ⅰ)当 时，函数 单调递增区间为 ；
当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(Ⅱ) .【解析】
试题分析：(Ⅰ)求导数
可得 ，
从而 ，
讨论当 时，当 时的两种情况即得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， .分以下情况讨论：①当 时，②当 时，③当 时，④当
时，综合即得.
试题解析：(Ⅰ)由
可得 ，
则 ，
当 时，
时， ，函数 单调递增；
当 时，
时， ，函数 单调递增，
时， ，函数 单调递减.
所以当 时，函数 单调递增区间为 ；
当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， .
①当 时， ， 单调递减.所以当 时， ， 单调递减.
当 时， ， 单调递增.
所以 在x=1处取得极小值，不合题意.
②当 时， ，由(Ⅰ)知 在 内单调递增，
可得当当 时， ， 时， ，
所以 在(0,1)内单调递减，在 内单调递增，
所以 在x=1处取得极小值，不合题意.
③当 时，即 时， 在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，
所以当 时， ， 单调递减，不合题意.
④当 时，即 ，当 时， ， 单调递增,
当 时， ， 单调递减，
所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.
综上可知，实数a的取值范围为 .
考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.
(21)
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 .
【解析】
试题分析：(Ⅰ)分别计算a,b即得.(Ⅱ)(i)设 ，
由M(0,m)，可得
得到直线PM的斜率 ，直线QM的斜率 .证得.
(ii)设 ，
直线PA的方程为y=kx+m，
直线QB的方程为y=-3kx+m.
联立 ，
整理得 .
应用一元二次方程根与系数的关系得到 ，
，
得到
应用基本不等式即得.
试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，
由题意知 ，
所以 ，
所以椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)(i)设 ，由M(0,m)，可得
所以 直线PM的斜率 ，
直线QM的斜率 .
此时 ，
所以 为定值-3.
(ii)设 ，
直线PA的方程为y=kx+m，
直线QB的方程为y=-3kx+m.
联立 ，
整理得 .
由 可得 ，
所以 ，
同理 .
所以 ，
，所以
由 ，可知k>0，
所以 ，等号当且仅当 时取得.
此时 ，即 ，符号题意.
所以直线AB 的斜率的最小值为 .
考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.
